北师大版八年级数学下册全册综合测试题+全册数学教案
北师大版八年级数学下册全册综合测试题+全册数学教案
期末检测题
（本试卷满分：120 分，时间：120 分钟）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.如图，在△ 中， ，点 是斜边 的中点， ，且 ，则∠
（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在□ABCD 中，EF∥AB，GH∥AD，EF 与 GH 交于点 O，则该图中的平行四边形的个数为（ ）
A.7 B．8 C．9 D.11
3.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.（2015·武汉中考）把 －2a 分解因式，正确的是( )
A.a(a－2) B.a(a＋2) C.a( ) D.a(2－a)
5. （2015•山东泰安中考）不等式组 的整数解的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.分式方程
1
23
xx
的解为（ ）
A. B. C. D.
7. （2015·广州中考）下列命题中，真命题的个数是( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
EA
C
D
B
第 1 题图
第 3 题图
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
8.（2015·浙江丽水中考）一个多边形的每个内角均为 120°，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形
C. 六边形 D. 七边形
9.如图，在□ 中， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 .若 ，
， 且□ 的 周长 为 40 ， 则□ 的 面积 为 （ ）
A.24 B.36
C.40 D.48
10.(2015·乌鲁木齐中考)九年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20
min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生
的速度.设骑车学生的速度为 x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B. －20
C. D. 20
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11.如图，在△ 中，∠ ， 是△ 的角平分 线 ，
于点 ， ，则∠ 等于______.
12.关于 的不等式组
bax
abx
2
2 ，
的解集为 ， 则 的
值分别为_______.
13.若□ 的周长是 30， 相交于点 ，且△ 的周长比△ 的周长大 ， 则
.
14.如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的 甲位置，先将
它绕原点 O 旋转 180°到乙位置，再将它向下平移 2 个单位 到丙位置，则
小花顶点 A 在丙位置中的对应点 A′的坐标为________．
15.（2015·四川绵阳中考）在实数范围内因式分解：
2 3x y y __________.
16.张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完 本图 书所用的时间
EA
C
D
B
第 11 题图
与李强清点完 本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点 本，则张明平均每分钟清
点图书 本.
17.若分式方程 的解为正数，则 的取值范围是 .
18.如图(1)，平行四边形纸片 的面积为 ， ， .沿两条对角线将四边形 剪成甲、
乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙合并（ ， 重合）形成对称图形戊，如图(2)所示，则图形
戊的两条对角线长度之和是 ___ .
三、解答题（共 66 分）
19.(6 分)阅读下列解题过程：
已知 为△ 的三边长，且满足 ，试判断△ 的形状．
解：因为 ， ①
所以 . ②
所以 ． ③
所以△ 是直角三角形. ④
回答下列问题：
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代码为 ；
（2）错误的原因为 ；
（3）请你将正确的解答过程写下来．
20.（6 分）（2015·南京中考）计算： 2 2 2
2 1 a
a b a ab a b
.
21.（6 分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 件新产品进行精加工后再投放市场.
现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
22.（8 分）（2015·贵州安顺中考）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用 3 000 元购进第一批盒装花，
上市后很快售完，接着又用 5 000 元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒
数的 2 倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
23.（8 分）如图，在□ABCD 中，E，F 分别是 DC，AB 上的点，且 .
求证：（1） ；（2）四边形 AFCE 是平行四边形．
24.(8 分)如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，已
知 AB＝10，BC＝15，MN＝3.
（1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC 的周长.
25.（12 分）在△ 中， ，AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 M， .
（1）求 的大小.
（2）如果将（1）中的∠A 的度数改为 70°，其余条件不变，再求∠ 的大小.
（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？
26.(12 分)如图，在由小正方形组成的 的网格 中，点 ， 和
四边形 的顶点都在格点上．
（1）画出与四边形 关于直线 对称的图形；
（2）平移四边形 ，使其顶点 与点 重合， 画出平移后的
图形；
（3）把四边形 绕点 逆时针旋转 180°，画出 旋 转 后 的 图
形．
期末检测题参考答案
1.B 解析：因为点 是 的中点且 ，
所以 所在的直线是 的垂直平分线，
所以
因为 所以设
则
所以 所以 ，
所以∠ .
2.C 解析：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形 DEOH，
DEFC，DHGA，BGOF，BGHC，BAEF，AGOE，CHOF 和 ABCD 都是平行四边形，共 9 个．故选 C.
3.C 解析：其中第一、三、四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形只是轴对称图形，
故选 C.
4.Ａ 解析: 多项式 －2a 的两项中有公因式 a，可以提取公因式 a，把 －2a 分解为 a(a－2).
5. C 解析：要求不等式组的整数解的个数，首先求出不等式组的解集，然后从解集中确定整数解，
解不等式①，得 x>－ . 解不等式②，得 x≤1.
所以不等式组的解集是－1.5＜x≤1，
所以不等式组的整数解有－1，0，1 三个.故选 C.
6.C 解析：方程两边同乘 ，得 xx 233 ，解得 3x .
经检验： 3x 是原方程的解.所以原方程的解是 3x ．
7.B 解析：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①正确；
因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以③错误.
故正确的是①②.
8. C 解析：设这个多边形的边数是 n ，则这个多边形共有 n 个内角，
所以它的内角和可以表示为 120n ，
由多边形的内角和公式得，这个多边形的内角和为 2 180n ，
∴ 120 2 180n n ，解得 6n .
9.D 解析：设 ，则 ，
根据“等面积法”，得 ，解得 ，
所以□ 的面积为 ．
10. Ｃ 解析：因为骑车学生的速度为 x km/h，则汽车的速度为 2x km/h，
根据题意，得 .
11. 解析：因为∠ ，所以
又因为 是△ 的角平分线， ，所以 .
因为 所以 ，所以 .
又因为 即 ，所以 .
12. 解析：解关于 的不等式组
，
，
bax
abx
2
2 得
.2
2
bax
bax ，
由关于 的不等式组
bax
abx
2
2 ，
的解集为 ，
知
.3
3
32
32
b
a
ba
ba ，解得，
，
13.9 解析：△ 与△ 有两边是相等的，又△ 的周长比△ 的周长大 3，
其实就是 比 大 3，又知 AB＋BC ＝
15
，可求得 .
14. 解析：由图可知 A 点坐标为 ，根据绕原点 O 旋转 后横纵坐标分别互为
相反数，所以旋转后得到的坐标为 ，根据平移“上加下减”原则，知向下平移 2 个单位得到的坐
标为 ．
15. )3)(3( xxy 解析：先将原式提出公因式 y，还剩因式 32 x ，因为是在实数范围内，因
此 将 3 可 看 做 是 2)3( ， 这 样 就 符 合 完 全 平 方 公 式 ， 就 可 以 继 续 进 行 因 式 分 解 . 所 以
2 3x y y )3)(3( xxy ．
16.20 解析：设张明平均每分钟清点图书 本，则李强平均每分钟清点图书（ 本，根据题意列方
程，得 ，解得 20.经检验 20 是原方程的解．
17. ＜8 且 ≠4 解析：解分式方程 ，得 ，得 8－ .
∵ ＞0，且 －4≠0，∴ 8－ ＞0 且 8－ －4≠0，∴ ＜8 且 ≠4．
18. 解析：因为 ，平行四边形的面积是 ，所以 边上的高是 ．
所以要求的两条对角线长度之和是 ．
19.（1）③
（2）忽略了 的可能
（3）解：因为 ，
所以 ．
所以 或 ．故 或 ．
所以△ 是等腰三角形或直角三角形.
20.解： 2 2 2
2 1 a
a b a ab a b
＝ 2 1 ·( )( ) ( )
a b
a b a b a a b a
＝ 2 ·( )( ) ( )( )
a a b a b
a a b a b a a b a b a
＝ 2 ( ) ·( )( )
a a b a b
a a b a b a
＝ ·( )( )
a b a b
a a b a b a
＝ 2
1
a .
21.解：设甲工厂每天加工 件产品，则乙工厂每天加工 件产品，
根据题意，得 105.1
12001200
xx
，解得 .
经检验： 是原方程的根，所以 .
答：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品.
22.解：设第一批盒装花每盒的进价是 x 元，
则 2× ，解得 x＝30.
经检验，x＝30 是原方程的根.
答:第一批盒装花每盒的进价是 30 元.
23.证明：（1）∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ ．
又∵ ，∴ ，即 ．
（2）∵ ，AF∥CE，∴ 四边形 AFCE 是平行四边形．
24.（1）证明：∵ AN 平分∠BAC，∴ ．
∵ BN⊥AN，∴ ∠ANB＝∠AND＝90°．
在△ABN 和△ADN 中，
∵ ∠1＝∠2 ，AN＝AN ，∠ANB＝∠AND，
∴ △ABN≌△ADN，∴ BN＝ DN．
（2）解：∵ △ABN≌△ADN，∴ AD＝AB＝10，DN＝NB.
又∵ 点 M 是 BC 的中点，∴ MN 是△BDC 的中位线，∴ CD＝2MN＝6，
故△ABC 的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41．
25. 解：画出图形如图所示.
（1）因为 ，所以∠ ∠ .
所以 .
因为 MD 是 AB 的垂直平分线，所以∠ ，
所以∠ ∠ .
（2）同（1），同理可得 .
（3）AB 的垂直平分线与底边 BC 的延长线所夹的锐角
等于∠A 的一半.
（4）将（1）中的 改为钝角，对这个问题规律的认识无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线
与底边相交，所夹的锐角等于顶角的一半.
26.分析：（1）找出四边形 各顶点关于直线 的对称点，然后顺次连接即可；
（2）平移后顶点 与点 重合，可知其平移规律为先向下平移 3 个单位，再向左平移 6 个单位，继而根
据平移规律找出各顶点的对应点，然后顺次连接；
（3）根据旋转中心和旋转方向，找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接．
解：（1）所画图形如图所示，四边形 即为所求.
（2）所画图形如图所示，四边形 即为所求.
（3）所画图形如图所示，四边形 即为所求．
第一章 三角形的证明
课 题 §1.1 等腰三角形 （1）
教学目标
1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
2.了解分析的思考方法，掌握用综合法证明的格式；
3．感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径.
教学重点 等腰三角形的性质定理和判定定理.
教学难点 等腰三角形的性质定理和判定定理.
教 学 过 程 复 备
一.【预习指导】
1.用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明.
经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理.
2.证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？
3. 我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：
4.什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5.我们曾经利用等腰三角形的对称性，发现了等腰三角形的哪些性质？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
6.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
二.【效果检测】
1.证明： 等腰三角形的两个底角相等.
点拨：要证明两个角相等，可以构造一对全等三角形.图中的∠B、∠C,AB、AC
要分别是这两个三角形的角与边.如果用 “SAS”证明，如何作辅助线？
讨论：还有不同的证明方法吗？
2. “等边对等角”用符号语言如何表示？
三.【布置任务】师生互动探究
思考与探索
问题 1.证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合.
点拨：上面的证明你作的辅助性是等腰三角形的什么线？接着刚才的证明，你
一定能发现“三线合一”的真相。请按照证明题的三个步骤，进行证明.
思考：“三线合一”用符号语言如何表示？
问题 2. 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？
①写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②画出图形，写出已知、求证，并进行证明.
思考：“等角对等边”一符号语言如何表示？
问题 3.已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且 AD∥BC.
求证：AB＝AC.
分析：要证 AB＝AC，只需证∠B＝∠C，已知∠EAD＝∠DAC,
只需证∠EAD＝∠B, ∠DAC＝∠C.
证明： A
B C
D
E
四.【小组交流】学生展示
已知：如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O，
MN 过点 O，且 MN∥BC，交 AB、AC 于点 M、N.
（1）求证：MN＝BM＋CN.
(2)如果 AB=20，BC=12，AC=18，求△AMN 的周长.
五.【课堂训练】拓展延伸
1. 在问题 3 中，如果 AB＝AC，AD∥BC，那么 AD 平分∠EAC 吗？如果结论成
立，你能证明这个结论吗？
2.在问题 3 中，如果 AB＝AC，AD 平分∠EAC，那么 AD∥BC 吗？如果结论成立，
你能证明这个结论吗？
六.【课堂小结】
本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑
惑？
随堂练习
课外作业
下一节课
预习要求
教 后 记
课 题 §1.1 等腰三角形 （2）
教学目标
1.能证明等边三角形的性质定理和判定定理。
2.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
3.进一步了解分析法和综合法。
教学重点 等边三角形的性质定理和判定定理
教学难点 等边三角形的性质定理和判定定理
教 学 过 程 复 备
A
N
B
OM
C
一.【预习指导】
1.等腰三角形性质定理：
2.等腰三角形判定定理： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4.线段垂直平分线的性质定理 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二.【效果检测】
1 证明：等边三角形的每个内角都是 60°.
