—五年高考数学试题及答案江苏省word
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题
无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2.选择题答案使用 2B
铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式:
样本数据 1x , 2x ,, nx 的标准差
2 2 2
1 2
1
ns x x x x x xn
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
V Sh
其中 S 为底面积， h 为高
一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. cos 6f x x
的最小正周期为
5
，其中 0 ，则 = ▲ ．
2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ▲ ．
3.1
1
i
i
表示为 a bi ,a b R ，则 a b = ▲ ．
4.A= 2
1 3 7x x x ，则 A Z 的元素的个数 ▲ ．
5. a
，b
的夹角为120 ， 1a ， 3b 则 5a b ▲ ．
6.在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不
大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落入 E 中的概率是 ▲ ．
7.某地区为了解 70-80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了 50 为老人进行调查，下表是这 50 为老人
日睡眠时间的频率分布表。
序号
（i）
分组
（睡眠时间）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1 [4，5] 4.5 6 0.12
2 [5，6] 5.5 10 0.20
锥体体积公式
1
3V Sh
其中 S 为底面积， h 为高
球的表面积、体积公式
24S R ， 34
3V R
其中 R 为球的半径
3 [6，7] 6.5 20 0.40
4 [7，8] 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ 。
8.设直线 1
2y x b 是曲线 ln 0y x x 的一条切线，则实数 b＝ ▲ ．
9 在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）在线段 AO 上的一点
（异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点 E、F ，某同学已正确求得 OE 的方程：
1 1 1 1 0x yb c p a
，请你完成直线 OF 的方程：（ ▲ ） 1 1 0x yp a
.
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（n ≥3）从左向右的第 3 个数为 ▲ ．
11.已知 , ,x y z R ，满足 2 3 0x y z ，则
2y
xz
的最小值是 ▲ ．
12.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆
2 2
2 2
x y
a b
1( a b 0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a 为半径作圆 M，若过
点 P
2
,0a
c
所作圆 M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 e = ▲ ．
13．满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 ▲ ．
14.设函数 3 3 1f x ax x （x∈R），若对于任意 1,1x ，都有 f x ≥0 成立，则实数 a = ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边
分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5
．
（Ⅰ）求 tan( )的值；
（Ⅱ）求 2 的值．
16．如图，在四面体 ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点 E 、F 分 别是 AB、BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线 EF ∥平面 ACD ；
（Ⅱ）平面 EFC⊥平面 BCD ．
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P
处，已知 AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水， 现要在该矩形 ABCD
的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂，并铺设
三条排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 y km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式；
②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
18．设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2 2f x x x b x R 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个
交点的圆记为 C．
（Ⅰ）求实数 b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆 C 的方程；
（Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论．
19.（Ⅰ）设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公差 0d ，若将此数列删去某一项得到的数
列（按原来的顺序）是等比数列：
①当 n =4 时，求 1a
d
的数值；②求 n 的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数 n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 1 2, , , nb b b ，其中任意
三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
20.若 1
1 3 x pf x ， 2
2 2 3 x pf x ， 1 2, ,x R p p 为常 数，函数 f (x) 定义 为：对每 个给定 的实数 x，
1 1 2
2 1 2
,
,
f x f x f xf x f x f x f x
（Ⅰ）求 1f x f x 对所有实数 x 成立的充要条件（用 1 2,p p 表示）；
（Ⅱ）设 ,a b 为两实数，满足 a b ，且 1 2,p p ∈ ,a b ,若 f a f b ，求证： f x 在区间 ,a b 上的单调增区
间的长度之和为
2
b a （闭区间 ,m n 的长度定义为 n m ）．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学参考答案
一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 【答案】10
【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 105T
2．【答案】 1
12
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故 3 1
6 6 12P
3. 【答案】1
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ 211
1 2
ii ii
，∴ a ＝0，b ＝1，因此 1a b
4. 【答案】0
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 2( 1) 3 7x x 得 2 5 8 0x x ,∵Δ＜0，∴集合 A 为
，因此 A Z 的元素不存在．
5. 【答案】7
【解析】本小题考查向量的线性运算． 22 2 2
5 5 25 10a b a b a a b b
= 2 2125 1 10 1 3 3 492
， 5a b
7
6. 【答案】
16
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其
内部，因此．
