高中三角函数习题解析精选

高中三角函数习题解析精选

三角函数题解 ‎1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）‎ A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0‎ C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0‎ ‎1.答案：C 解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.‎ 评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项.‎ ‎2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 图4—5‎ ‎2.答案：B 解析：sin2α＝2sinαcosα＜0 ∴sinαcosα＜0‎ 即sinα与cosα异号，∴α在二、四象限，‎ 又cosα－sinα＜0‎ ‎∴cosα＜sinα 由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 ‎3.（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎3.答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0，∴A＝B ‎4.（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）‎ A.［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z） ‎ B.［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）‎ C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z） ‎ D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）‎ ‎4.答案：A 解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.‎ ‎5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）‎ A.（，）∪（π，） ‎ B.（，π）‎ C.（，） ‎ D.（，π）∪（，）‎ ‎5.答案：C 解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图4—6可得C答案.‎ 图4—6 图4—7‎ 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）‎ ‎6.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）‎ 图4—1‎ A.（0，1）∪（2，3） ‎ B.（1，）∪（，3）‎ C.（0，1）∪（，3） ‎ D.（0，1）∪（1，3）‎ ‎6.答案：C 解析：解不等式f（x）cosx＜0‎ ‎∴ ∴0＜x＜1或＜x＜3‎ ‎7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）‎ A.y=cos2x B.y＝2|sinx| ‎ C.y＝()cosx D.y=－cotx 图4—8‎ ‎7.答案：B 解析：A项：y=cos2x=，x=π，但在区间（，π）上为增函数.‎ B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（，π）上为减函数.‎ C项：函数y=cosx在(，π)区间上为减函数,数y=（）x为减函数.因此y=（）cosx在（，π）区间上为增函数.‎ D项：函数y＝－cotx在区间（，π）上为增函数.‎ ‎8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）‎ ‎8.答案：C 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数.‎ 选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.‎ ‎9.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎9.答案：B 解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，‎ ‎∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B.‎ ‎10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ）‎ A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋‎ ‎10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－.‎ ‎11.（2000全国，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（ ）‎ A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ ‎11.答案：D 解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.‎ ‎12.（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）‎ ‎12.答案：D 解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当 x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0.‎ ‎13.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（ωx＋）（ω＞0），在区间［a，b ‎］上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx＋）在［a，b］上（ ）‎ A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值－ D.可以取得最小值－m ‎13.答案：C 解法一：由已知得M＞0，－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋＝2kπ时g（x）可取到最大值M，答案为C.‎ 解法二：由题意知，可令ω＝1，＝0，区间［a，b］为［－，］，M＝1，则 g（x）为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.‎ 评述：本题主要考查函数y=Asin（ωx＋）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.‎ ‎14.（1999全国，11）若sinα＞tanα＞cotα（－＜α＜，则α∈（ ）‎ A.（－，－） B.（－，0） ‎ C.（0，） D.（，）‎ ‎14.答案：B 解法一：取α＝±，±代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－适合，又只有－∈（－，0），故答案为B.‎ 解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－，0）‎ 评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.‎ ‎15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）‎ A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x ‎15.答案：B 解析：取f（x）=cosx，则f（x）·sinx=sin2x为奇函数，且T=π.‎ 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.‎ ‎16.（1998全国，6）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）‎ A.（，）∪（π，） ‎ B.（，）∪（π，）‎ C.（，）∪（，） ‎ D.（，）∪（，π）‎ ‎16.答案：B 解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0，‎ A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案为B.‎ 解法二：取α＝∈（），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，π），则P点不在第一象限，排除D,选B.‎ 解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得或π＜α＜，故选B.‎ 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.‎ ‎17.（1997全国，3）函数y=tan（π）在一个周期内的图象是（ ）‎ ‎17.答案：A 解析：y＝tan（π）＝tan（x－），显然函数周期为T＝2π，且x＝时，y=0，故选A.‎ 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.‎ ‎18.（1996全国）若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）‎ A.{x|2kπ－πcos2x得sin2x>1－sin2x，sin2x>.因此有sinx>或sinx<－.由正弦函数的图象（或单位圆）得2kπ+cot B.tancos D.sin－cos ‎23.答案：A 解法一：因为θ为第二象限角，则2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan＞cot.‎ 图4—13‎ 解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜＜‎ kπ＋，k为奇数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；‎ k为偶数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，选A.‎ 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.