分析：要证等边三角形的每个内角都是 60°，就要先根据等边对等角证明
三个角相等。
2.证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
三.【布置任务】师生互动探究
问题 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。
分析：由等边三角形的的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形。
根据“等角对等边”可以证得。
问题 2. 证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。
四.【小组交流】学生展示
1. 证明：如果一个等腰三角形中有一个角等于 60°，那么这个三角形是
等边三角形。
2.已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB、AC 于
点 D、E。 求证：△ADE 是等边三角形。
五.【课堂训练】拓展延伸
已知：如图，△ABC、△CDE 是等边三角形，B、C、D 在同一条直线上，AC、
BE 交于点 M，AD、CE 交于点 N。证明：△BCE≌△ACD, △MCE≌△NCD
A
B C
D E
N
M
E
D
C
B
A
拓展：△MNC 是什么形状？证明你的想法。
六.【课堂小结】
本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑
惑？
随堂练习
课外作业
下一节课
预习要求
教 后 记
课 题 §1.2 直角三角形 （1）
教学目标
1.能证明并会应用直角三角形全等的“HL”判定定理。
2.体会转化的数学思想。
3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。
教学重点 证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用
教学难点 证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用
教 学 过 程 复 备
一.【预习指导】
1、直角三角形全等的条件有哪些？
2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？
思考： 我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”
判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”
或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”
判定它们全等．
如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是
否可能全等呢？
二.【效果检测】
1.如图 1 (1)，在△ABC 与△A＇B＇C＇中，若 AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝
∠C＇＝90°，这时 Rt△ABC 与 Rt△A＇B＇C＇是否全等？
导学： 把 Rt△ABC 与 Rt△A＇B＇C＇拼合在一起 ，如图 1(2)，因为
∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以 B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，
因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据 AAS 公理可知
Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC。
请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。
证明：
反思：1.为什么要说明 B、C(C＇)、B＇三点在一条直
线上呢？
2.前面我们曾用画图剪拼的方法，比较感性的获
得“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形的
全等。”但是，由于观察并不一定可靠，通过今天严谨
的逻辑证明，我们确信这是一条数学真理。
3.根据勾股定理、SAS 公理你还有其他证明方法吗？
三.【布置任务】师生互动探究
问题 1. 证明:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
点拨：1.我们可以构造如图 1(2)的图形中，在等边三角形 AB B＇中，如果
∠BAC＝30°，那么△ABC 是一个直角三角形，且 BC＝ 2
1 AB。
四.【小组交流】学生展示
问题 2. 如图，在△ABC 中，已知 D 是 BC 中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是 E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC
点拨：要证 AB=AC，只要分别证 AE=AF，BE=CF,因而只要用”HL” 证明
Rt△AED≌Rt△AFD, Rt△BED≌Rt△CFD。
六.【课堂训练】拓展延伸
问题 3 如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是 D、E,
BE、CD 相交于点 O，如果 AB=AC，哪么图中有几对全
等的直角三角形？取其中的一对予以证明。
D
B
C
A
E
F
O
A
B
C
D
E
拓展：直线 AO 与线段 BC 有何关系？请说明理由。
七.【课堂小结】
1. 图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和“拼
把两个直角三角形拼成一个等腰三角形”两种方法体现了同一种思想——
转化思想，即把待证的问题转化为可证的问题。
2. 本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定
理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例
子吗？
随堂练习
课外作业
下一节课
预习要求
教 后 记
课 题 §1.2 直角三角形 （2）
教学目标
1.能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；
2.从简单的数学例子中了解反证法的含义
3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力
教学重点 角平分线的性质定理和逆定理
教学难点 角平分线的性质定理和逆定理
教 学 过 程 复 备
一.【预习指导】
1. 直角三角形全等的判定方法：________________________________。
2. 角平分线的性质定理：______________________________________。
3. 你能用什么方法作出∠AOB 的平分线 OC？
二.【效果检测】
1 证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知：
求证：
证明：
思考：上述定理用符号语言如何让表示？
2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点，
在这个角的平分线上。
已知：
求证：
证明：
思考：上述定理用符号语言如何让表示？
三.【布置任务】师生互动探究
问题 1. “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角
的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？
点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离______，
A
D
C
P
B
E
O
A
D
P
B
E
O
这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以_______
链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是：
否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，
反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或
“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。
问题 2. 如图，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 O，点 O 到△ABC 各边的距
离相等吗？点 O 在∠C 的平分线上吗？为什么？
点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。
思考：你能用一个命题概括这一题吗？
四.【小组交流】学生展示
问题 3. 如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，
求证：点 F 在∠DAE 的 平分线上
2、如图，在△ABC 中， ∠C=90 度，点 D 在 BC 上，DE 垂直
平分 AB，
且 DE=DC。求∠B 的度数。
点拨： 应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。
五.【课堂训练】拓展延伸
问题 3. 如图，已知∠B=∠C=90º，M 是 BC 中点，MN⊥AD，
若∠1＝∠2，求证∠3=∠4 。
拓展： 你还有什么发现？
六.【课堂小结】
1.角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我们是如何证明的?
2.三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？
3.反证法的一般步骤有哪些？
4.你还有哪些困惑？
O
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
随堂练习
课外作业
12
3
4
N
M
D C
BA
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
2.1 不等关系
教学目的和要求：
理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系
教学重点和难点：
重点：
对不等式概念的理解
难点：
怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图 1-1，用用根长度均为 l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于 25 ㎝ 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积大于 100 ㎝ 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
（3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个大？l=12 呢？
（4）改变 l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？
分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为 2)4( l ，圆的面积可以表示为
2
2
l 。
（1） 要使正方形的面积不大于 25 ㎝ 2，就是
25)4( 2 l ，即 2516
2
l 。
（2） 要使圆的面积大于 100 ㎝ 2，就是
2
2
l ＞100，
即
4
2l ＞100
（3） 当 l=8 时，正方形的面积为 )(416
8 2
2
cm ，圆的面积为 )(1.54
8 2
2
cm
，
4＜5.1，此时圆的面积大。
当 l=12 时，正方形的面积为 )(916
12 2
2
cm ，圆的面积为 )(5.114
12 2
2
cm
，
9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变 l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为 l
㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
4
2l ＞
16
2l
2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m 的地
方作为测量部位。某树栽种时的树围为 5 ㎝，以后树围每年增加约 3 ㎝，这棵树至少要生长多少年其
树围才能超过 2.4m？（只列关系式）
（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为 0.2m/s，人离开的速度为 4m/s，导火线的长度 x（m）应满足怎样的关系式？
答案：（1）设这棵树生长 x 年其树围才能超过 2.4m，则 5+3x＞240。
（2）人离开 10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：
4
10 ＜
2.0
x
分析巩固练习：
用不等式表示：
（1） a 的相反数是正数；
（2） m 与 2 的差小于
3
2 ；
（3） x 的
3
1 与 4 的和不是正数；
（4） y 的一半与 x 的 2 倍的和不小于 3。
解答：（1）a 的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a＞0；
（2）“m 与 2 的差”就是 m-2，“ 差小于
3
2 ”即是 m-2＜
3
2 ；
（3）“x 的
3
1 ”就是
3
1 x，“x 的
3
1 与 4 的和不是正数”就是
3
1 x+4≤0；
（4）“y 的一半”不是
2
1 y,“x 的 2 倍”就是 2x，“不小于 3”即指大于或等于 3，故“y 的一半与 x 的
2 倍的和不小于”就是
2
1 y+2x≥3。
3. 下列各数：
2
1 ，-4， ，0，5.2，3 其中使不等式 2x ＞1，成立是 （ ）
A．-4， ，5.2 B． ，5.2，3 C．
2
1 ，0，3 D． ，5.2
答案：D
4. 有理数 a，b 在数轴上的位置如图 1-2 所示，所
ba
ba
的值 （ ）
A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．≥0
答案：B
小结提问，快速回答：
1. 表示不等式关系的符号有哪些?
2. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的 5 倍与 3 的差比 x 的 4 倍大；
（2）a 的
4
1 的相反数是非负数；
（3）x 的 3 倍不小于 y 的 8 倍。
3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）
A． 2a ＞0 B． 02 a C．2a＞a D． 2a ＞a
作业要求：作业本
2.2 不等式的基本性质
一、教学目标
1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2．掌握不等式的基本性质。
二、教学重难点
不等式的基本性质的掌握与应用。
三、教学过程设计
1.比较归纳，产生新知
我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。
请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试一试，并与同
伴交流。
类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如 3＜7，3+1=4，7+1=8，4
＜8，所以 3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7,3-a＜7-a 等。都能说明
猜想的正确性。
2.探索交流，概括性质
完成下列填空。
2＜3，2×5 3×5；
2＜3，2×（-1） 3×（-1）；
2＜3，2×（-5） 3×（-5）；
你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。
通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。
得出不等式的基本性质：
不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）
3.练习巩固，促进迁移
1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果 a＞b，则
2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若 a＞b，则 2a+1 2b+1;
（2）若 ＜10，则 y -8；
（3）若 a＜b，且 c＞0，则 ac+c bc+c；
（4）若 a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
4.巩固应用，拓展研究.
1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a＞b 两边都加上-4； （2）-3a＜b 两边都除以-3；
（3）a≥3b 两边都乘以 2； （4）a≤2b 两边都加上 c；
2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为 x＞a 或 x＜a 的形式（a 为常数）：
5.课内深化，提升能力
比较下列各题两式的大小：
6.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知
结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
课外作业：课本第 9 页“习题 1.2”
2.3 不等式的解集
一、教学目标
1．理解不等式解与解集的意义。
2．了解不等式解集的数轴表示。
二、教学重难点
重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前 10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为 0.02m/s，人离开的速度为 4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间到达安
全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）
设导火线的长度应为 x cm ，根据题意，得
即 x>5
2.探索交流，得出概念
1．想一想：（1）你能找出几个使不等式 x>5 成立的 x 的值吗？
（2）x＝5,6,8 能使不等式 x>5 成立吗？
(字母可以表示任何数，但对于满足 x>5 中的字母 x，它能够取任意数吗？如果不能，它能取哪些数呢？
启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。)
能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6 是不等式 x>5 一个解，7,8,9,……也是不等
式 x>5 的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式 x-5≤-1 的解集为 x≤4；不等
式 x2>0 的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2．议一议：请你用自己的方式将不等式 x>5 的解集和 x-5≤-1 的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流。
（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，让学生
用具体实数对应的点加以说明）
3.练习巩固，促进迁移
1.判断下列说法是否正确：
（1）x=2 是不等式 x+3＜4 的解；
（2）x=2 是不等式 3x＜7 的解集；
（3）不等式 3x＜7 的解是 x=2；
（4）x=3 是不等式 3x≥9 的解。
答案：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确； （4）正确。
2.在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞-1； （2）x≥-1；（3）x＜-1； （4）x≤-1
答案：
（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。
（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。
4.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认
知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第 12 页“习题 1.3”
2.4 一元一次不等式(1)
教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
教学重点和难点：
重点：一元一次不等式的解法
难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。
教学过程：
1. 观察下列不等式：
（1） 155.22 x ； （2） 75.8x （3）x＜4 （4） x35 ＞240
这些不等式有哪些共同特点？
这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，象这样的不等式，叫
做一元一次不等式。
2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。
（1）解不等式
3
7
2
2 xx ，并把它的解集表示在数轴上。
解 去分母，得 )7(2)2(3 xx
去括号，得 xx 21463
移项、合并同类项，得
205 x
两边都除以 5，得
4x
这个不等式的解集在数轴上表示如下（图 1-13）
（2）解不等式
2
235
xx ，并把它的解集表示的数轴上。
答案：
3
20x
其解集在数轴上表示如下图 1-40
3. 解不等式 )1(2)3(410 xx ，并把它的解集在数轴上表示出来。
解答：去括号，得 2212410 xx ，
移项，得 xx 4212210 。
合并同类项，得 24 x6
系数化为 1，得 x4 。得 4x 。
在数轴上表示不等式解集如图
4. 解不等式
6
1
2
1
3
1 yyy ，并把它的解集在数轴上表示出来。
解答：去分母，得 11)(3)1(2 yyy
答案： 3y
这个不等式的解集数轴上表示如图
5. y 取何正整数时，代数式 2(y-1)的值不大于 10-4（y-3）的值。
解答：根据题意列出不等式：
)3(410)1(2 yy
答案：解这个不等式，得 4y ，解集 4y 中的正整数解是：1，2，3，4。
6. 解关于 x 的不等式： k(x+3)＞x+4;
解答：去括号，得 kx+3k＞x+4;
答案：若 k-1=0，即 k=1 时，0＞1 不成立，∴不等式无解。
若 k-1＞0，即 k＞1 时，
1
34
k
kx 。
若 k-1＜0，即 k＜1 时，
1
34
k
kx 。
7. m 取何值时，关于 x 的方程
2
15
3
16
6
mxmx 的解大于 1。
解答：解这个方程：
)15(36)16(2 mxmx
∴
5
13 mx
根据题意，得 15
13 m
解得 m＞2
8. 是否存在整数m，使关于x的不等式 22
931
mm
x
m
x 与 13
2 xmx 是同解不等式？如果存在，
求出整数 m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
答案：x＞-8
因此，存在符合题意的 m，当 m=-11 时，两个不等式同解，解集为 x＞-8。
小结：本节课我们学了什么？
作业布置
一元一次不等式（2）
目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法
及用数轴表示不等式的解集
了解不等式在生活中的应用
重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法
一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用
例。解下列不等式。并把它们的解集
s 在数轴上表示出来
解：在不等式的两边同时解乘以 8 得；即
化简得；
例一教师师范板演。其他学生模仿联系
解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来
例 3、一次环保知识竞赛，共有 25 道题，规定答对一题得 4 分，答错一或不答扣一分。
○1 小明得了 85 分，他答对了多少题？
○2 小立在这次竞赛中被评为优秀（85分或85分以上），小立可能答对了多少题？她至少答对了多少题？
解：○1 设小明答对了 x 道题，那么答错或不答（25-x）道题。
根据题意、得 4x-（25-x）=85
解这个方程、得 x=22
所以小明答对了 22 道题。
○2 设小立可能答对了 x 道题，那么答错或不答（25-x）道题。
根据提意，得 4x-（25-x）>=85
解这个不等式，得 x>=22
因为 x 答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有 25 道题，因此小立可能答对了 22，23，
24，25 道题。她至少答对了 22 道题。
说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元一次不等式解应用题，目的是让学生
认识两者的区别与联系。
二、出示投影片 2：例四、小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本。已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.2
3 1 12 38 4
