北京数学中考一模 新定义创新题带答案

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北京数学中考一模 新定义创新题带答案

西城29、给出如下规定:两个图形和,点P为上任一点,点Q为上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形和之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.‎ ‎(1)点A的坐标为A(1,0)则点B(2,3)和射线OA之间的距离为__________,‎ 点C(-2,3)和射线OA之间的距离为_________;‎ ‎(2)如果直线y=x和双曲线之间的距离为,那么k=_______;(可在图1中进行研究)‎ ‎(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O逆时针旋转,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.‎ ‎①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)‎ ‎②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,抛物线与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离.‎ 解析:‎ ‎29.解:‎ ‎(1)3,(每空各1分)‎ ‎(2)-1;‎ ‎(3)①如图9,过点O分别作射线OE,OF的垂线OG、OH,则图形M为:y轴正半轴,的边及其内容的所有点(图中的阴影部分).‎ 说明:(画图2分,描述1分)(图形M也可以描述为:y轴正半轴,直线下方与直线下方重叠的部分(含边界))‎ ‎②‎ 东城29.定义符号的含义为:当时, ;当时, .如:,.‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)已知, 求实数的取值范围;‎ ‎(3) 已知当时,.直接写出实数的取值范围.‎ 解析:‎ ‎29.解:(1)∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉2分 ‎ (2) ∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ┉┉5分 ‎ (3) . ┉┉8分 朝阳29.定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M,在△MPQ中,当PQ边上的高为2时,称M为PQ的“等高点”,称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”.‎ ‎ (1)若P(1,2),Q(4,2) .‎ ‎①在点A(1,0),B(,4),C(0,3)中,PQ的“等高点”是 ;‎ ‎②若M(t,0)为PQ的“等高点”,求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.‎ ‎ (2)若P(0,0),PQ=2,当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接 写出点Q的坐标.‎ 解析:‎ ‎29. 解:(1)A、B ……………………………………………………………………………2分 ‎(2)如图,作点P关于x轴的对称点P′,连接P′Q,P′Q与x轴的交点即为“等高点”M,此时“等高距离”最小,最小值为线段P′Q的长. ………………………3分 ‎∵P (1,2),‎ ‎∴ P′ (1,-2).‎ 设直线P′Q的表达式为,‎ 根据题意,有 ‎,解得.‎ ‎∴直线P′Q的表达式为. ……………4分 当时,解得. ‎ 即. ………………………………………………………………………5分 根据题意,可知PP′=4,PQ=3, PQ⊥PP′,‎ ‎∴.‎ ‎∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分 ‎(3)Q(,)或Q(,). ………………………………8分 海淀29.在平面直角坐标系xOy中,对于点和点,给出如下定义:‎ 若,则称点为点的限变点.例如:点的限变点的坐标是,点的限变点的坐标是.‎ ‎(1)①点的限变点的坐标是___________;‎ ‎②在点,中有一个点是函数图象上某一个点的限变点,‎ 这个点是_______________‎ ‎(2)若点在函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是,求的取值范围;‎ ‎(3)若点在关于的二次函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是或,其中 ‎.令,求关于的函数解析式及的取值范围.‎ 解析:‎ ‎29.(本小题满分8分)‎ 解:(1)① ;………………………………1分 ‎② 点B. ………………………………2分 ‎(2)依题意,图象上的点P的限变点必在函数的图象上.‎ ‎,即当时,取最大值2.‎ 当时,.‎ ‎. ………………………………………3分 当时,或.‎ 或. ………………………………4分 ‎,‎ 由图象可知,的取值范围是.‎ ‎……………………………………………5分 (3) ‎,‎ 顶点坐标为.……………………………………6分 若,的取值范围是或,与题意不符.‎ 若,当时,的最小值为,即;‎ ‎ 当时,的值小于,即.‎ ‎.‎ 关于的函数解析式为 . ……………………………7分 当t=1时,取最小值2.‎ 的取值范围是≥2. ………………………………………………………8分 丰台29. 设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么点O(0,0)到正方形ABCD的距离为1.‎ ‎(1)如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为 ; ‎ ‎(2)①求点到直线的距离;‎ ②如果点到直线的距离为3,那么a的值是 ;‎ ‎(3)如果点到抛物线的距离为3,请直接写出的值. ‎ 解析:‎ ‎29. (1)4;.