21
4 4 16P
7. 【答案】6.42
8. 【答案】ln2－1
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ' 1y x
，令 1 1
2x
得 2x ，故切点（2，ln2），代入直线方
程，得，所以 b＝ln2－1．
9【答案】 1 1
c b
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 1 1
c b
．事实上，由截距式可得直线 AB： 1x y
b a
，
直线 CP： 1x y
c p
，两式相减得 1 1 1 1 0x yb c p a
，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点
O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程．
10．【答案】
2 6
2
n n
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前 n－1 行共有正整数 1＋2＋…＋（n－1）个，即
2
2
n n 个，
因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第
2
2
n n ＋3 个，即为
2 6
2
n n ．
11. 【答案】3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 2 3 0x y z 得 3
2
x zy ，代入
2y
xz
得
2 29 6 6 6 34 4
x z xz xz xz
xz xz
，当且仅当 x ＝3 z 时取“＝”．
12. 【答案】 2
2
【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故
2
2a ac
，解得
2
2
ce a
．
13．【答案】 2 2
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设 BC＝ x ，则 AC＝ 2x ，
根据面积公式得 ABCS = 21 sin 1 cos2 AB BC B x B ，根据余弦定理得
2 2 2 2 24 2cos 2 4
AB BC AC x xB AB BC x
24
4
x
x
，代入上式得
ABCS =
2 22 128 1241 4 16
xxx x
由三角形三边关系有 2 2
2 2
x x
x x
解得 2 2 2 2 2 2x ，
故当 2 2x 时取得 ABCS 最大值 2 2
14. 【答案】4
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值， f x ≥0 显然成立；当 x＞0 即 1,1x
时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为， 2 3
3 1a x x
设 2 3
3 1g x x x
，则 '
4
3 1 2xg x x
， 所以 g x 在区间 10, 2
上单调递增，在区间 1 ,12
上单调递减，
因此 max
1 42g x g
，从而 a ≥4；
当 x＜0 即 1,0 时， 3 3 1f x ax x ≥0 可化为 a 2 3
3 1
x x
， '
4
3 1 2xg x x
0
g x 在区间 1,0 上单调递增，因此 ma 1 4ng x g ，从而 a ≤4，综上 a ＝4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
解：由已知条件及三角函数的定义可知， 2 2 5cos ,cos10 5
，
因为 , 为锐角，所以sin = 7 2 5,sin10 5
因此 1tan 7,tan 2
（Ⅰ）tan( )= tan tan 31 tan tan
（Ⅱ） 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
，所以 tan tan 2tan 2 11 tan tan 2
∵ , 为锐角，∴ 30 2 2
，∴ 2 = 3
4
16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF 面 ACD ，AD 面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD.
又 EF CF=F，∴BD⊥面 EFC．∵BD 面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ．
17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
解：（Ⅰ）①延长 PO 交 AB 于点 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 10
cos cos
AQOA , 故
10
cosOB ，又 OP＝10 10tan 10－10ta ，
所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP ，
所求函数关系式为 20 10sin 10cosy
0 4
②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB= 2 2 210 10 20 200x x x
所求函数关系式为 22 20 200 0 10y x x x x
（Ⅱ）选择函数模型①， '
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
令 'y 0 得 sin 1
2
，因为 0 4
，所以 =
6
，
当 0, 6
时， ' 0y ， y 是 的减函数；当 ,6 4
时， ' 0y ， y 是 的增函数，所以当 =
6
时，
min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边
10 3
3 km 处。
18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
解：（Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）；
令 2 2 0f x x x b ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F
令 y ＝0 得 2 0x Dx F 这与 2 2x x b ＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝b ．
令 x ＝0 得 2y Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1．
所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b .
（Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边＝0 2 ＋1 2 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆 C 必过定点（0，1）．
同理可证圆 C 必过定点（－2，1）．
19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的
能力，满分 16 分。
解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差 d0=0
事实上，设这个数列中的连续三项 a-d0,a,d+d0 成等比数列，则
a2=(d-d0)(a+d0)
由此得 d0=0
（1）(i) 当 n=4 时, 由于数列的公差 d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为 a2 或 a3
①若删去 2a ，则由 a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)
因 d≠0，故由上式得 a1=－4d，即
d
a1 =－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。
②若删去 a3，则由 a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)
因 d≠0，故由上式得 a1=d，即
d
a1 =1，此时数列为 d, 2d, 3d, 4d，满足题设。
综上可知，
d
a1 的值为－4 或 1。
(ii)若 n≥6，则从满足题设的数列 a1,a2,……,an 中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而
这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列 a1,a2,……,an 的公差必为 0，这与题设矛盾，所以
满足题设的数列的项数 n≤5，又因题设 n≥4，故 n=4 或 5.