2 1 2 5 10 17 12 3 4
11 37 13 1 3 73 6 2 5
y y
x x x
xx x x
3 1 18 [2 ] [3 ] 88 4
y y
3 6 24 6 16 3y y
11
9y
1 1 23 4
x x 1 10.5 1.4 (045 )5 2 4
xx
元，她买了 2 个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。
解：设小颖还可能买 n 支笔。
根据题意，得 3n+2.2≦21
解这个不等式，得 n≦16.6∕3
因为 n 表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买 1 支，2 支，3 支，4
支或 5 支笔。
三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。
四、做 17 页随堂练习第二题
五、课下作业，习题 1.5,1 题，2 题
六、课后小结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未知量之间的关系，
找到题中适当的不等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。
3、解不等式。4、在不等式的解集中选取符合题意的解。5、做出正确的结论。
随堂练习
作业布置
2.5 一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次
函数的内在联系。
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。
3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。
二、教学重难点
教学重点初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数图象求
一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书”作品连自己都认不出来的笑话，
下决心练字，在第一周的前 3 天每天练字 6 页。设每周计划练字 x 页。你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？
这是一个什么函数？
若周计划为 y=38 页，则 x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？
（由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。回顾所学知识作
好新知识的衔接。）
回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线 y=kx+b 与方程的联系。
2.探索交流，发现规律
我们来看下面这个问题。
作出函数 y=2x-5 的图象，观察图象回答下列问题：
（1）、x 取何值时，y=0？[提示：
（此题摘自励 耘精品系列丛书《课时导航》北师大版八年级（下）P9 第 8 题）
(让学生认 真 观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，
初步建立“数” （一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、
方程、不等式都 是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之
间的内在联系， 帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。)
2.6 一元一次不等式 组
第一课时
一、教学目标：
1. 知识目标:
①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法．
②会利用数轴较简单的一元一次不等式组
③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况．
2. 能力目标：
①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，
②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力．
3. 情感目标：
将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一
种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。
二、教学重难点：
教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点：借助数形结合的方法找
出不等式的解集。
三、教学过程设计：
1.回顾旧知，探索发展
回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（1）2x+3＞5 （2）6x—5≤1
（让学生上台演示，注意指导其解题的规范性）
探索：用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在 1200 吨到 1500
吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？
分析：设需要 x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为 30x 吨。由题意，积存的污水在 1200 吨
到 1500 吨之间，因此，应有
1200≤30x≤1500
（通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这一具体问题时，自然感知到要解决的
问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不等式组比较自然）
上式实际上包括了两个不等式
30x≥1200 和 30x≤1500
它说明要这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以通过列表、画数
轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方法。）
分别求这两个不等式的解集，得
同时满足①②的未知数 x 应是个不等式的解集的公共部分。
在数轴上表示出来
∴x 应取 40≤x≤50
这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完。
概括：
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组，其步骤通常为：
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；
(2)在数轴上把它们的解集表示出来；
(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。
2.练习巩固，促进迁移
(1)例题：解不等式组
解：解不等式①，得 x＞2
解不等式②，得 x＞4
在数轴上表示出①②的解集
∴原不等式组的解集为 x＞4
（要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示（找公共部分）是关
键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。）
（2） 练习：
（3）问题探讨：
从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系：
①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：
对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图)．
②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：
则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图)；
③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图 3)．
(先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练习解答的形式与
所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对不等式组解集的理解，更重要
的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集。)
3.巩固应用，拓展研究
（1）找出下列不关 x 的公共部分。
(2)解不等式组
(3)求不等式组 的整数解
(巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的需要。其中第 1 题主要训练学生的定
向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第 2 题则是以训练学生解不等式组的方法。第 3 题则以发散思维
为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培养学生学习的意志力。)
4.回顾联系，形成结构
通过本节课的学习，你有哪些收获？
(学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，从而培养
学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之进一步理解一元一次不等式组的
概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系。促进学生对数学知识的记忆,并
把所学知识结构化系统化。)
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第 26 页“习题 1.8”
第二课时
一、教学目标：
1、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。
2、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学生进一步感受数
形结合的作用。
3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。
二、教学重难点：
教学重点：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．教学难
点：不等式组解集几种情况的灵活应用。
三、教学过程设计：
1.基础运用，
例 1. 解不等式组 ，并将解集标在数轴上.
(解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不
等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解
集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。)
步骤：
解：解不等式(1)得 x>
解不等式(2)得 x≤4
∴
（利用数轴确定不等式组的解集）
∴ 原不等式组的解集为
-1,
解不等式(2)得 x≤1,
解不等式(3)得 x<2,
∴ ∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-14x-5 得：x<3，
解不等式 ≤1 得 x≤2，
∴
∴原不等式组解集为 x≤2，
∴这个不等式组的正整数解为 x=1
或 x=2
1、先求出不等式组的解集。
2、在解集中找出它所要求
的特殊解， 正整数解。
例 4.m 为何整数时，方程组 的解是非负数？
(本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即 。先解方程组用 m 的代数式表
示 x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求 m 的取值范围，最后
切勿忘记确定 m 的整数值。 )
解：解方程组 得
∵方程组 的解是非负数，∴
即
解不等式组 ∴此不等式组解集为 ,
又∵m 为整数，∴m=3 或 m=4。
例 5.解不等式 <0。
(由” “这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数,
这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2) 因此，本题可转化为
解两个不等式组。)
例 6. 解不等式-3≤3x-1<5。
解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得- ≤x<2，∴原不等式解集为- ≤x<2。
解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上 1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以 3 得，
- ≤x<2, ∴原不等式解集为- ≤x<2。
4.回顾联系，形成结构
(1)解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
(2)已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组
中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着
不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第 30 页“习题 1.9”
第三课时
一、教学目标
1. 知识目标:
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的实际问题，并能根据具体问题的
意义，检验结果是否合理。
2. 能力目标：
①培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学创造性思维能力。
②体会不等式与方程之间的内在联系。
③通过数学建模，初步培养学生的数学建模能力。
3. 情感目标：
①体会运用不等式解决简单实际问题的过程，提高学生的学习热情.。
②通过实际问题的解决，使学生体会数学知识在生活实际中的应用，激发学习兴趣。
二、教学重难点
教学重点: 如何构建不等式组模型。
教学难点: 如何将实际问题转化为不等式组问题。
三、教学工具：多媒体教学平台。
四、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（师用多媒体展示问题，然后由学生自主探究。）
一堆玩具发给若干个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 4 件；若前面每人分 4 件，则最后一人得到的玩
具不足 3 件.求小朋友的人数与玩具数。
（待学生解决问题后，再让几个学生说出他们思考问题的过程。）
2.探索思考，形成模型
（师用多媒体展示问题，再由学生分组自主合作探究，教师巡视并给予指导）
(1)一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍住不满。①设有 x
间宿舍，请写出 x 应满足的不等式组： 。
②可能有多少间宿舍、多少名学生？
(2)做一做：甲以 5 km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2 h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲.
根据他们两人的约定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上甲。乙骑自行车的速度应当控
制在什么范围？
（师用多媒体课件展示动态的问题过程，然后要求学生用两种解法解，以体会不等式与方程之间
的内在联系。）
3.交流反思，评价结论
请各组学生代表上讲台说出各组解决问题的各种方法与过程，教师及时给予评价。然后再通过实例引
导学生归纳出解决实际问题的数学思想方法（师用多媒体投影下图）：
4.练习巩固，促进迁移
（师用多媒体展示问题，学生自主探究.）：
（通过对如下两个问题的探究，使学生学会运用所获得的数学方法解决新的问题。）
(1)有一个两位数，它的十位数字比个位数字大 1，并且这个两位数大于 30 且小于 42，求这个两位数。
(2)某公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新
增产量 20 件，这 20 件的总产值 p（万元）满足：1100﹤p﹤1200.已知有关数据如下表所示，那么该公司
明年应怎样安排甲、乙两种产品的生产量？
产品 每件产品的产值
甲 45 万元
乙 75 万元
5.回顾联系，形成结构
①列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
审题——设元——列不等式（组）——求解——检验——作答。
②数学建模的思想方法。
③注意：要根据实际问题的意义确定数学模型的解。
（通过小结，进一步培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学建模的能力。）
6.巩固应用，拓展研究
让学生解决如下两个现实生活中的实际问题，以培养学生的创新精神和实践能力。
（师用多媒体展示问题，学生自主探究.学生可根据自己的实际情况选作下列的问题。）
(1)暑假期间，柳城县实验中学两位教师计划带若干名学生去桂林旅游，他们联系了报价都为每人 500 元
的两家旅行社。经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名教师全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优
惠条件是：教师、学生都按八折收费。假设这两位教师带 x 名学生去桂林旅游,他们应该选择哪家旅行社？
(2)在举国上下众志成城，共同抗击“非典”的非常时期，南宁某医药器械厂接受了一批高质量医用口罩
的生产任务，要求在 8 天之内（含 8 天）生产 A 型和 B 型两种型号的口罩共 5 万只，其中 A 型口罩不得少
于 1.8 万只，该厂的生产能力是：若生产 A 型口罩每天能生产 0.6 万只，若生产 B 型口罩每天能生产 0.8
万只。已知生产一只 A 型口罩可获利 0.5 元，生产一只 B 型口罩可获利 0.3 元。设该厂在这次任务中生产
了 A 型口罩 x 万只，问：
⑴该厂生产 A 型口罩可获得利润 万元，生产 B 型口罩可获得利润 万元。
⑵设该厂这次生产口罩的总利润是 y 万元，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围。
⑶如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产 A 型口罩和 B 型口罩的只数，使获得的
总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产 A 型和 B 型口罩的只
数？最短时间是几天？
(3)试一试：请你设计一道关于一元一次不等式（组）的实际应用问题。
（注：如时间不够，问题 2，3 可让学生在课外继续自主研究。通过以上练习，使学生把当堂知识运用
并巩固起来。）
7.课外作业与拓展
课外作业：课本第 32 页“习题 1.10”
回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.不等式的基本性质.
2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集.
3.利用一元一次不等式解决实际问题.
4.一元一次不等式与一次函数.
5.一元一次不等式组及其应用.
（二）能力训练要求
通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力.
（三）情感与价值观要求
利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学
的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心.
●教学重点
掌握本章所有知识.
●教学难点
利用本章知识解决实际问题.
●教学方法
教师指导学生自己归纳总结法.
●教具准备
投影片五张
第一张：（记作§1.7 A）
第二张：（记作§1.7 B）
第三张：（记作§1.7 C）
第四张：（记作§1.7 D）
第五张：（记作§1.7 E）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们已经学完了本章的全部内容，这节课大家一起来进行回顾.
Ⅱ.新课讲授
［师］1.首先，大家来简要概括一下本章的知识点有哪些？
［生］由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式；
类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同；
根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题；
一元一次不等式与一次函数；
一元一次不等式组及其应用.
［师］很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉，大家应该向他学习.下面我们分别详细地回顾总结.
2.重点知识讲解
（1）不等式的基本性质：
［生］不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
［师］不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？
［生］不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个
整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数
时，结果不同.
［师］很好.两个性质可以对比如下：
投影片（§1.7 A）
等式 不等式
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
所得结果仍是等式
两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的
方向不变
两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0），
所得结果仍是等式
两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的
方向不变两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变
例题讲解
投影片（§1.7 B）
下列方程或不等式的解法对不对？为什么？
（1）－x=6,两边都乘以－1，得 x=－6
（2）－x＞6,两边都乘以－1，得 x＞－6
（3）－x≤6,两边都乘以－1，得 x≤－6
［解］（1）正确.因为符合等式的性质.
（2）、（3）错误.根据不等式的基本性质 3，在不等式两边都乘以－1，不等号的方向要改变，而（2）、（3）
都没改变，所以错误.
（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
［师］解一元一次不等式的步骤有哪些？
［生］解一元一次不等式的步骤有：
去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成 1.
［师］很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同.
投影片（§1.7 C）
解一元一次方程 解一元一次不等式
解法步骤 （1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成 1
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成 1
在上面的步骤（1）和（5）中，
要注意不等式号方向是否改
变
解的情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式的解集含有
无限多个数
［例题］下面不等式的解法对不对？为什么？
（1）7x+5＞8x+6
7x－8x＞6－5
－x＞1
∴x＞－1
（2）6x－3＜4x－4
6x－4x＜－4+3
2x＜－1
∴x＞
2
1 .
解：（1）不对.在不等式两边都乘以－1 时，不等号的方向应改变.应为 x＜－1.
（2）不对.在不等式的两边都除以 2 时，不等号的方向不变，且不能丢掉“－”号，应为
2x＜－1
∴x＜－
2
1 .
（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
投影片（§1.7 D）
解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）2（x－3）＞4;
（2）2x－3≤5（x－3）;
（3）
xx
xx
28)2(3
5)2(2
（4）
4
2
33
22
5
3
5
1
xxx
xx
解：（1）去括号，得 2x－6＞4
移项、合并同类项，得 2x＞10
两边都除以 2，得 x＞5.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
图 1－43
（2）去括号，得 2x－3≤5x－15
移项、合并同类项，得－3x≤－12
两边都除以－3，得 x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
图 1－44
（3）
xx
xx
28)2(3
5)2(2
)2(
)1(
解不等式（1），得 x＜1
解不等式（2），得 x＞－2
在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集：
图 1－45
所以，原不等式组的解集为－2＜x＜1.
（4）
4
2
33
22
5
3
5
1
xxx
xx
)2(
)1(
解不等式（1），得 x＜1
解不等式（2），得 x＞2.