…….2分 ‎(2)①直线记为,过点作,垂足为点,‎ 设与轴的交点分别为,则.‎ ‎∴..…….3分 ‎∵ ‎ ‎∴,即.∴.‎ ‎∴点到直线的距离为..…….4分 ‎②..…….6分 ‎(3)或..…….8分 通州29.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)、B(6,3),连结AB. 若对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,则称点P是线段AB的“邻近点”.‎ ‎(1)判断点D,是否线段AB的“邻近点” (填“是”或“否”);‎ ‎(2)若点H (m,n)在一次函数的图象上,且是线段AB的“邻近点”,求m的取值范围.‎ ‎(3)若一次函数的图象上至少存在一个邻近点,直接写出b的取值范围.‎ 解析:‎ ‎29.(1)点D是线段AB的“邻近点”; …………………..(2分)‎ ‎(2)∵点H(m,n)是线段AB的“邻近点”,点H(m,n)在直线y=x-1上,‎ ‎∴ n=m-1; ………………………………………..(3分)‎ 直线y=x-1与线段AB交于(4,3)‎ ‎① 当m≥4时,有n=m-1≥3,‎ 又AB∥x轴,∴ 此时点H(m,n)到线段AB的距离是n-3,‎ ‎∴0≤n-3≤1,∴4 ≤m≤5,…………………………………..(4分)‎ ‎② 当m≤4时,‎ 有n=m-1 ∴n≤3,‎ 又AB∥x轴, ∴ 此时点H(m,n)到线段AB的距离是3-n,‎ ‎∴0≤3-n≤1, ‎ ‎ ∴ 3≤m≤4, ………………………………………..(5分)‎ 综上所述,3≤m≤5; ………………………………………..(6分)‎ ‎(3) ………………………………………..(8分)‎ ‎ ‎ 房山29.【探究】如图1,点是抛物线上的任意一点,l是过点且与轴平行的直线,过点N作直线NH⊥l,垂足为H. ‎ ‎①计算: m=0时,NH= ; m=4时,NO= .‎ ‎②猜想: m取任意值时,NO NH(填“>”、“=”或“<”).‎ ‎【定义】我们定义:平面内到一个定点F和一条直线l(点F不在直线l上)距离相等的点的集合叫做抛物线,其中点F叫做抛物线的“焦点”,直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线的“焦点”,直线l:即为抛物线的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.‎ ‎【应用】(1)如图2,“焦点”为F(-4,-1)、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N(0,2),点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q,直线l交y轴于点H.‎ ‎①直接写出抛物线y2的“准线”l: ;‎ ‎②计算求值: 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(2)如图3,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点(A在B的左侧),直线与⊙O只有一个公共点F,求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式.‎ 解析:‎ ‎29.‎ 解:【探究】① 1 ; 5 ; ……………2分 图3‎ ‎② = . …………………3分 ‎ ‎ ‎ 【应用】(1)①; ……………………4分 ‎ ② 1 . ……………………5分 ‎ (2)如图3,设直线与x轴相交于点C. ‎ ‎ 由题意可知直线CF切⊙O于F,连接OF.‎ ‎∴∠OFC=90° ‎ ‎∴∠COF=60°‎ 又∵OF=1,‎ ‎∴OC=2 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴“焦点”、.………6分 ‎ ∴抛物线的顶点为. ‎ ‎①当“焦点”为,顶点为, 时,‎ 易得直线CF1:. ‎ 过点A作AM⊥x轴,交直线CF1于点M.‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴在抛物线上.‎ ‎ 设抛物线,将M点坐标代入可求得:‎ ‎ ∴………………………7分 ‎②当“焦点”为,顶点为,时,‎ 由中心对称性可得:‎ ‎ …………………………8分 综上所述:抛物线或.‎ 怀柔29. 对某种几何图形给出如下定义: 符合一定条件的动点所形成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.‎ 图2‎ 图1‎ ‎(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,A(0,2),B是x轴上一动点,当点B在x轴上运动时,点C在坐标系中运动,点C运动形成的轨迹是直线DE,且DE⊥x轴于点G. ‎ ‎  则直线DE的表达式是 . ‎ ‎(2)当△ABC是等边三角形时,在(1)的条件下,动点C形成的轨迹也是一条直线.   ‎ ‎①当点B运动到如图2的位置时,AC∥x轴,则C点的坐标是 .‎ ‎②在备用图中画出动点C形成直线的示意图,并求出这条直线的表达式.‎ ‎③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点,当点C在线段EF上运动时,点H在线段OF上运动,(不与O、F重合),且CH=CE,则CE的取值范围是 .‎ 备用图1‎ 备用图2‎ 解析:‎ ‎29. 解:(1)x=2. …………………………1分.‎ ‎(2)①C点坐标为: …………………………3分.‎ ‎②由①C点坐标为: ‎ 再求得其它一个点C的坐标,如(,1),或(0,-2)等 代入表达式y=kx+b,解得.‎ ‎∴直线的表达式是.………………………5分. ‎ 动点C运动形成直线如图所示. ……………6分.‎ ‎③.…………………………8分.‎ 门头沟29.