‎ ‎24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝ .‎ ‎24.答案：‎ 解析：∵0＜ω＜1 ∴T＝＞2π ∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数 ‎∴f（x）max＝f（）即2sin 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝‎ ‎25.（2002北京文，13）sinπ，cosπ，tanπ从小到大的顺序是 .‎ ‎25.答案：cosπ＜sin＜tan 解析：cos＜0，tan＝tan ∵0＜x＜时，tanx＞x＞sinx＞0‎ ‎∴tan＞sin＞0 ∴tan＞sin＞cos ‎26.（1997全国，18）的值为_____.‎ ‎26.答案：2－‎ 解析：‎ ‎.‎ 评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.‎ ‎27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____.‎ ‎27.答案：‎ 解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.‎ ‎28.（1995全国理，18）函数y＝sin（x－）cosx的最小值是 .‎ ‎28.答案：－‎ 解析：y＝sin（x－）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］‎ 当sin（2x－）＝－1时，函数有最小值，y最小＝（－1－）＝－.‎ 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.‎ ‎29.（1995上海，17）函数y＝sin＋cos在（－2π，2π）内的递增区间是 .‎ ‎29.答案：［］‎ 解析：y＝sin＋cos＝sin（），当2kπ－≤＋≤2kπ＋（k∈Z）时，函数递增，此时4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0时，［－，］（－2π，2π）.‎ ‎30.（1994全国，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则cotθ的值是 .‎ ‎30.答案：－‎ 解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值.‎ 将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝‎ 变形得1－2sinθcosθ＝2－，‎ 图4—14‎ 即（sinθ－cosθ）2＝‎ 又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）‎ 则＜θ＜，如图4—14‎ 所以sinθ－cosθ＝，于是 sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.‎ 解法二：将已知等式平方变形得sinθ·cosθ＝－，又θ∈（0，π），有cosθ＜0＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－x－＝0的两个根，故有cosθ＝－，‎ sinθ＝，得cotθ＝－.‎ 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.‎ ‎31.（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.‎ ‎（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；‎ ‎（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?‎ ‎31.解：（1）y＝cos2x＋sinxcosx＋1‎ ‎＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1‎ ‎＝cos2x＋sin2x＋‎ ‎＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋‎ ‎＝sin（2x＋）＋‎ y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，‎ 即x＝＋kπ，k∈Z.‎ 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.‎ ‎（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：‎ ‎①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；‎ ‎②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 y＝sin（2x＋）的图象；‎ ‎③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y＝sin（2x＋）的图象；‎ ‎④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；‎ 综上得到函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图象.‎ 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.‎ ‎32.（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.‎ ‎（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；‎ ‎（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?‎ ‎32.解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R y取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，‎ 即x＝＋2kπ，k∈Z.‎ 所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝‎ ‎（2）变换的步骤是：‎ ‎①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；‎ ‎②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y＝2sin（x＋）的图象；‎ 经过这样的变换就得到函数y＝sinx＋cosx的图象.‎ 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.‎ ‎33.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.‎ ‎33.解：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）‎ ‎＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－‎ ‎＝－sin70°sin30°＋sin70°‎ ‎＝－sin70°＋sin70°＝.‎ 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.‎ ‎34.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，‎ 求tan（α－2β）的值.‎ ‎34.解：由题设sinα＝，α∈（，π），‎ 可知cosα＝－，tanα＝－‎ 又因tan（π－β）＝，tanβ＝－，所以tan2β＝‎ tan（α－2β）＝‎ ‎35.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，证明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.‎ ‎35.证明：tanx1＋tanx2＝‎ 因为x1，x2∈（0，），x1≠x2，‎ 所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1，‎ 从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2），‎ 由此得tanx1＋tanx2＞，‎ 所以（tanx1＋tanx2）＞tan 即［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.‎ ‎36.已知函数 ‎⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；‎ ‎⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.‎ 解（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴ 函数定义域为，k∈Z∵ ∴当x∈时，∴ ∴ ∴ 函数值域为[）‎ ‎（3）∵定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴不具备奇偶性 ‎ （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号 ‎37. 求函数f (x)=的单调递增区间 解：∵f (x)= 令,∴y=,t是x的增函数,又∵0<<1,∴当y=为单调递增时,cost为单调递减 且cost>0,∴2kp≤t<2kp+ (kÎZ),∴2kp≤<2kp+ (kÎZ) ,6kp-≤x<6kp+ (kÎZ),∴f (x)=的单调递减区间是[6kp-,6kp+) (kÎZ)‎ ‎38. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）‎ ‎⑴求f(x)的最小正周期；‎ ‎⑵求f(x)单调区间；‎ ‎⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。‎ 解：‎ ‎（1）T=π ‎（2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+‎ ‎（3）对称中心（，0），对称轴，k∈Z ‎39若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。‎ 解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,∴,∵- 1≤sinx≤1 ,∴； , ∴a的取值范围是[]‎