在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集：
图 1－46
所以，原不等式组的解集为无解.
［师］解一元一次不等式组求公共部分时要记住：
“同大取大，同小取小，
大于小数小于大数居中间，
大于大数小于小数无解”
（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
［师］大家还可以用类比的方法，比较列方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决实际问题的步骤.
投影片（§1.7 E）
暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人 500 元的两家旅行社，经协商，
甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折
收费.假设这两位家长带领 x 名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
解：设选择甲旅行社所需费用为 y1 元，选择乙旅行社所需费用为 y2 元，则
y1=500×2+70%×500x=350x+1000
y2=80%×500（x+2）=400（x+2）=400x+800
当 y1=y2 时，350x+1000=400x+800
解得 x=4;
当 y1＞y2 时，350x+1000＞400x+800
解得 x＜4;
当 y1＜y2 时，350x+1000＜400x+800
解得 x＞4.
所以，当学生人数为 4 人时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当学生人数少于 4 人时，选择乙旅行社；当
学生人数多于 4 人时，选择甲旅行社.
［师］大家能总结一下基本过程吗？
［生］可以.
①审题，设未知数；
②找不等关系；
③列不等式；
④解不等式；
⑤写出答案.
（5）一元一次不等式与一次函数.
［生］如函数 y=2x－5,当 y＞0 时，有 2x－5＞0,当 y＜0 时，有 2x－5＜0.
Ⅲ.课堂练习
解下列不等式或不等式组：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）;
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）;
（3）
5
6
2
3 xx ;
（4）
3
3
2
2
2)4(2
1
xx
x
解：（1）去括号，得 6x+15＞8x+6
移项、合并同类项，得 2x＜9
两边都除以 2，得 x＜
2
9 .
（2）去括号，得
10－4x+12≤2x－2
移项、合并同类项，得 6x≥24
两边都除以 6，得 x≥4.
（3）去分母，得 5（x－3）＞2（x+6）
去括号，得 5x－15＞2x+12
移项、合并同类项，得 3x＞27
两边都除以 3，得 x＞9
（4）
3
3
2
2
2)4(2
1
xx
x
)2(
)1(
解不等式（1），得 x＜0
解不等式（2），得 x＞0
这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：
图 1－47
所以，原不等式组的解集为无解.
Ⅳ.课时小结
回顾本章的知识点，并进行有关练习.
Ⅴ.课后作业
复习题 A 组
Ⅵ.活动与探究
某化工厂 2000 年 12 月在判定 2001 年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息：
1.生产该种化肥的工人数不超过 200 人；
2.每个工人全年工作时数不得多于 2100 个；
3.预计 2001 年该化肥至少可销售 80000 袋；
4.每生产一袋该化肥需要工时 4 个；
5.每袋该化肥需要原料 20 千克；
6.现库存原料 800 吨，本月还需用 200 吨，2001 年可以补充 1200 吨.
请你根据以上数据确定 2001 年该种化肥的生产袋数的范围.
解：设 2001 年可生产该化肥 x 袋.根据题意得
80000
1000)1200200800(20
20021004
x
x
x
解得 80000≤x≤90000 且 x 为整数.
［答］2001 年该化肥产量应确定在 8 万到 9 万袋之间.
●板书设计
§1.7 回顾与思考
一、1.简述本章的知识点
2.重点知识讲解
（1）不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同.
（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
（5）一元一次不等式与一次函数.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
第三章 图形的平移与旋转
1.图形的平移
知识与技能目标：
1.平移的定义
2.平移的基本性质
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵.
2.探索平移的基本性质，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等的性
质.
情感态度与价值观目标：
经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移的基本性质的过程以及与他人合
作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
教学重点
平移的基本性质.
教学难点
平移的基本内涵的理解.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
图片：一些游乐园的图片、辘轳、电梯等.
电脑演示：平移的过程，粒子运动及行星运转等.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
同学们，还记得游乐园内的一些项目吗？(或投影片放图片，或在电脑上演示幻灯片)：旋转木马、荡秋千、
小火车、滑梯……它们曾经使我们许多人乐而忘返.不过，你想过没有：小火车在笔直的铁轨上开动时，火车头
走了 200 米，那车尾走了多少米呢？
Ⅱ.讲授新课
下面我们来看第一节：生活中的平移(电脑演示：P57 的图 3—1，然后提出问题)
(1)图 3—1 中，传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生了变化？手扶电梯上的人呢？
好，(电脑出示问题，并演示四边形 ABCD 移动到四边形 EFGH 的位置的过程)
如果把移动前后的同一台电视机的屏幕分别记为四边形 ABCD 和四边形 EFGH(如下图)，那么四边形 ABCD
与四边形 EFGH 的形状、大小是否相同？
想一想，议一议(出示投影片§3.1A).
传送带运送电视机的过程中，电视机的形状、大小、位置等因素中，哪些没有发生改变？哪
些发生了变化？手扶电梯上的人呢？
(学生讨论、发现、归纳结论)
在电视机生产车间传输带运送电视机的过程中，对同一台电视机而言，不同时间的位置之间是相互平移的
关系；人在电梯上两个不同时刻之间的位置关系也是平移.
那么，什么是平移呢？
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation).
注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的．．．．．．．．．．．．．．．．
距离．．”.
那大家想一想：平移有什么特征呢？
如图(P57 的图 3—2)，点 A、B、C、D 分别平移到了点 E、F、G、H；点 A 与点 E，点 B 与点 F，点 C 与点
G，点 D 与点 H 分别是一对对应点，AB 与 EF 是一对对应线段；∠BAD 与∠FEH 是一对对应角.
那么同学们想一想，议一议(出示投影片§3.1 B)
(1)在下图中，线段 AE、BF、CG、DH 有怎样的位置关系？
(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？
(3)由(1)、(2)两个问题，你能归纳出什么结论？
经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.
这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.
下面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质(出示投影片§3.1 D)
［例 1］如下图所示，△ABE 沿射线 XY 的方向平移一定距离后成为△CDF，找出图中存在的
平行且相等的三条线段和一组全等三角形.
分析：因为△CDF 是由△ABE 平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找
出平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形状和大小”得到.
解：如图，点 A、B、E 的对应点分别为点 C、D、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：
AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.
平移不改变图表的形状和大小，所以：
△ABE≌△CDF.
接下来，通过练习进一步熟悉掌握平移的定义及基本性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本 P59 随堂练习
1.如图，∠DEF 是∠ABC 经过平移得到的，∠ABC=33°，求∠DEF 的度数.
解：因为∠DEF 是∠ABC 经过平移得到的，所以∠DEF 与∠ABC 是对应角，根据平移的基本性质：“经过
平移，对应角相等”则
∠DEF=∠ABC=33°.
2.在下面的六幅图案中，(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案可以通过平移图案(1)得到？
(图略，课本 P59)
答：图案(3)可以通过图案(1)平移得到.
(二)试一试
1.下面是我们曾经欣赏过的一个图案，它是由若干个两种颜色的小鱼形状的图案拼成的，你能用平移分析
这个图案是如何形成的吗？
(图略：图为课本 P67)
答案：在同一行里，同种颜色的小鱼图案彼此之间是平移关系.
(三)看课本 P57~P58，然后小结
Ⅳ.课后小结
本节课我们通过具体的实例，认识了平移，理解了平移的基本内涵，并探索了平移的基本性质.
平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离.
平移前后两个图形对应点连线平行并且相等，对应线段和对应角分别相等.
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P59 习题 2.1 1、2、3
(二)1.预习内容：P61~P62
2.预习提纲：
(1)如何按要求作出简单平面图形平移后的图形.
(2)确定一个图形平移后的位置的条件有哪些？
Ⅳ.活动与探究
1.如图 1 是 10 枚硬币摆成的三角形，现在只许你移动 3 枚硬币，使图 1 中变成图 2 的倒三角形，请你移移
看.
图 1 图 2
过程：让学生动手拼摆，来培养学生的动手、动脑能力.
结果：平移如下：
(还有其他方法平移，略)
3.2 图形的旋转
知识与技能目标：
1.旋转的定义.
2.旋转的基本性质.
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.
2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线
所成的角彼此相等的性质.
情感态度与价值观目标：
1.经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图
的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.
2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.
教学重点
旋转的基本性质.
教学难点
探索旋转的基本性质.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
电脑演示或图片.
投影片四张：
第一张：想一想(记作投影片§3.3 A)；
第二张：议一议(记作投影片§3.3 B)；
第三张：性质(记作投影片§3.3 C)；
第四张：例 1(记作投影片§3.3 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的
转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).
大家想一想：(出示投影片§3.3 A)
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？
［生甲］在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.
［生乙］每个物体的转动都是向同一个方向转动.
［生丙］钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.
汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有所变化.
［师］同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生活中的旋转.
Ⅱ.讲授新课
［师］在数学中，如何定义旋转呢？
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这
个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点．．．同时都按相同的方式转动．．．．．．．．．
相同的角度．．．．．.
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状．．．．．．．．．．．的特征.
好，了解了旋转的基本概念后，我们来看一钟表的指针的旋转情况(出示投影片§3.3 B)，大家分组讨论.
议一议：
如下图所示，如果把钟表的指针看做四边形 AOBC，它绕 O 点旋转得到四边形 DOEF，在这个
旋转过程中：
(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？
(3)AO 与 DO 的长有什么关系？BO 与 EO 呢？
(4)∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？
［生甲］(1)旋转中心是 O 点，旋转角是∠AOD.
［生乙］旋转角还可以是∠BOE.
［生丙］(2)四边形 AOBC 绕 O 点旋转到四边形 DOEF 的位置.这时点 A 旋转到点 D 的位置，点 B 旋转到点
E 的位置.
［生丁］(3)可以把 OA 看作钟表的指针，它 OA 的位置旋转到 OD 的位置，指针的长短、形状没有变化，
所以 OA 与 OD 是相等的.
同样，线段 OB 与 OE 是相等的.
［生戊］(4)因为四边形 AOBC 绕 O 点旋转到四边形 DOEF 的位置，在旋转的过程中，图形上的每个点同时
都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD 与∠BOE 是相等的.
［生己］(4)也可以这样理解：因为四边形 AOBC 绕 O 点旋转到四边形 DOEF 的位置，所以∠AOB 与∠DOE
是相等的，又因为∠BOD 是公共角，所以，∠AOD 与∠BOE 是相等的.
［师］同学们讨论得非常精彩，也合乎逻辑，看上图，四边形 DOEF 是由四边形 AOBC 绕 O 点旋转得到的，
经过旋转，点 A 移动到点 D 的位置，点 B 移动到点 E 的位置，点 C 移动到点 F 的位置，则点 A 与点 D、点 B
与点 E、点 C 与点 F 就是对应点.
从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？
［生甲］因为 O 是旋转中心，点 A 与点 D 是对应点，点 B 与点 E 是对应点，且 OA=OD，OB=OE，所以可
以知道：对应点与旋转中心所连的线段的长度是相等的.
［生乙］因为点 A 与点 D、点 B 与点 E 是对应点，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点与旋转
中心的连线所成的角是互相相等的.
［师］同学们总结得很好，由此我们得到了旋转的基本性质(出示投影片§3.3 C)
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.
对应点到旋转中心的距离相等.
［师］好，下面我们通过一例题来熟悉旋转的有关性质的应用(出示投影片§3.3 D)
［例 1］钟表的分针匀速旋转一周需要 60 分.
(1)指出它的旋转中心；
(2)经过 20 分，分针旋转了多少度？
［师］大家可以画图表示；有的同学带表的话可以观察观察.
［师生共析］经演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它
旋转一周时的度数是 360°,一周需要 60 分，因此每分钟分针所转过的度数是 6°，这样 20 分时，分针逆转的
角度即可求出.
解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.
(2)分针匀速旋转一周需要 60 分，因此旋转 20 分，分针旋转的角度为
60
360 ×20= 120°.
［师］同学们通过熟悉的钟表，了解了旋转性质的应用.接下来我们拿出剪刀、白纸和图钉来做一做(出示投
影片§3.3 E)
(1)剪出两个边长相等的正方形纸片.
(2)按下图所示用图钉钉制好.
(3)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
过程：同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析图形，
找出关系.
结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.
整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转 90°、180°、 270°.前后的图形
共同组成的.
整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转 180°前后的图形共同组成的.
板书设计
§3.3 生活中的旋转
一、旋转的定义
旋转中心
旋转角
二、旋转的性质
例 1
三、做一做
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
§3.3 中心对称
知识与技能目标：
1.简单中心对称图形.
2.确定一个三角形中心对称后的位置的条件.
过程与方法目标：
1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
情感态度与价值观目标：
1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.
2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.
教学重点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学难点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学方法
讲、议、练相结合法.
教具准备
教师给学生每人印发一张如图 3—16 的图案的方格纸.自制一面小旗子.
直尺、圆规.
投影片三张：
第一张：引例(记作投影片§3.4 A)；
第二张：例 1(记作投影片§3.4 B)；
第三张：想一想(记作投影片§3.4 C).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？
［生］在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
旋转不改变图形的大小和形状.
［师］很好，旋转有什么性质呢？
［生］旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都
是旋转角，旋转角彼此相等.
［师］很好，大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转
90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？看大屏幕(出示投影片
§3.4 A)
如下图，在方格纸上作出“小旗子”绕 O 点按顺时针方向旋转 90°后的图案，并简述理由.
然后在教师发的纸上画图(教师给每位同学发一张如上图所示的方格纸)
(学生观察、分析、动手画图).