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A和点B,如果△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形,顶点M称为碟顶,线段AB的长称为碟宽.‎ ‎(1)抛物线的碟宽为 ,抛物线y=ax2(a>0)的碟宽为 .‎ ‎(2)如果抛物线y=a(x-1)2-6a(a>0)的碟宽为6,那么a= .‎ ‎(3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的准蝶形记为Fn(n=1,2,3,…),我们定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.如果Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点,现在将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.‎ ‎① 求抛物线y2的表达式;‎ ‎② 请判断F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上?如果是,直接写出该直线的表达式;如果不是,说明理由.‎ 解析:‎ ‎29.(本小题满分8分)‎ 解:(1)4,;………………………………………………………………………2分 ‎(2);…………………………………………………………………………3分 ‎(3)① ∵ F1的碟宽︰F2的碟宽=2:1,‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ a1=,‎ ‎∴ a2=.………………………………………………………………4分 又∵ 由题意得F2的碟顶坐标为(1,1),…………………………5分 ‎∴ .……………………………………………………6分 ‎② F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点在一条直线上;……………………7分 其解析式为y=-x+5.……………………………………………………8分 ‎ ‎ 石景山29.在平面直角坐标系中,点在直线上,以为圆心,为半径的圆与轴的另一个交点为.给出如下定义:若线段,⊙和直线上分别存在点,点和点,使得四边形是矩形(点顺时针排列),则称矩形为直线的“‎ 理想矩形”.‎ 例如,下图中的矩形为直线的“理想矩形”.‎ 备用图 ‎(1)若点,四边形为直线的“理想矩形”,则点的坐标为 ;‎ ‎(2)若点,求直线的“理想矩形”的面积;‎ ‎(3)若点,直线的“理想矩形”面积的最大值为 ,‎ 此时点的坐标为 . ‎ 解析:‎ ‎29.解:(1).…………………………………………………………2分 ‎(2)连结,‎ 过点作轴于点.‎ 则,.‎ ‎∴在中,由勾股定理 ‎.‎ ‎∴在中,由勾股定理 得,.‎ ‎∴所求“理想矩形”面积为 .‎ ‎……………………………………………………5分 ‎(3)“理想矩形”面积的最大值是5. ………………………………6分 ‎. ………………………………8分 延庆29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB,给出如下定义:在线段AB外有一点P,如果在线段AB上存在两点C、D,使得∠CPD=90°,那么就把点P叫做线段AB的悬垂点.‎ ‎(1)已知点A(2,0),O(0,0)‎ ‎①若,D(1,1),E(1,2),在点C,D,E中,线段AO的悬垂点是______;‎ ‎②如果点P(m,n)在直线上,且是线段AO的悬垂点,求的取值范围;‎ ‎(2)如下图是帽形M(半圆与一条直径组成,点M是半圆的圆心),且圆M的半径是1,若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点,求此线段长的取值范围.‎ ‎-----------2分 解析:‎ ‎29.‎ ‎(1)线段AO的悬垂点是C,D;‎ ‎(2)以点D为圆心,以1为半径做圆,‎ 设与⊙D 交于点B,C 与x轴,y轴的交点坐标为(1,0),(0,-1)‎ ‎-----------3分 ‎∴∠ODB=45°‎ ‎ ∴DE=BE ‎ 在Rt△DBE中,‎ ‎-----------4分 由勾股定理得:DE=‎ ‎-----------6分 ‎ ∴‎ ‎(3)设这条线段的长为a ‎ ①当时,如图1,凡是⊙D外的点不满足条件;‎ ‎ ②当时,如图2,所有的点均满足条件;‎ ‎-----------8分 ‎ ③当时,如图3,所有的点均满足条件;‎ ‎ 综上所述:‎ 图2‎ 图1‎ 图3‎ 燕山29.在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如点(1,1),(,),(,),…,都是和谐点.‎ ‎(1)分别判断函数和的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;‎ ‎(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点(,),且当时,函数的最小值为-3,最大值为1,求的取值范围.‎ ‎(3)直线经过和谐点P,与轴交于点D,与反比例函数的图象交于M,N两点(点M在点N的左侧),若点P的横坐标为1,且,请直接写出的取值范围.‎ 图2‎ 解析:‎ ‎29.解:(1)令,解得,‎ ‎∴函数的图象上有一个和谐点(,); ………………………2分 令,即,‎ ‎∵根的判别式Δ==-3<0,‎ ‎∴方程无实数根,‎ ‎∴函数的图象上不存在和谐点. ………………………3分 ‎(2)令,即,‎ 由题意,Δ==0,即,‎ 又方程的根为,‎ 解得,. ………………………4分 ‎∴函数,即,‎ 如图,该函数图象顶点为(2,1),与y轴交点为(0,-3), 由对称性,该函数图象也经过点(4,-3). ………………………5分 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当时,函数的最小值为-3,最大值为1,‎ ‎∴. ………………………6分 ‎(3),或. ………………………8分
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