上海市中考数学试卷及答案解析

上海市中考数学试卷及答案解析

‎2012年上海市中考数学试卷 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．（2012上海）在下列代数式中，次数为3的单项式是（　　）‎ ‎　 A． xy2 B． x3+y3 C． ．x3y D． ．3xy 考点：单项式。‎ 解答：解：根据单项式的次数定义可知：‎ A、xy2的次数为3，符合题意；‎ B、x3+y3不是单项式，不符合题意；‎ C、x3y的次数为4，不符合题意；‎ D、3xy的次数为2，不符合题意．‎ 故选A．‎ ‎2．（2012上海）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（　　）‎ ‎　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8‎ 考点：中位数。‎ 解答：解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：‎ ‎5，5，5，6，7，8，13，‎ 位于中间位置的数为6．‎ 故中位数为6．‎ 故选B．‎ ‎3．（2012上海）不等式组的解集是（　　）‎ ‎　 A． x＞﹣3 B． x＜﹣3 C． x＞2 D． x＜2‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 解答：解：，‎ 由①得：x＞﹣3，‎ 由②得：x＞2，‎ 所以不等式组的解集是x＞2．‎ 故选C．‎ ‎4．（2012上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点：分母有理化。‎ 解答：解：∵×=a﹣b，‎ ‎∴二次根式的有理化因式是：．‎ 故选：C．‎ ‎5．（2012上海）在下列图形中，为中心对称图形的是（　　）‎ ‎　 A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正五边形 D． 等腰三角形 考点：中心对称图形。‎ 解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；‎ 是中心对称图形的只有B．‎ 故选：B．‎ ‎6．（2012上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（　　）‎ ‎　 A． 外离 B． 相切 C． 相交 D． 内含 考点：圆与圆的位置关系。‎ 解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，‎ 又∵6﹣2=4，4＞3，‎ ‎∴这两个圆的位置关系是内含．‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共12小题）‎ ‎7．（2012上海）计算= ．‎ 考点：绝对值；有理数的减法。‎ 解答：解：|﹣1|=1﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎8．因式分解：xy﹣x= ．‎ 考点：因式分解-提公因式法。‎ 解答：解：xy﹣x=x（y﹣1）．‎ 故答案为：x（y﹣1）．‎ ‎9．（2012上海）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而 （增大或减小）．‎ 考点：正比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式。‎ 解答：解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，‎ ‎∴2k=﹣3，‎ 解得：k=﹣，‎ ‎∴正比例函数解析式是：y=﹣x，‎ ‎∵k=﹣＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ 故答案为：减小．‎ ‎10．方程的根是 ．‎ 考点：无理方程。‎ 解答：解：方程两边同时平方得：x+1=4，‎ 解得：x=3．‎ 检验：x=3时，左边==2，则左边=右边．‎ 故x=3是方程的解．‎ 故答案是：x=3．‎ ‎11．（2012上海）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ．‎ 考点：根的判别式。‎ 解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，‎ ‎∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，‎ 即36﹣4c＜0，‎ c＞9．‎ 故答案为c＞9．‎ ‎12．（2012上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 解答：解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，‎ 故答案为y=x2+x﹣2．‎ ‎13．（2012上海）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．‎ 考点：概率公式。‎ 解答：解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，‎ ‎∴摸出一个球摸到红球的概率为：=．‎ 故答案为．‎ ‎14．（2012上海）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有 名．‎ 考点：频数（率）分布表。‎ 解答：解：80～90分数段的频率为：1﹣0.2﹣0.25﹣0.25=0.3，‎ 故该分数段的人数为：500×0.3=150人．‎ 故答案为：150．‎ ‎15．（2012上海）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么= （用，表示）．‎ 考点：*平面向量。‎ 解答：解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，‎ ‎∴=2=2，‎ ‎∵，‎ ‎∴=+=2+．‎ 故答案为：2+．‎ ‎16．（2012上海）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为 ．‎ 考点：相似三角形的判定与性质。‎ 解答：解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∵△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，‎ ‎∴△ABC的面积为9，‎ ‎∵AE=2，‎ ‎∴，‎ 解得：AB=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎17．（2012上海）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ．‎ 考点：三角形的重心；等边三角形的性质。‎ 解答：解：设等边三角形的中线长为a，‎ 则其重心到对边的距离为：a，‎ ‎∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，‎ ‎∴a=2，解得a=3，‎ ‎∴当它们的一对角成对顶角时（图2）中心距=a=×3=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎18．