［师］同学们画好了吗？哪位同学给大家说说你如何画出来的？
［生］我在原图上找了四个点，即 O 点、A 点、B 点、C 点，如图(教师把该生所画的图在投影上放影)这四
个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转
中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕 O 点按顺时针旋转 90°.我在方格中找
到点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形.
［师］这位同学描述得很好，作出的图案也很漂亮.同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找
图形的关键点，这很让老师为大家高兴.
这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋
转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
这节课我们就来研究：简单的旋转作图.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法，看大屏幕(出示投影片§3.4 B)
［例 1］如图，△ABC 绕 O 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B、C 对应点的位
置，以及旋转后的三角形.
分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定
如何操作.
假设顶点 B、C 的对应点分别为点 E、点 F，则∠BOE、∠COF、∠AOD 都是旋转角. △DEF 就是△
ABC 绕点 O 旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了
相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这
样即可求作出旋转后的图形.
［师］通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，
要注意把痕迹保留下来.
(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
解：(1)连接 OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以 OB、OC 为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线 OE、OF 上截取 OE=OB、OF=OC.
(4)连接 EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC 绕 O 点旋转后的图形.
［师］同学们画得很好，大家想一想，分组讨论：本题还有没有其他作法，可以作出△ABC 绕 O 点旋转后
的图形△DEF 吗？
(同学们讨论、归纳)
［生甲］可以先作出点 B 的对应点 E，连结 DE，然后以点 D、E 为圆心，分别以 AC、BC 为半径画弧，两
弧交于点 F，连结 DF、EF，则△DEF 就是△ABC 绕点 O 旋转后的图形.
［生乙］也可以先作出点 C 的对应点 F，然后连结 DF.因为△ABC 与△DEF 全等，所以既可以用两边夹角，
也可以用两角夹边，找到点 B 的对应点 E，即△DEF.
［师］同学们讨论得非常精彩.方法多种多样，很好.接下来，大家来想一想(出示投影片§3.4 C)
在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除需要此三角形原来的位置外，还需要什么
条件？
［生丙］还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？
［生丁］就是要知道旋转中心和旋转角.
［师］很好，由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：
(1)三角形原来的位置.
(2)旋转中心.
(3)旋转角.
这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作
出它旋转后的图形.
下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本 P70 随堂练习.
在下图中，将大写字母 N 绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90°，作出旋转后的图案.
解：如下图，先确定字母 N 的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90°后的位置，然后连线.
(二)看课本 P69~P70 然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转
后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个条件.
在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.
Ⅴ.课后作业
(一)课本 P71 习题 3.5 1、2.
(二)1.预习内容 P71~P72.
2.预习提纲.
探索图形之间的变换关系.
Ⅵ.活动与探究
在五边形 ABCDE 中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.
求证：AD 平分∠CDE.
过程：让学生分析、讨论.
要证：AD 平分∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC 是在四边形 ABCD 中，∠ADE 是在△ADE 中，且已
知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到，连结 AC，将四边形 ABCD 分成两个三角形，把
△ABC 绕 A 点旋转∠BAE 的度数到△AEF 的位置，这时可知 D、E、F 为一直线，且△ADC 与△ADF 是全等的，
因此命题即可证得.
结果：如图，连结 AC，将△ABC 绕点 A 旋转∠BAE 的度数到△AEF 的位置，因为 AB=AE，所以 AB 与 AE
重合.
因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以 D、E、F 三点在一直线上，
AC=AF，BC=EF.
在△ADC 与△ADF 中
DF=DE+EF=DE+BC=CD.
AF=AC,AD=AD
所以,△ADC≌△ADF(SSS)
因此，∠ADC=∠ADF
即：AD 平分∠CDE.
§3.4 简单的图案设计
知识与技能目标：
图形之间的变换关系.
过程与方法目标：
经历探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)的过程，发展图形分析能力、化归意识和综合
运用变换解决有关问题的能力.
情感态度与价值观目标：
在探索活动过程中，培养学生的化归意识和审美观念.
教学重点
探索图形之间的变换关系.
教学难点
探索图形之间的变换关系.
教学方法
分组讨论法.
教具准备
投影片四张：
第一张：引例(记作投影片§3.5 A)；
第二张：想一想(记作投影片§3.5 B)；
第三张：例 1(记作投影片§3.5 C)；
第四张：(记作投影片§3.5 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］前面我们探讨了图形的平移和旋转，现在来回忆一下：平移和旋转的基本涵义及其它们的性质.
［生甲］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形
的形状和大小.
经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.这是平移的基本性质.
［生乙］在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转.旋转不改变
图形的大小和形状.
旋转的基本性质：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的
连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.
［师］很好，我们来看大屏幕(出示投影片§3.5 A)
下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十字”：
左边(两个小“十字”)的部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴
对称吗？还有其他方式吗？
［师］大家先观察，然后分组讨论.
［生甲］整个图案可以看做是左边的两个小“十字”绕着图案的中心，分别旋转 90°、180°、270°前后
图形组成的.即：通过三次旋转形成的.
［生乙］这个图形也可以看做是由一个“十字”通过连续七次平移前后的图形共同组成的.
［生丙］这个图形可以看做是左边的两个小“十字”先通过一次平移形成图形右侧的部分，然后左、右部
分一起绕图形的中心旋转 90°前后的图形共同组成的.
［生丁］这个图形也可以经过轴对称形成.它可以是左边的两个小“十字”经过两次轴对称所形成的.
如图，直线 EF 与 GH 相交于图形的中心点 O，且互相垂直，先把左边的两个小“十字”作关于 EF 的轴对
称图形，然后作这两部分关于 GH 的轴对称图形，这样就可得到整个图形.
［师］很好，同学们经过观察、分析，知道一个图形既可以看做是由某个“基本图案”平移得到；也可以
看做是由某个“基本图案”旋转而成的；也可以看做是经过轴对称而形成的；也可以是平移与旋转相结合而组
成的.
这节课我们就来探讨图形之间的变换关系，即：它们是怎样变过来的.
Ⅱ.讲授新课
［师］现在大家来“想一想”(出示投影片§3.5 B)
下图的图案是否可以看做是由某个“基本图案”经过平移或旋转而得到的？
［师］同学们可以讨论、动手变换一下.
［生甲］这个图案不能由某个“基本图案”平移或旋转得到.
［生乙］这个图案是一个轴对称图形，它可以看做是左边的图案通过一次轴对称所形成的；也可以看做是
右边的图案通过一次轴对称所形成的.
［生丙］这个图案可以看做是把左边(右边)的图案翻折 180°前后图形共同组成的.
［师］很好，由此我们知道：并不是所有的图形都可以通过一次平移或旋转而得到的.
下面我们再来分析一个图形(出示投影片§3.5 C)
［例 1］怎样将下图中的甲图案变成乙图案？
［师生共析］观察图形，甲、乙两个图案的大小、形状一样，只是甲图案是斜的、乙图案是直的，且它们
的形状的左、右两部分相反，由此可以看出：若把甲图案“扶直”，则这时的甲乙两图案是轴对称的，这样即可
把甲图案变为乙图案.
解：可以先将甲图案绕图上的 A 点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再以 AB 的垂直平分线为对称轴，作
它的轴对称图案，即可得到乙图案.(如下图)
［师］大家想一想、议一议：本题还可以用什么方法把甲图案变为乙图案？
［生丁］还可以先作轴对称图案，然后再将图案“扶直”.如下图
以 AB 的垂直平分线为对称轴，作甲图案的轴对称图案，然后将它绕点 B 旋转，使得图案被扶直，这样就
可以得到乙图案.
［师］很好，如果把图形稍作变化时.(出示投影片§3.5 D)
怎样将下图中的甲图案变成乙图案呢？
［生甲］可以先将甲图案绕图上的 A 点旋转，使得图案被“扶直”，然后将它向左(或沿 AB 方向)平移线段
AB 的长度，这样，甲图案就变成乙图案.
［生乙］也可以先将甲图案向左平移线段 AB 的长度，然后将它绕点 B 旋转，使得图案被“扶直”，这时，
就可得到乙图案.
［师］同学们表现得非常好，由刚才的题可以看到，由于图形稍作变化，则图形之间的变换关系也就不一
样.这要引起大家的注意.
接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的变换关系.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本 P72 随堂练习
1.如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？
第四章 因式分解
4.1 分解因式
一、教学目标
1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。
2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
3．感受整式乘法在解决问题中的作用。
二、教学重难点
探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（1）读一读：
首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头
图）.
章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学
习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关
系。
（2）想一想：
993-99 能被 100 整除吗？你能把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？
今天我们大家一起来研究一下这个问题。
2.探索交流，概括概念
想一想：993-99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的
（1） 小明在判断 993-99 能否被 100 整除时是怎么做的？
（2） 993-99 还能被哪些正整数整除。
答案：
（1）小明将 993-99 通过分解因数的方法，说明 993-99 是 100 的倍数，故 993-99 能被 100 整除。
（2）还能被 98，99，49，11 等正整数整除。
归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。
议一议：现在你能尝试把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
鼓励学生类比数的分解将 a3-a 分解。
做一做：计算下列各式：
（1）（m+4）（m-4）= ;
（2）（y-3）2= ；
（3）3x（x-1）= ；
（4）m（a+b+c）= .
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x=（ ）（ ）
（2）m2-16=（ ）（ ）
（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）
（4）y2-6y+9=（ ）（ ）
请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
答案：
第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；
第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，
它们这间恰好是一个互逆的关系。
议一议：由 a(a+1)(a-1)得到 a3-a 的变形是什么运算？由 a3-a 得到 a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么
不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。
（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。）
概 括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
3.巩固应用，拓展研究
课本 P40 随堂练习。
（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握。）
教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：
（1） 分解的结果要以积的形式表示；
（2） 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
（3） 必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。
4.练习巩固，促进迁移
（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．
答案：C
（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被 99 整除。
证明：设原数百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，则原数可表示为 100x+10y+z，交换位置后数字
为 100 z +10y+ x。
则：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）
=100 z-100x+x-z
=100（z-x）-（z-x）
=99（z-x）
则原结论成立。
（3）（陕西省，中考题）如图 3-1①所示，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长了 b 的小正方形（a＞b），
把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等
式，则这个等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
答案：D。
5.回顾联系，形成结构
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？
（如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果把多项式的因式
分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。因此，整式乘法与多项式的因式分解互为逆
过程。这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别。）
（通过归纳总结，使学生对多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系，从而更好得理解多项式的
因式分解。）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P17－P18
4.2 提公因式法
一、教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
二、教学重难点
教学重点用提公因式法把多项式分解因式
教学难点探索多项式因式分解方法的过程
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价 16 元的
钢笔 10 支，5 元一本的笔记本 10 本，4 元一瓶的墨水 10 瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以 9 折
出售，问共需多少钱。
(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示)
关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）
方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）
请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？
答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数 10×90%放在括号外，只进行过一次计算，
很明显减小计算量。
（使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算，从而使他们初步感知提取公因式方
法的实际应用。）
2.探索交流，概括概念
（1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式 3x2+x 呢？多项式 mb2+nb-b 呢？
（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。
讨论概括：
（1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式 b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的
公因式。如 b 就是多项式 ab+bc 的公因式。同样，多项式 3x2+x 各项都含有相同的公因式 x，多项 mb2+nb-b
各项都含有相同的公因式 b。
（有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义。）
（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘
积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.巩固应用，拓展研究
例 1 将下列各式分解因式：
（1） 3x+6；
（2） 7x2-21x；
（3） 8a3b2-12ab3c+abc；
（4） -24x3-12x2+28x
答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2） （2）7x2-21x=7x·x-7x·3=7x（x-3）
（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·c
=ab（8a2b-12b2c+c）
（4） -24x3-12x2+28= -（24x3+12x2-28）
= -（4x•6x2+4x•3x-4x•7 ）
= -4x(6x2+3x-7)
想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
（进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系）
4.练习巩固，促进迁移
（1）写出下列多项式的公因式：(课本练习)
① ma+mb ② 4kx-8ky ③ 5y3+20y2 ④ a2b-2ab2+ab
（2）把下列各式分解因式：
①3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m
答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
（3）利用分解因式计算：
① 33×0.48+85×0.48-18×0.48 ② 7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25
5.回顾联系，形成结构
想一想：这节课我们学了写什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的
认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P12－P13
第二课时
1.课前热身，复习回顾
想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？
做一做：
（1）下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A．a3+2a2+a=a(a2+2a) B．-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)
C．6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D．a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)
（2）（-3）2005+（-3）2004 等于
（通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备。）
2.应用拓展，深化研究
把下列各式分解因式：
① a（x-3）+2b（x-3）； ② 5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：① a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）
② 5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2
=5（x-y）3+10（x-y）2
=5（x-y）2（x-y+2）
（此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律。）
第 1 小题在教学时引导学生把（x-3）看作一个整体，从而解决工艺市是多项式的情况；
第 2 小题是在第 1 小题的基础上，进一步解决符号问题。教学时要引导学生正确理解（x-y）与（y-x），
（x- y）2 与（y-x）2 的关系。
3.练习巩固，促进迁移
课本练习 P45“做一做”
（加强学生的符号感）
3.巩固应用，拓展研究
（1）把下列各式分解因式：
① 3x2-6xy+x ② -4m3+16m2-26m
答案：①3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） ② -4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
（2）
（3）把下列各式分解因式：
① 4q（1-p）3+2（p-1）2
② 3m（x-y）-n（y-x）
③ m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）
答案：① 4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）
② 3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）
③ m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）
（4）计算
① 已知 a+b=13,ab=40,求 a2b+ab2 的值；
② 1998+19982-19992
答案：① a2b+ab2=ab（a+b）,当 a+b=13 时，原式=40×13=520
② 1998+19982-19992=-1999
（5）比较 2002×20032003 与 2003×20022002 的大小。
解答：设 2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x·10001（x+1）-（x+1）·10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
5.回顾联系，形成结构
想一想：这节课我们学了写什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的
认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业
北师大版八年级（下）P1－P2
4.3 运用公式法
一、教学目标
1． 经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的
逆向思维。
2． 会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。
二、教学重难点
用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
(1) 观察多项式 x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？
（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整
式乘法与分解因式的互逆关系。）
(2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。）
2.探索交流，概括概念
讨论：
（1）多项式的各项都能写成平方的形式。如 x2-25 中：x2 本身是平方的形式，25=52 也是平方的形式；
9x2-y2 也是如此。
（2）逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,
可知 x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
所以我们可以借助乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 的逆过程得到乘法公式 a2-b2= (a+b)(a-b)
3.巩固应用，拓展研究
例 1 把下列各式分解因式：
（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的 a，b 在此例中分别是什么）
提问：a2-b2= (a+b)(a-b) 中 a，b 都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 9(m+n)2-(m-n)2; (2) 2x3-8x;
解 (1)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
（进一步让学生理解平方差公式中的字母 a，b 不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。）
(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止。）
4.应用加强，课内深化
1 把下列各式分解因式：
2 如图，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，
通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因
式的公式，这个公式是怎样的？
5.练习巩固，促进迁移
（1）把下列各式分解因式
① -(x+y)2+z2 (让学生比较（x+y+z）(z-x-y)与-(x+y+z)(x+y-z)是否相等)
② 9（a+b）2-4（a-b）2 ③m4-16m4
（2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高 h 都是 18 米，外径 D 为 1 米，内径 d 为 0.4 米，每立方
米钢的重量为 7.8 吨．求四根立柱的总重量．(π取 3.14，结果保留两个有效数字)．
解：设四根立柱总重量为 w 吨，则
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
（3）已知 a,b,c 是△ABC 的三条边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 试判断 △ABC 的形状。
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0 ∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0 ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴这个三角形是等边三角形.
