2014江西（文科数学）高考试题
2014·江西卷(文科数学)
1．[2014·江西卷] 若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2 C. D.
1．C [解析] 因为z＝＝＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝＝.
2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1
cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
6．D [解析] 对于选项A，a>0，且b2－4ac≤0时，才可得到ax2＋bx＋c≥0成立，所以A错．
对于选项B，a>c，且b≠0时，才可得到ab2>cb2成立，所以B错．
对于选项C，命题的否定为“存在x∈R，有x2<0”，
所以C错．
对于选项D，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D正确．
7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 表2
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3 表4
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
阅读量
性别
丰富
不丰
富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．D [解析] 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.
8．[2014·江西卷] 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )
A．7 B．9
C．10 D．11
8．B [解析] 初始值，S＝0，i＝1，接下来按如下运算进行：
第一次循环，S＝lg>－1，再次进入循环，此时i＝3；
第二次循环，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次进入循环，此时i＝5；
第三次循环，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次进入循环，此时i＝7；
第四次循环，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次进入循环，此时i＝9；
第五次循环，S＝lg＋lg＝lg<－1，退出循环，此时i＝9.
9．[2014·江西卷] 过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
9．A [解析] 由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．
由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O可得c＝4，即右焦点F(4，0)．
由该圆过A点可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，
所以8a＝16，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12.故双曲线C的方程为－＝1.
10．[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图像不可能是( )
A B
C D
10．B [解析] 当a＝0时，为D选项．
当a≠0时，抛物线的对称轴为直线x＝，另一个函数的导数y′＝3a2x2－4ax＋1，令y′＝0，解得该函数的两个极值点分别为x1＝，x2＝，一直介于和之间，排除法知选B.
11．[2014·江西卷] 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
11．(e，e) [解析] 由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．
12．[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
12．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9，所以|a|＝3.
13．[2014·江西卷] 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
13. [解析] 由题可知a8>0且a9<0，即7＋7d>0且7＋8d<0，所以－1b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
14. [解析] 由题意A，B，F1(－c，0)，则直线F1B的方程为y－0＝(x＋c)．
令x＝0，得y＝－，即D，
则向量DA＝，＝.
因为AD⊥F1B，所以·＝2c2－＝0，
即2ac＝b2＝(a2－c2)，
整理得(e－1)(e＋)＝0，所以e＝(e>0)．
故椭圆C的离心率为.
15．[2014·江西卷] x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．
15．[0，2] [解析] ⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2⇒⇒⇒0≤x＋y≤2.
16．、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝，
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x.
因为f＝－sin α＝－，
所以sin α＝，又α∈，
从而cos α＝－，
所以有sin＝sin αcos＋cos αsin＝.
17．、、[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
17．解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，
所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
18．、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
18．解：(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2，由f′(x)＞0得x
∈或x∈(2，＋∞)．
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)因为f′(x)＝，a＜0，
所以由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；当x∈时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1，即－2≤a＜0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1，4]时的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－＞4时，即a＜－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4时取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)．
当a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
19．、[2014·江西卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.
(1)求证：A1C⊥CC1；
(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC A1B1C1体积最大，并求此最大值．
图11
19．解：(1)证明：由AA1⊥BC知BB1⊥BC.又BB1⊥A1B，故BB1⊥平面BCA1，所以BB1⊥A1C.
又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.
(2)方法一：设AA1＝x.
在Rt△A1BB1中，A1B＝＝.
同理，A1C＝＝.
在△A1BC中，
cos∠BA1C＝＝
－，
sin∠BA1C＝，
所以S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝.
从而三棱柱ABC A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.
因为x＝＝
，
所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.
(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.
由AA1⊥BC，A1D⊥BC，得BC⊥平面AA1D，故BC⊥AD.又∠BAC＝90°，
所以S△ABC＝AD·BC＝AB·AC，得AD＝.
设AA1＝x.在Rt△AA1D中，
A1D＝＝，
S△A1BC＝A1D·BC＝.
从而三棱柱ABC A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝.因为x＝＝，
所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.
20． [2014·江西卷] 如图12所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上．
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
图12
20．解：(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.
直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2，
解得交点D的坐标为.
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2，
因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标为N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