（2012上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，‎ ‎∴AC===，‎ ‎∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，‎ ‎∴∠ADB=∠EDB，DE=AD，‎ ‎∵AD⊥ED，‎ ‎∴∠CDE=∠ADE=90°，‎ ‎∴∠EDB=∠ADB==135°，‎ ‎∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°，‎ ‎∴CD=BC=1，‎ ‎∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．（2012上海）．‎ 考点：二次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂。‎ 解答：解：原式=‎ ‎=‎ ‎=3．‎ ‎20．（2012上海）解方程：．‎ 考点：解分式方程。‎ 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得 x（x﹣3）+6=x+3，‎ 整理，得x2﹣4x+3=0，‎ 解得x1=1，x2=3．‎ 经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，‎ 故原方程的根为x=1．‎ ‎21．（2012上海）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=15，cosA=．‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）求sin∠DBE的值．‎ 考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线。‎ 解答：解：（1）∵AC=15，cosA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=25，‎ ‎∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，‎ ‎∴CD=（或12.5）；‎ ‎（2）AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则 ‎，‎ 解得x=，‎ ‎∴sin∠DBE==．‎ ‎22．（2012上海）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．‎ ‎（注：总成本=每吨的成本×生产数量）‎ 考点：一次函数的应用。‎ 解答：解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，‎ 将（10，10）（50，6）代入解析式得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ y=﹣x+11（10≤x≤50）‎ ‎（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，‎ x（﹣x+11）=280，‎ 解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），‎ 故该产品的生产数量为40吨．‎ ‎23．（2012上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．‎ 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质。‎ 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，‎ ‎∵∠BAF=∠DAE，‎ ‎∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，‎ 即：∠BAE=∠DAF，‎ ‎∴△BAE≌△DAF ‎∴BE=DF；‎ ‎（2）∵=，‎ ‎∴‎ ‎∴FG∥BC ‎∴∠DGF=∠DBC=∠BDC ‎∴DF=GF ‎∴BE=GF ‎∴四边形BEFG是平行四边形．‎ ‎24．（2012上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；‎ ‎（2）∵∠EFD=∠EDA=90°‎ ‎∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA ‎∴△EDF∽△DAO ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，∴EF=t．‎ 同理，‎ ‎∴DF=2，∴OF=t﹣2．‎ ‎（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，‎ ‎∴C（0，8），OC=8．‎ 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．‎ ‎∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；‎ 在△CAG与△OCA中，，‎ ‎∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．‎ 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，‎ ‎∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，‎ 由勾股定理得：‎ ‎∵AE2=AM2+EM2=；‎ 在Rt△AEG中，由勾股定理得：‎ ‎∴EG===‎ ‎∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4‎ 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，‎ 即，‎ 解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，‎ ‎∴t=6．‎ ‎25．（2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．‎ ‎（1）当BC=1时，求线段OD的长；‎ ‎（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．‎ 考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理。‎ 解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，‎ ‎∴BD=BC=，‎ ‎∴OD==；‎ ‎（2）如图（2），存在，DE是不变的．‎ 连接AB，则AB==2，‎ ‎∵D和E是中点，‎ ‎∴DE=AB=；‎ ‎（3）如图（3），‎ ‎∵BD=x，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∵∠1=∠2，∠3=∠4，‎ ‎∴∠2+∠3=45°，‎ 过D作DF⊥OE．‎ ‎∴DF=，EF=x，‎ ‎∴y=DF•OE=（0＜x＜）．‎