（4）设 x+2z=3y,试判断 x2-9y2+4z2+4xz 的值是不是定值？
答案：当 x+2z=3y 时，x2-9y2+4z2+4xz 的值为定值 0。
（5）分解因式：
（6）分解因式：
5.回顾联系，形成结构
想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的
认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P23－P24
回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能
灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
（二）能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
（三）情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数
学知识解决实际问题的意识.
●教学重点
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点
利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法
引导学生自觉进行归纳总结.
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§2.6 A）
第二张（记作§2.6 B）
第三张（记作§2.6 C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.
今天,我们来综合总结一下.
Ⅱ.新课讲解
（一）讨论推导本章知识结构图
［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.
（2）分解因式与整式乘法的关系.
（3）分解因式的方法.
［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）
［生］
（二）重点知识讲解
［师］下面请大家把重点知识回顾一下.
1.举例说明什么是分解因式.
［生］如 15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）
把多项式 15x3y2+5x2y－20x2y3 分解成为因式 5x2y 与 3xy+1－4y2 的乘积的形式,就是把多项式 15x3y2+5x2y－
20x2y3 分解因式.
［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
如:ma+mb+mc=m（a+b+c）
从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.
3.分解因式常用的方法有哪些?
［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab+b2=（a±b）2
4.例题讲解
投影片（§2.6 A）
［例 1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2
（2）6x2y3=3xy·2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2
（4）4ab+2ac=2a（2b+c）
［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，
否则不是.
［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.
（2）不是因式分解,因为 6x2y3 不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.
（3）不是因式分解,而是整式乘法.
（4）是因式分解.
投影片（§2.6 B）
［例 2］将下列各式分解因式.
（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;
（3）
4
1 －
9
1 x2;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2;
（5）x4－25x2y2;
（6）4x2－20xy+25y2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.
解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5
=2a2b3（4a2－2ab+b2）;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3
=－（9ab－18a2b2+27a3b3）
=－9ab（1－2ab+3a2b2）;
（3）
4
1 －
9
1 x2=（
2
1 ）2－（
3
1 x）2
=（
2
1 +
3
1 x）（
2
1 －
3
1 x）;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2
=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2
=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］
=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）
=（5x+y）（x+5y）;
（5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）
=x2（x+5y）（x－5y）;
（6）4x2－20xy+25y2
=（2x）2－2·2x·5y+（5y）2
=（2x－5y）2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2
=（a+b）2+2·（a+b）·5c+（5c）2
=［（a+b）+5c］2=（a+b+5c）2
投影片（§2.6 C）
［例 3］把下列各式分解因式:
（1）x7y3－x3y3;
（2）16x4－72x2y2+81y4;
解:（1）x7y3－x3y3
=x3y3（x4－1）
=x3y3（x2+1）（x2－1）
=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）
（2）16x4－72x2y2+81y4
=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2
=（4x2－9y2）2
=［（2x+3y）（2x－3y）］2
=（2x+3y）2（2x－3y）2.
［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
［生］可以.
分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2;
（2）（x2+4）2－（x+3）2;
（3）－4a2－9b2+12ab;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
解:（1）16a2－9b2=（4a）2－（3b）2
=（4a+3b）（4a－3b）;
（2）（x2+4）2－（x+3）2
=［（x2+4）+（x+3）］［（x2+4）－（x+3）］
=（x2+4+x+3）（x2+4－x－3）
=（x2+x+7）（x2－x+1）;
（3）－4a2－9b2+12ab
=－（4a2+9b2－12ab）
=－［（2a）2－2·2a·3b+（3b）2］
=－（2a－3b）2;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
=（x+y）2－2·（x+y）·5+52
=（x+y－5）2
2.利用因式分解进行计算
（1）9x2+12xy+4y2,其中 x=
3
4 ,y=－
2
1 ;
（2）（
2
ba ）2－（
2
ba ）2,其中 a=－
8
1 ,b=2.
解:（1）9x2+12xy+4y2
=（3x）2+2·3x·2y+（2y）2
=（3x+2y）2
当 x=
3
4 ,y=－
2
1 时
原式=［3×
3
4 +2×（－
2
1 ）］2
=（4－1）2
=32=9
（2）（
2
ba ）2－（
2
ba ）2
=（
2
ba +
2
ba ）（
2
ba －
2
ba ）
=ab
当 a=－
8
1 ,b=2 时
原式=－
8
1 ×2=－
4
1 .
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不
能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业
复习题 A 组
Ⅵ.活动与探究
求满足 4x2－9y2=31 的正整数解.
分析:因为 4x2－9y2 可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y 为正整数），而 31 为质数.
所以有
132
3132
yx
yx 或
3132
132
yx
yx
解：∵4x2－9y2=31
∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31
∴
132
3132
yx
yx 或
3132
132
yx
yx
解得
5
8
y
x 或
5
8
y
x
因所求 x、y 为正整数，所以只取 x=8,y=5.
●板书设计
§2.6 回顾与思考
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解.
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解
例 1、例 2、例 3
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
第五章 分式与分式方程
5.1 分式
一、教学目标
1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感。
2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别；掌握分式的基本性质，会化简分式。
3.在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。
二、教学重难点
教学重点：了解分式的概念，分式的基本性质；
教学难点：化简分式。
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
读一读：看章首导图引出本章内容。
（章首图的主要意境是一个“代数式的庄园”，其中有整式，也有分式。在教学中，应利用章前图中提
供的信息，让学生感受到分式与整式一样，也是表示现实情景数量关系的工具，是解决问题的一种模
型。）
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林
2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前 4 个月完成原计划任务，原计划每月
固沙造林多少公顷？
（1） 这一问题中有哪些等量关系？
（2） 如果设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完
成一期工程用了____________个月；
根据题意，可得方程 ；
2.探索交流，概括概念
（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30 公顷；原计划完成一
期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4 个月；
(通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意
义，发展符号感。)
做一做：
1.正 n 边形的每个内角为 度；
答：
2.一箱苹果售价 a 元，箱子与苹果的总质量为 mkg，箱子的质量为 nkg，则每千克苹果售价是多少元？
（进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义。）
议一议：
上 面 问 题 中 出 现 了 代 数 式 ，
它们有什么共同
特征？它们与整式有什么不同？
整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称 为分式，
其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。
（这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而
获得分式的概念。教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背。）
3.巩固应用，拓展研究
例 1 （课本例题）（1）当 a=1,2 时，求分式 的值；
（2）当 a 取何值时，分式 有意义？
答案：（1）
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。
由分母 2a=0,得 a=0，所以，当 a 取零以外的任何实数时，分式 有意义。
（对与例 1（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母 a 本
身是可以表示任何数的，但这里 a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）。）
4.练习巩固，促进迁移
（1）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？
（2）分别求出使下列式子有意义的 x 的值。
（3）当 x 取何时，下列分式的值为零。
5.回顾联系，形成结构
想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的
认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P25－P26
第二课时
1.创设情景，导出问题
引导学生独立思考、大胆质疑：为什么可以类比？因为字母可以表示任何的数。
1. 探索交流，概括概念
讨论后得出结论
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
注意：在分式有意义的情况下，（本题实际隐含了 m≠0，n≠0 的条件，故成立）。
3.巩固应用，拓展研究
例 2（课本例题）
（本例承上启下。一方面它是分式基本性质的应用，另一方面由此例引出分式的约分。教学时注意引导
学生找出分子与分母的公因式。）
例 2 中， ，即分子、分母同时约去了整式 ab； ，即分子、分母同时约
去了整式 x-1。
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
练习：化简下列分式：
注意在约分训练时，应使学生明确如下几点：①对于一个分式来说，约分就是要把分子分母都除以同
一个因式，使约分前后分式的值相等；②约分的关键是确定分式的分子分母的公因式，其思考过程与分解
因式中提取公因式的思考过程相似；③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整
体都除以同一个因式。
议一议：在化简 时，小颖和小明出现了分歧。
你对他们两人的做法有河看法？与同伴交流。
（约分不彻底是学生容易出现的问题。教学时要根据学生出现的具体问题引导学生进行交流。）
在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使
结果成为最简分式或整式。
4.练习巩固，促进迁移
1.学校用一笔钱买奖品，若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品，则可买 60 份奖品，若以 1 支钢笔和
3 本日记本为一份奖品，则可买 50 份奖品，问这笔钱全部用来买笔或日记本，可买多少？
答案：设钢笔每支 x 元，日记本每本 y 元，则 60(x+2y)=50(x+3y),则 x=3y，于是，这笔钱全用于买钢笔，可
买
这笔钱全用于买日记本，可买
2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？
答案：（1）由已知分式中隐含着 a≠0 的条件，所以可以用 a 分别乘以分式的分子与分母，分式的值不变，
固（1）是正确的。
（2）∵字母 c 可取任意数，当然包括零，当 c=0 时，分子、分母都乘以 c，就会使分式没有意义，所以（2）
只有在 c≠0 时才是正确的。
3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。
4.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
5.不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项式按 x 的降幂排
列。
解法一： 由 可知 x≠0，y≠0，故在等式两边同乘以 xy 得 x+y=5xy。
故 （∵xy≠0，∴分子、分母同除以 xy）
解法二：∵xy≠0，将所求分式的分子分母除以 xy。
5.回顾联系，形成结构
想一想：分式化简应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的
认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P26－P28
5.2 分式的乘除法
一、教学目标
1. 经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情景说明其合理性。
2. 会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力。
3. 能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
二、教学重难点
教学重点：分式的乘除运算法则，进行简单分式的乘除运算。
教学难点：解决一些与分式有关的简单的实际问题。
三、教学过程设计
1. 创设情景，导出问题
观察下列运算：
（让学生全面参与、独立思考，并让他们说说自己是怎样想的，为什么可以这样想，等等。调动学生
的学习积极性。）
2.探索交流，概括概念
概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
经观察、类比不难发现
（在广泛交流的基础上，由学生自己总结出分式的乘除法法则，并用数学的符号语言加以表示。）
3.巩固应用，拓展研究
例 1 计算下列各题：
（这是一个纯运算题目，应引导学生理解每一步的算理。加强学生的逻辑推理能力。）
例 2 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜
的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都 d，已知
球的体积公式为最简分式的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案：选 B
3. 计算：
4. 先化简，再求值。
5.回顾联系，形成结构
想一想：分式的乘除法的法则是什么？在做分式的乘除法时应注意些什么？
（过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认
知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
P28－P30
§5.3 分式的加减法
一、教学目标
1.经历探索分式加减运算法则，理解其算理；
2.会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数 化归能力；
3.能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式 的模型思想。
二、教学重难点
教学重点：分式的加减运算；
教学难点：解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3km，其中第一条是平路，第二条有 1km 的上坡路、2km 的下坡
路，小丽在上坡路上的骑车速度为 vkm/h，在平路上的骑车速度为 2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为
3vkm/h，那么
（1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
（2） 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？
（通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分
式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。培养学生对分式的建模能力。）
答案：生活中到处都有分式的应用。
（2）走第一条路花费的时间少，少用了
2.探索交流，发现规律
讨 论：
（1）同分母的分数如何加减？
（2）你认为 应等于什么？
（3）猜一猜，同分母的分式应该如何加减？
（让学生相互交流，引导学生通过与分数类比，大胆猜想分式的加减运算法则。并让学生说明其合理
性。培养学生的探索能力。）
归 纳：
与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
3.练习巩固，促进迁移
做一做：
想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如 应该怎样计算？
（鼓励学生在同分母分式加减的基础上，思考异分母分式的加减。）
类比异分母分数的加减运算，学生容易想到，解决异分母分式的加减问题，其关键是化异分母分式为
同分母分式的过程。
议一议：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加
减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
（在化成同分母分式的过程中，学生容易出现问题。小明的做法往往是学生容易想到的，但比较麻烦。
教学时可比较两人做法，使学生在比较过程中体会到后一中方法的快捷。）
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方
便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
（最简公分母的概念在课本上没有进行严格的描述，学生只要能在具体问题中明确最简共分母即可，
不必对这一概念进行深究。）
用一用：请你计算一下本课开始的行程问题中的分式的加减式。
（把所学的知识立即应用与实际问题，增强学生的学习兴趣。）
4.练习巩固，促进迁移
（后两小题是一组异分母加减的简单题目，只要分子、分母同乘以一个常数即可以化为同分母分式的
加减运算，为下节课一般的异分母加减运算做好准备。）
5.回顾联系，形成结构
该如何进行分式的加减运算？在运算时应注意些什么？
（通过提问方式引导学生小结主要知识及学习活动，养成学习——总结——再学习的良好习惯，发挥
自我评价的作用，培养学生的语言表达能力）
6.课外作业与拓展
八年级（下）P30－P31
第二课时
1. 探索交流，发现规律
做一做：尝试完成下列各题：
（让学生再次经历异分母分式的加减运算，在此基础上归纳出异分母分式的加减法法则。这种安排容
易被学生所接受，符合他们的认知结构。）
与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
2.巩固应用，拓展研究
例 2
例 3 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货
方式也不同，甲每次购买 1000kg，乙每次用去 800 元，而不管购买多少饲料。
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
（2）谁的购货方式更合算？
答案：（1）设两次购买的饲料单价分别 m 元/kg 和 n 元/kg（m、n 是正数，且 m≠n）
甲两次购买饲料的平均单价为
乙两次购买饲料的平均单价为
（2）甲、乙所购饲料的平均单价的差是
（让学生充分得思考、讨论、交流。通过实例，提高学生的运算能力、代数推理能力和“数学化”
的能力。）
3.课堂练习，促进迁移
4.回顾联系，形成结构
异分母分式的加减法法则是什么？这节课你有什么收获？
（让学生自已总结本节所学内容，培养他们善于总结、归纳的能力）
5.课外作业与拓展
八年级（下）P32－P33
5.4 分式方程
一、教学目标
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。
2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式
不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系。
3.经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程，发展学生分析问题的
能力，培养学生的应用意识。
二、教学重难点
教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性。
教学难点：掌握“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程。
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，探索交流
情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9000kg
和 15000kg。已知第一块试验田每公倾的产量比第二块少 3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那第二块试验田每公顷的产量 是 kg.
