2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 阶段滚动检测（五） Word版含解析
一、单项选择题
1．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|<2}，则A∩B等于( )
A．{x|－3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}
C．{x|－3≤x<1} D．{x|－1≤x≤0}
2．(2020·黄冈调研)若复数z＝(i＋1)(i－2)，i为虚数单位，则复数z的虚部是( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
3．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2－x－6＝0的两根，则a5·a6的值为( )
A．6 B．－6
C．－1 D．1
4．函数y＝x＋cos x的大致图象是( )
5．(2019·汕头期末)已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos 2x＋sin x的值域为( )
A. B．[0,1)
C．(0,1) D.
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C．4π D.π
7．(2020·安庆五校联考)已知A为椭圆x2＋2y2＝9的左顶点，该椭圆与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线在第一象限内的交点为B，若直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
8．(2019·衡阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)是偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，>0.设a＝f ，b＝f(log37)，c＝f(－0.83)，则( )
A．b
a1c2 D.<
10．下列结论正确的是( )
A．若a>b>0，c
B．若x>y>0，且xy＝1，则x＋>>log2(x＋y)
C．设{an}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>
D．若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－x2
11．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
12．设函数f(x)的定义域为R且f＝0，f(0)≠0，若对于任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝2f ·f ，则下列说法正确的是( )
A．f(0)＝1 B．f(x)＝f(－x)
C．f(x＋2π)＝f(x) D．f(2x)＝2f(x)－1
三、填空题
13．已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝______.
14．已知抛物线y2＝8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|＋4|FB|的最小值是__________．
15．将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________．
16．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；
④区间[－40，－38]是y＝f(x)的一个单调递增区间．其中所有正确命题的序号为__________．
四、解答题
17.(2020·芜湖四校联考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝，AB＝，S△ABC＝.
(1)求∠ACB的大小；
(2)若BC⊥CD，∠ADC＝，求AD的长．
18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．
(1)求a的值及数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(1－an)log3(a·an＋1)，求数列的前n项和Tn.
19．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若函数y＝f(x)－在(0，π)上的零点为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
20.(2019·河南名校联考)如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(2)求二面角P－AC－D的平面角的余弦值．
21．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．
22．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝(a∈R，b∈R)．
(1)若x＝－1是函数f(x)的一个极值点，试用a表示b，并求函数f(x)的减区间；
(2)若a＝1，b＝－1，证明：当x>0时，f(x)≤(2x－1)．
答案精析
1．B 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.D 8.B 9.BC 10.AC 11.BD 12.ABC
13．2
解析 a－b＝(－1,1－m)，
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，∴m＝0，
∴b＝(2,0)，∴|b|＝2.
14．18
解析 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则|FA|＋4|FB|＝x1＋2＋4(x2＋2)＝x1＋4x2＋10，
当直线AB斜率不存在时，|FA|＋4|FB|＝2＋4×2＋10＝20，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
代入y2＝8x得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，
∴|FA|＋4|FB|＝＋4x2＋10≥2＋10＝18，当且仅当x2＝1时取等号．
∴|FA|＋4|FB|的最小值是18.
15．2sin
解析 将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin 2x的图象，再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．若函数g(x)在区间，上单调递增，
则求得≤a≤，则实数a的取值范围是.
16．①②
解析 ∵对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，
当x＝－2时，可得f(－2)＝0，
又∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)＝0，故①正确；
由f(2)＝0，知f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，故周期为4，
又函数在区间[0,2]上单调递减，
由函数是偶函数，知函数在区间[－2,0]上单调递增，
再由函数的周期为4，得到函数f(x)的图象如图所示，
由图可知②正确，③函数y＝f(x)在[－4,4]上有两个零点，③不正确；
④区间[－40，－38]是y＝f(x)的一个单调递减区间，④不正确，故答案为①②.
17．解 (1)在△ABC中，
S△ABC＝AB·BCsin B，
∴由题意可得××BC×sin ＝，
∴BC＝，∴AB＝BC，
又∵∠B＝，∴∠ACB＝，
(2)∵BC⊥CD，∴∠ACD＝，
在△ABC中，由余弦定理可得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
＝()2＋()2－2×××＝9，
∴AC＝3，
∴在△ACD中，由正弦定理可得，AD＝＝＝.
18．解 (1)因为6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，
所以当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，
当n≥2时，6Sn－1＝3n＋a,6an＝6(Sn－Sn－1)＝2×3n，即an＝3n－1，
因为{an}是等比数列，所以a1＝1，
则9＋a＝6，得a＝－3，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a·an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，
＝
＝，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝(n∈N*)．
19．解 (1)f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，
由题意可得周期T＝π，即＝π，
∴ω＝1，
∴f(x)＝sin，
由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
∴函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由函数y＝f(x)－在(0，π)上的零点为x1，x2，不妨设00，
且00，得k2<.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴y1y2＝k(x1－4)·k(x2－4)
＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2.
当原点O在以线段AB为直径的圆内时，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2＝(1＋k2)－4k2·＋16k2
＝<0，②
由①②，解得－1，即a<4时，令f′(x)<0，得x>3－a或x<－1，
所以函数f(x)的减区间为(－∞，－1)，(3－a，＋∞)．
②当3－a<－1，即a>4时，令f′(x)<0，
得x<3－a或x>－1，函数f(x)的减区间为(－∞，3－a)，(－1，＋∞)．
综上，当a<4时，f(x)的减区间为(－∞，－1)和(3－a，＋∞)，
当a>4时，f(x)的减区间为(－∞，3－a)和(－1，＋∞)．
(2)证明 由题意有f(x)＝，
要证f(x)≤(2x－1)(x>0)，
只要证(2x－1)ex－e(x2＋x－1)≥0(x>0)，
令g(x)＝(2x－1)ex－e(x2＋x－1)(x>0)，
有g′(x)＝(2x＋1)ex－e(2x＋1)
＝(2x＋1)(ex－e)．
则函数g(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)，
则g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0.
故当x>0时，不等式f(x)≤(2x－1)成立．
