【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第2节排列与组合学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第2节排列与组合学案

第二节　排列与组合 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)‎ 个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n!‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)‎ ‎(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言(　　)‎ A．1 560条　　 B．780条　　‎ C．1 600条　　 D．800条 A　[由题意，得毕业留言共A＝1 560条．]‎ ‎3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48 ‎ C．60 D．72‎ D　[第一步，先排个位，有C种选择；‎ 第二步，排前4位，有A种选择．‎ 由分步乘法计数原理，知有C·A＝72(个)．]‎ ‎4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．56 ‎ C．49 D．28‎ C　[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，‎ 甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，‎ 由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种选法．‎ 法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法，‎ ‎∴满足条件的选排方法有C－C＝84－35＝49种．]‎ ‎5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种. 【导学号：51062328】‎ ‎60　[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，‎ ‎∴满足条件的不同排法共A＝60种．]‎ 排列应用题 ‎　(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种　　 B．216种　　 ‎ C．240种　　 D．288种 ‎(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ ‎(1)B　(2)36　[(1)第一类：甲在左端，‎ 有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；‎ 第二类：乙在最左端，‎ 有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法，‎ 所以共有120＋96＝216种方法．‎ ‎(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法．]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．‎ ‎2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．‎ ‎[变式训练1]　在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种 B．48种 ‎ C．96种 D．144种 C　[程序A的顺序有A＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA＝48种结果，‎ 由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]‎ 组合应用题 ‎　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 ‎ C．65种 D．66种 ‎(2)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有‎2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A．18个 B．16个 ‎ C．14个 D．12个 ‎(1)D　(2)C　[(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，‎ ‎∴不同的取法共有C＋C＋CC＝66种．‎ ‎(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C＝20(种)，其中存在k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．‎ 故共有14个．故选C.]‎ ‎[规律方法]　1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．‎ ‎2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．‎ ‎[变式训练2]　现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．‎ ‎472　[第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C－‎3C＝220－12＝208种．‎ 由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]‎ 排列与组合的综合应用 角度1　简单的排列与组合的综合问题 ‎　(2017·杭州质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 ‎ C．96个 D．72个 B　[当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA＝72个，‎ 所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]‎ 角度2　分组分配问题 ‎　(2017·浙江名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　) 【导学号：51062329】‎ A．240种 B．180种 ‎ C．150种 D．540种 C　[5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．‎ 当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．‎ 由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]‎ ‎[规律方法]　1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．‎ ‎2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：‎ ‎(1)特殊元素、特殊位置优先原则．‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．‎ ‎(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．‎ ‎2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．‎ ‎2．计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．‎ ‎3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．‎ ‎4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．‎ ‎5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．‎ 课时分层训练(五十三)　排列与组合 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．‎120　‎　　　‎ C．72　　　　 D．24‎ D　[先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A＝24种放法．]‎ ‎2．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　) 【导学号：51062330】‎ A．6 B．18 ‎ C．20 D．24‎ B　[由题意知，名次排列的种数为CA＝18.]‎ ‎3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为(　　)‎ A．10 B．20 ‎ C．30 D．40‎ B　[将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有CC×2＝20种．]‎ ‎4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)‎ A．18个 B．15个 ‎ C．12个 D．9个 B　[根据“六合数”‎ 的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0,0,4)，(0,1,3)，(0,2,2)，(1,1,2)的所有排列，即共有3＋A＋3＋3＝15个．]‎ ‎5．(2017·浙江五校联考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A．24对 B．30对 ‎ C．48对 D．60对 C　[正方体六个面的对角线共有12条，则有C＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]‎ ‎6．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　) ‎ ‎【导学号：51062331】‎ A．18种 B．24种 ‎ C．36种 D．72种 C　[1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种，‎ 由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36种．]‎ 二、填空题 ‎7．方程‎3A＝‎2A＋‎6A的解为________．‎ ‎5　[由排列数公式可知 ‎3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．‎ ‎∵x≥3，且x∈N*，‎ ‎∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，‎ 即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.]‎ ‎8．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．‎ ‎20　[先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C＝20种．]‎ ‎9．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．‎ ‎11　[把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11种．]‎ ‎10．(2016·南京模拟)2017年第十三届全国运动会在天津举行，将6名志愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆服务，其中两个组各2人，另两个组各1人．不同的分配方案有________种(用数字作答). 【导学号：51062332】‎ ‎1 080　[将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有＝×15×6＝45种分组方法．‎ 将四组分赴四个不同场馆有A种方法．‎ ‎∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A＝1 080种方法．]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·金华十校联考)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 ‎ C．48种 D．120种 B　[甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲、乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．]‎ ‎2．(2017·嘉兴质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎的元素个数为(　　)‎ A．60 B．90 ‎ C．120 D．130‎ D　[因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，‎ 且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，‎ 所以xi中至少两个为0，至多四个为0.‎ ‎(1)xi(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有‎2C＝10个元素．‎ ‎(2)xi中有3个0,2个－1或1，A有C×2×2＝40个元素．‎ ‎(3)xi中有2个0,3个－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素．‎ 从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]‎ ‎3．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．‎ ‎60　[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60种方法．‎ 法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]‎ ‎4．(2017·杭州学军中学联考)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 【导学号：51062333】‎ ‎20　[先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20种．]‎