根据题意，可行方程。
。
答案：等量关系包括：
第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。
第一块试验田的面积=第二块试验田的面积
第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg
情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600km 的普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路。
某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间
是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为 xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为
h。
根据题意，可得方程
。
答案：等量关系包括：
600km=客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
480km=客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h
由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2×由普通公路从甲地到乙地所需的时间
通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化” 的过程。在教学过程中，
引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。）
2.深入探讨，概括概念
做一做：
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐灾。已知第一次捐款的总额为 4800
元，第二次捐款的总额为 5000 元，第二次捐款的人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额刚好相等。
如果设第一次捐款的人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
（注意让学生努力寻找等量关系，加强学生的思维能力。）
答案：等量关系为
议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点？
（鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同拌讨论、交流自己的结果。通
过这一过程加强学生的观察能力、语言概括能力。）
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
3. 练习巩固，促进迁移
见课本 P78“随堂练习”
4. 巩固应用，拓展研究
练习 1：
甲 6 小时完成的工作改由甲、乙合作 4 小时可以完成，问乙单独做多少小时可以完成？设乙单独做 x 小
时可以完成，那么 x 应满足怎样的方程？
练习 2：
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用 300 元，
后因人数增加到原定人数的 2 倍，费用享受了优惠，一共只需要 480 元，参加活动的每个同学平均分摊的
费用比原计划少 4 元，原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是 x 人，那么每人平均分摊 元。
人数增加到原定人数的 2 倍，每个平均分摊 元。
根据题意，可行方程。 ：
等量关系包括：
实际参加培训的人数=2×原定参加培训的人数。
原计划每人平均分摊的费用-实际每人平均分摊的费用=4 元；
方程为：
5.回顾联系，形成结构
什么是分式方程？怎样列分式方程？
（通过问题的提出，总结本节课的相关知识，让学生再次体会“实际问题——分式方程模型”的过程，
嘉庆学生的建模意识。）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P33－P35
第二课时
1.创设情景，引出问题
解方程： 你能设法求出上节课中的分式方程 的解吗
2.探索交流，发现规律
回顾：
解方程 时，我们一般是先去分母，两边同时乘以最小的公分母 3×7，得
，即 7x=9x+21，这种形式相对就容易计算。通过移项，合并同类项求得
x=-10.5。
联系：
对于分式方程 ，如果两边同时乘以分母最小的公因式，是不是也能像上面的方程一
样的解决呢？
请你试试看！
（通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流，发现解分式方程的一般步骤。）
解：方程的两边都乘以 x(x+3000),得
9000(x+3000)=15000x
解这个方程，得 x=0.5
思考：如何检验 x=0.5 是方程的解？
检验：将 x=0.5 代入原方程，如果得到的左边的值等于右边的值，则它就是原方程的解。
请你检验一下 x=0.5 是不是方程的解？
（同过检验，体验方程解的意义，同时为分式方程的增根的研究作好准备。）
3.例题讲解，加深印象
例 1：解方程：
解：方法一：方程两边都乘以 2x，得
960-600=90x
解这个方程，得 x=4
检验：将 x=4 代入原方程，得
左边=45=右边，
所以，x=4 是原方程的根。
方法二：先化简得方程两边都乘以 x，得
32-20=3x 解这个方程，得 x=4
检验：将 x=4 代入原方程，得
左边=45=右边，
所以，x=4 是原方程的根。
4.应用拓展，深化研究
议一议：在解方程 时，小亮的解法如下：
你认为 x=2 是原方程的根吗？与同伴交流。
（让学生充分进行讨论、交流。寻找增根产生的原因。）
在这里，x=2 不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称之为原方程的增根。产生
增根的原因是，我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式。
事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分
母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种
限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方
程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程
时，验根是必要步骤。
验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可
以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种
方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。
5.练习巩固，课内深化.
（3）已知关于 x 的方程 的解是负数，求 a 的取值范围。
（6.回顾联系，形成结构
想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，
完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P35－P37
回顾与思考
教学目标
（一）知识与技能目标
．使学生系统了解本章的知识体系及知识内容．使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的
四则运算法则及它们之间的内在联系．在熟练掌握分式四则运算的基础上，进一步熟悉掌握分式方程的解
法及其应用．
（二）过程与方法目标
在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练．
（三）情感与价值目标
培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力,提高学生的运算能力．培养学生乐于探究、合作学习的习
惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
教学重点和难点
1．教学重点：(1)熟练而准确地掌握分式四则运算．(2)熟练掌握分式方程的解法及应用．
2．教学难点：分式、分式方程的模型思想的建立，以及分式和分式方程的应用。
教学方法
查缺补漏，引导法．
教学过程
(一)总结知识体系
要求学生读教材 P．86 的回顾与思考，在读书时思考讨论：
1．这一章学习中要掌握哪些内容，有哪些知识点？
2．这一章中每一节学习的内容间有什么内在联系？
在学生讨论后，教师归纳总结出：
1)分式的定义、性质、运算：
(二)例题
在分式
3
3
x
x 中，当 x 为何值时，分式有意义？分式的值为零？
分析：提问．
(2)分式的分子、分母满足什么条件时，分式有意义？(分母≠0)
(3)分式的分子、分母满足什么条件时，分式的值为正？(分子、分母同号)
2、化简
（1） （2）
(三)练习
教材 P．86 中 1—4．
(四)小结
分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算，这也是我们以后学习的基础．我
们要不断提高自己的计算能力．
六、作业
第六章 平等四边形
6.1 平行四边形的性质
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握平行四边形的概念及性质.
（2）掌握运用全等图形、旋转图形进行图形转化的技能.
2．过程与方法
（1）在动手操作的过程中，探索发现平行四边形的性质.
（2）培养逻辑思维能力和语言表达能力.
3．情感与态度
发展探究意识，体会合作交流以及发现带来的快乐.
ba
cab
2
2
12
8
4
44
2
2
a
aa
二、教学重难点和教法
教学重点：探索平行四边形的性质
教学难点：通过操作、思考、升化、归纳出结论
教学方法：探索归纳法
三、教材分析
本课时教材注意突出学生的自主探索和动手操作.教材在前面学习了三角形全等知识与图形旋转的基础上，
从实际操作入手，探索平行四边形的定义和性质，从而巩固了对三角形全等、图形旋转的理解，初步认识
了四边形与三角形的关系，为今后将平面图形转化三角形问题奠定了一个基础.
四、学校及学生状况分析
本校是新密市曲梁乡的一所中学，办学条件一般．这里的学生基本来自农村，生活条件相对不宽裕，学习
过程中主动性尚好．学生在学习本节课以前已经具备了三角形全等及图形旋转等知识，所以本节的教学要
利用已有知识引入新课，并渗透将四边形化为三角形问题的转化思想，这样有助于学生对新知识的接受和
理解．
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
将一张纸对折，在一面上用直尺或三角板，画出一个三角形，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的
一条边重合，自已动手拼摆一下，摆完后与同伴交流．你能得到什么样的四边形呢？
生 1：通过拼摆，我得到图 1 这样的四边形．
生 2：我拼得的四边形像个箭头（如图 2）．
生 3：我拼得的四边形与他们都不同（如图 3）．
师：同学们拼得都非常认真．我们来观察一下，在刚才你们拼得的四边形中有平行四边形吗？
生：有，学生 1 拼得的是平行四边形，学生 2 和学生 3 拼得的不是平行四边形．
师：答得好．在小学我们已经认识了平行四边形，现在请同学们来观察，为什么学生 1 拼得的是平行四边
形，而学生 2 与学生 3 拼得的不是平行四边形？（同学们观察、比较、思考）
（设计意图：让学生对平行四边形与非平行四边形的图形有一个直观和感性的认识，同时培养了学生的求
异思维能力．）
师：本节课，我们就再来认识一下平行四边形（板书课题）．
（二）讲授新课
师：注意看到刚才同学们得到的平行四边形：有公共顶点的两条边叫邻边，无公共顶点的两条边叫对边，
不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线．大家看看，平行四边形的对边有什么特点？
生 4：对边平行．
师：为什么呢？
生 4：如图 4，因为△ADC≌△CBA，所以∠ACD=∠CAB，∠DAC = ∠BCA，而
∠ACD 与∠CAB 是线段 AB，CD 所在直线被线段 AC 所在直线所截得的内错角，所以线段 AB 与线段 CD 平
行．同理，线段 AD 平行于线段 BC．
师：看来同学们对三角形全等知识掌握得非常好．由此，我们可以得到平行四边形的定义：（板书）两组
对边分别平行的四边形叫做平行四边形．在平行四边形的定义中我们需要强调：①平行四边形首先是四边
形；②两组对边要分别平行，二者缺一不可．平行四边形用符号“□”来表示，平行四边形 ABCD 记作□
ABCD，读作“平行四边形 ABCD”（注意，写平行四边形的字母可按顺时针或逆时针标示）．
通过刚才对平行四边形的认识，现在请同学们环视你的周围，再想想你身边的事物，发现平行四边形了吗？
生：黑板、书桌、铁拉门、衣帽架……
（设计意图：意在让同学们直观感受平行四边形的存在，以及根据定义判断图形，从而发现生活中的数学，
养成随时观察、随时思考、学用结合的好习惯．）
师：现将手中的全等三角形纸片都拼成平行四边形，并用胶条粘好，然后将其复制在本子上．现绕粘好的
四边形的某一个顶点旋转 180°，将旋转后的图形平移到所复制的平行四边形处，二者重合吗？由此可得
到哪些结论？平行四边形的对边、对角分别有什么关系？（学生动手操作，讨论并归纳）
（设计意图：用学生自己拼成的平行四边形进行探究、归纳结论，即注意了活动的连贯性，又使学生注意
到知识内在的联系，从而得出了平行四边形的性质，培养了学生多角度思考数学问题的能力．）
生 1：经过刚才的操作，旋转后的平行四边形平移到我复制的平行四边形处，两者完全重合．
师：它说明什么？
生 2：这说明，平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等．
师：现在请同学们来看一下刚才学生 1 操作的过程（图 5：绕 D 点旋转后得到
□A1B1C1D1；图 6：将□A1B1C1D1 平移，使得 D 与 B 重合、A1 与 C 重合．）
（设计意图：教师在黑板上重现学生的演示过程并画出示意图，意在使学生留下更清晰的印象，对平行四
边形相等的边和相等的角更明确、更清晰．）
生 3：我还可以用圆规、直尺和量角器测量，测得平行四边形的对边相等、对角相等．
生 4：其实平行四边形是由对角线分成的两个三角形构成的，通过三角形全等也能说明这个结论．
师：非常精彩！同学们能够从多个角度来思考这此问题，老师真为你们感到骄傲！通过刚才的操作和同学
们的发言，我们得到了平行四边形的性质（出示小黑板或挂图）．
AB=CD，
说明：按定义和性质得：平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等，邻角互补．
（三）议一议
如果已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他三个内角的度数吗？（讨论，交流，得到结论）
生：能．因为平行四边形两组对边分别平行，所以邻角互补；又因为平行四边形对角相等，因此知道平行
四边形一个内角的度数，便可确定其他三个内角的度数．
（设计意图：通过以上问题，熟练应用平行四边形的性质，并锻炼学生的表达能力．）
（四）例题讲解
例 如图 8，在□ABCD 中，（1）若∠A=2∠B，
则∠C=？∠D=？
（2）若周长为 24，且 AD 是 AB 的 2 倍，则 CD=？
解：（1）在□ABCD 中，因为∠A＋∠B=180°，
而∠A=2∠B，
所以∠A＋∠B=2∠B＋∠B =180°，∠B=60°．
所以∠A=2×60°．
所以∠C=∠A=120°，∠D=∠B=60°．
（2）设 AB=x，根据题意得：
2AD＋2AB=2×2x＋2x = 24．解得 x = 4．
所以 CD = 4．
（设计意图：设立这样一个例题意在深化学生对平行四边形性质的理解．通过此题，学生更能熟练运用平
行四边形的性质，让学生针对问题的变化寻找到解决问题的方法）
(五)巩固练习与反馈
一、选择题
1．把两个全等的三角形拼成四边形，则拼成不同的平行四边形的个数最多为（ B ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
2．在下面判断中，正确的个数是（ C ）
①一组对边平行的四边形叫做平行四边形 ②平行四边形的对角相等
③平行四边形的邻角互补 ④平行四边形的对边相等
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
3．如图，在□ABCD 中，若∠A = 40°，则
∠B = 140°，∠C = 40°，∠D = 140°．
4．如图，在□ABCD 中，AB＋CD = 68cm．
□ABCD 的周长等于 96cm，则 AB = 34cm ，
BC= 14cm ，CD= 34cm ，AD= 14cm .
三、解答题
5．在□ABCD 中，已知 AB，BC，CD 三边
长分别为 a + 2, a－5, 12, 求它的周长．
a= 10,周长 34
6．在□ABCD 中，∠A：∠B = 3： 1，求
∠C、∠D 的度数．
∠C=∠A=135°, ∠D=∠B=45°
7．在□ABCD 中，若∠B = 50°，∠ACB =
40°，AD = 10cm，对角线 AC = 8cm , 求
□ABCD 各内角的度数与各边长．
∠BAD=∠BCD=130°, ∠D=∠B=50°
AD=BC=10cm AB=CD=6cm
思考题：
某校区西侧有一个呈四边形的池塘（如图所示），在它的四个顶点 A，B，C，D 处均有一棵杨树．现当地村
民准备开挖池塘建养鱼池，使池塘面积扩大一倍，又想保持四棵杨树不动，并要求扩建后的池塘成平行四
边形．你认为村民能否实现这一理想？若能，请你画出图形，并说明理由．
过点 B, D 分别作 AC 的平行线,
过点 A, C 分别作 BD 的平行线得四边形 EFGH.
评价：
1．如何辨析概念
2．学法指导
如：依照题意边画图边在图上标已知条件，
这样有利于做题思路的打开
3．规范格式
如：单位；条件的写法；科学性，逻辑性
4．表扬与激励
5．反馈矫正
（六）课堂小结
通过本节课的学习，你获得了哪些知识、有哪些体会？还有哪些疑问？与同学们分享一下吧！
（设计意图：通过对本节课的回顾，培养学生的归纳总结能力，而且彼此相互补充，可以形成一个完整的
认识，体现了学生是教学主体的新课程理念．）
（七）布置作业
课本 P99 习题 4.1 1、2
6.２. 平行四边形的判定（一）
教学目标
知识技能目标
1．会证明平行四边形的 2 种判定方法．
2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用．
B C
A D
过程与方法目标
1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识．
2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理
论证的表达能力．
情感态度价值观目标
通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从
中获得成功的体验，激发学生的学习热情．
教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用．
难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．
三、教学过程设计
教学环节
本节可分成五个环节：
第一环节：复习引入
第二环节：定理探究
第三环节：巩固练习
第四环节：回顾小结
第五环节：布置作业
第一环节 复习引入：
问题 1（多媒体展示问题）
1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2．平行四边形还有哪些性质？
目的：
教师提出问题 1，2，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他
几条性质．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生参与思考问题的积极性；
（2）学生能否准确、全面地回答出平行四边形的全部性质；
（3）学生能否由平行四边形的性质，猜测出平行四边形的判断方法．
第二环节 定理探索
活动 1：
工具:两对长度分别相等的笔.
动手:能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？
思考 1.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
已知：如图 6-8（1），在四边形 ABCD 中，AB=CD,BC=AD
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明:如图 6-8（2）连接 BD.
在△ABD 和△CDB 中
∵AB=CD AD=CB BD=DB
∴△ABD≌△CDB
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴AB∥CD AD∥CB
∴四边形 ABCD 是平行四边形
思考 1.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
得出：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
目的：
学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动 1，共同得到：
（1）只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形．
（2）通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程．根据学生的认知水平，教师应估计到学生可能会在推
理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生在拼四边形时，能否将相等两木条作为四边形的对边；
（2）转动四边形，改变它的形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；
（3）学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路．
活动 2
工具:两根长度相等的笔,
两条平行线(可利用横格线）.
动手:请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗?
利用两根长度相等的笔和两条平行线,能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形吗?
思考 2.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
如图 6-9（1），在四边形 ABCD 中，AB∥CD, 且 AB=CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：如图 6-9（2），连接 AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠BAC=∠ACD
又∵ AB=CD AC=CA
∴ △BAC≌△DCA
∴ BC=AD
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
思考 2.2：以上活动事实,能用文字语言表达吗？
A
B
C
D
E
F
A1
A2
A4
A3
A6A5
得出：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
目的：
得出平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注意事项
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生实验操作的准确性；
（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；
（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．
第三环节 巩固练习
例 1 如图 6-10，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD 和 BC 的 中点．
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD=CB AD//BC
又∵E、F 分别是 AD 和 BC 的 中点
∴ED=1|2AD BF=1|2BC
∴DE=BF
又∵ED∥BF
∴四边形 BFDE 是平行四边形
随堂练习：
1.如图：线段 AD 是线段 BC 经过平移所得到的，分别连接 AB、CD．四边形 ABCD 是平行四边形吗?为什么?
2.如图所示，AC=BD=16，AB=CD=EF=15，CE=DF=9，图中有哪些互相平行的线段？
3 如图所示，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由．
目的:通过练习,让学生进一步熟练掌握平行四边形判定定理得.
第四环节 回顾小结:
师生共同小结，主要围绕下列几个问题：
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？
（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．
目的: 鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;自主建构知识体系，锻炼学生的口头表达能力,培
养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆。
第五环节 布置作业:
（1）基础题：
课本习题 6.3 第 1 题、第 2 题、第 3 题
A
B C
D
（2）思考题：
有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？为什么？
课题 第六章第三节 6.3 特殊的平行四边形（4） 课型
第（ ）周 第（ ）课时 总第（ ）课时
教学目标：
1、理解正方形的概念，以及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系。
2、探索并证明正方形的性质定理。
3、探索并证明正方形的判定定理。
4、能综合应用正方形的性质和判定进行有关的论证和计算。
教学重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。
教学难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系。
教 学 过 程 二 次 备 课
一、引入：
对于正方形，同学们已经很熟悉，它是平行四边形吗？具备什么特征
的平行四边形是正方形？你能用一个矩形纸片折出正方形吗？
本节课我们研究学习正方形的性质和判定。
二、展示交流
1.分小组在小组内交流学案完成情况，解决能解决的问题，提出疑惑。
2.由学生代表展示预习成果，思考并回答相关问题。
①正方形的定义是什么？正方形是矩形吗？是菱形吗？
②正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么关系？
③正方形都有哪些性质？
④如何判定一个四边形是正方形？
三、精讲点拨
（一）、探究新知
1、正方形的定义：
叫做正方形。
正方形是_______ _ 的矩形，也是_______
的菱形。
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有如下关系
3、从正方形的意义可以探究得出正方形具有的性质：
（1）正方形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）正方形具有矩形具有的一切性质。
（3）正方形具有菱形具有的一切性质。
（4）正方形的对角线具有的性质是________________________________ .
（5）正方形是轴对称图形吗？如果是有几条对称 轴？
4、我们可以从“边” “角” 和“对角线”三方面探究得到形的判定方法：
正方形的判定方法是：
（1）_____________________________________ 的
平行四边形是正方形。
（2）_____________________________________ 的矩形是正方形。
（3）_____________________________________ 的菱形是正方形。
（二）、应用举例：
1.引导学生解决完成例题。
2.如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，
点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF．
求证：EA⊥AF．
四．探究拓展：
1：已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AF 平分∠DAE 交 CD
于 F，
求证：AE=BE+DF．
2．已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，
DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F．求证：OE=OF
五、系统总结：
1、知识方面：（性质）
名 称 边 角 对角线 对称性
正方形 对边平行
四边相等
四 个 角 都
是直角
垂直平分且相等 轴对称
（判定）
正方形
有一组邻边相等的矩形；
有一个角是直角的菱形。
2、思想与方法：
六、达标测试
课题 第六章第四节 6.4 三角形的中位线定理 课型
第（ ）周 第（ ）课时 总第（ ）课时
教学目标：
1、经历三角形中位线定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验。
2、能识别三角形的中位线；会证明三角形的中位线定理，体会证明过程中辅助线的作用及转化的
数学思想。
3、会运用三角形中位线定理进行有关的计算和证明。
4、在自主探索与合作交流中, 经过猜想、验证过程,进一步发展推理论证能力。
教学重点：三角形中位线定理的证明及应用
教学难点：三角形中位线定理的证明及应用
教 学 过 程 二 次 备 课
一、情境引入：
如图，小明家和学校之间有一个池塘。在没有任何工具的前提下，小
明通过下面的方法估测出 A、B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后步测
出 AC、BC 的中点 M、N，并测出 MN 的长，由此他就知道了 A、B 间的距离。
你能说说其中的道理吗？
二、展示交流
1.分小组交流学案完成情况，解决能解决的问题，提出疑惑。
2.由学生代表展示预习成果，思考并回答相关问题。
①什么叫三角形的中位线？一个三角形有几条中位线？
②三角形的中位线与三角形的中线有什么不同？
③三角形的中位线定理内容是什么？你是怎样证明的？
④应用三角形的中位线定理要注意什么问题？
三、精讲点拨
A
B C
B
C
M
M
A
（一）、探究新知
1、三角形的中位线的概念
（1）如图，在△ABC 中,请你画出 AB 边上的中线 CD;
(2)对于△ABC 来说, 中线 CD 是由怎样的两点连接而成的?
答:______________________________________________
(3)若 E 为△ABC 的边 AC 的中点,连接 DE,线段 DE 称为△ABC 的
三角形的中位线：
(4)当 F 是△ABC 的边 BC 的中点时, 图中还有哪些线段是△ABC 的中位线?
答:________________________________________________
思考：1. 一个三角形有几条中位线？
2. 三角形的中位线和三角形的中线有什么不同？
（二）、探索三角形的中位线定理
1.已知;如图, △ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则 DE 是△ABC 的中位
线， BC 称为第三边
(1)猜想 DE 与 BC 在位置和数量上各有什么关系?
(2)能否证明你的猜想.
2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(思路是构造平行四边
形 BCGD),请你完成证明.
证明:延长 DE 至 F,使 EF=DE,连接 CF
对于三角形中位线定理,你还有其它证明方法吗？
其它定理证明方法：
1、 作 CF∥AB，与 DE 的延长线交于点 F，
→△ADE≌△CFE→AD∥=CF（以下同例）。
2、延长中位线到 F，使得 EF=DE，
根据对角线互相平分
∴四边形 ADCF 是平行四边形
∴AD∥CF（以下同上）。
(3)用语言叙述三角形中位线定理: 三角形的中位线__________第三边,
并且等于第三边的__________.
几何语言表述：在△ABC 中，∵ AD=DB，AE=EC
∴DE BC（位置关系）， DE
2
1 BC（数量关系）
（三）、应用举例
1.如图,顺次连接四边形 ABCD 各边中点 E、F、G、H,得四边形 EFGH,
求证: 四边形 EFGH 是平行四边形.
引导学生感受定义。
回顾旧知，
对比新知
拓展证明思路
强调：中位线定理在
同一条件下有两个结
论，一是表明位置关
系，一是表明数量关
系，应用时要根据需
要选择应用
培养学生应用数学符
号语言能力与推理能
力。
A
B
C
D
F
G
H
E
A
B C
D E F
CB
A
ED
A
B C
D E F
FED
CB
A
证明:连接 BD,
∵E、H 分别是 AB、AD 的中点,
∴EH 是△ABD 的中位线,
∴EH______BD, EH=______BD
同理: FG______BD, FG=______BD
∴EH______FG, EH=______FG
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
2、你能说说引例的道理吗？
四．探究拓展：
1、已知，如图，在△ABC 中，AD=DB，BF =FC，AE=EC
求证：AF、DE 互相平分。[
证明：连接 DF、EF
∵AD=DB，BF=FC
∴DF∥AC，同理 FE∥AB
∴四边形 ADFE 是平行四边形
∴AF、DE 互相平分
还有其他的证明方法吗？
2、探究解决教材 P32 页“挑战自我”
3、
①顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是 。
②顺次连接矩形各边中点所得四边形是 。
③顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是 。
④顺次连接菱形各边中点所得四边形是 。
⑤顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是 。
⑥顺次连接正方形各边中点所得四边形是 。
五、系统总结：
1．本节课通过学习你收获到了什么？
2．证明三角形中位线定理的关键在于什么？
3 定理有几个结论，如何应用？
六、达标测试
E
F
D
A
B C
体 验 定 理 的 现 实 应
用、解决问题。B
C
M
M
A