当 n=4 时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当 n=5 时，若存在满足题设的数列 a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是 a3，从而 a1,a2,a4,a5
成等比数列，故
(a1+d)2=a1(a1+3d)
及
(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)
分别化简上述两个等式，得 a1d=d2 及 a1d=－5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为 5 的等差数列。
综上可知，n 只能为 4.
（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d′的 n 项等差数列 b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其
中三项 b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里 0≤m1
0，使得 )1)(()(' 2 axxxhxf ，则称函数 )(xf 具有性质 )(aP .
（1）设函数 )(xf )1(1
2)(
xx
bxh ，其中b 为实数
（ⅰ）求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ；
（ⅱ）求函数 )(xf 的单调区间；
（ 2 ） 已 知 函 数 )(xg 具 有 性 质 )2(P ， 给 定 为实数，设mxxxx ,),,1(, 2121 21 )1( xmmx ，
21)1( mxxm ，且 1,1 ，若| )()( gg |<| )()( 21 xgxg |,求 m 的取值范围.
2011 江苏高考数学试卷
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题-第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。考试结
束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用 2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：
（1）样本数据 x1 ,x2 ，…，xn 的方差 s2=
n
i=1
1
n （xi - x ）2,其中
n
i
i=1
1 xn .
（2）(2)直棱柱的侧面积 S=ch ,其中 c 为底面积，h 为高.
（3）棱柱的体积 V= Sh ，其中 S 为底面积，h 为高.
一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。．．．．．．．．．．
1、已知集合 },2,0,1{},4,2,2,1{ BA 则 _______, BA
2、函数 )12(log)( 5 xxf 的单调增区间是__________
3、设复数 i 满足 izi 23)1( （i 是虚数单位），则 z 的实部是_________
4、根据如图所示的伪代码，当输入 ba, 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值是________
Read a，b
If a>b Then
m a
Else
m b
End If
Print m
5、从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ___2 s
7、已知 ,2)4tan( x 则
x
x
2tan
tan 的值为__________
8、在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
xxf 2)( 的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最
小值是________
9、函数 ,,(),sin()( wAwxAxf 是常数， )0,0 wA 的部分图象如图所示，则 ____)0( f
3
12
7
2
10、已知
21,ee 是夹角为
3
2 的两个单位向量， ,,2 2121
eekbeea 若 0
ba ，则 k 的值为
11、已知实数 0a ，函数
1,2
1,2)( xax
xaxxf ，若 )1()1( afaf ，则 a 的值为________
12、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 )0()( xexf x 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线l 交 y 轴
于点 M，过点 P 作l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_____________
13、设 7211 aaa ，其中 7531 ,,, aaaa 成公比为 q 的等比数列， 642 ,, aaa 成公差为 1 的等差数列，则 q
的最小值是________
14、设集合 },,)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA ,
},,122|),{( RyxmyxmyxB , 若 , BA 则实数 m 的取值范围是______________
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐
酸步骤。
15、在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 cba ,,
（1）若 ,cos2)6sin( AA 求 A 的值；
（2）若 cbA 3,3
1cos ，求 Csin 的值.
16、如图，在四棱锥 ABCDP 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；
（2）平面 BEF⊥平面 PAD
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰
直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F
在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
18、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 124
22
yx 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两
点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k
（1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；
（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB
19、 已知 a ，b 是 实数 ， 函 数 ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf )(xf 和 )(xg 是 )(),( xgxf 的 导函 数 ， 若
0)()( xgxf 在区间 I 上恒成立，则称 )(xf 和 )(xg 在区间 I 上单调性一致
（1）设 0a ，若函数 )(xf 和 )(xg 在区间 ),1[ 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；
（2）设 ,0a 且 ba ，若函数 )(xf 和 )(xg 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
N
M
P
A
x
y
B
C
20、设 M 为部分正整数组成的集合，数列 }{ na 的首项 11 a ，前 n 项和为 nS ，已知对任意整数 k 属于 M，当 n>k
时， )(2 knknkn SSSS 都成立
（1）设 M=｛1｝， 22 a ，求 5a 的值；（2）设 M=｛3，4｝，求数列 }{ na 的通项公式
2012 年江苏高考
Y
N
输出 n
开始
1 a 2n ，
1n n
3 2a a 20a
结束
（第 5 题）
2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟.考试结束
后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.
4．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.
1.函数 )42sin(3 xy 的最小正周期为 ▲ .
解析： 2= =2T
2.设 2)2( iz (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ .
解析： 223 4 , 3 4 =5Z i Z
3.双曲线 1916
22
yx 的两条渐近线的方程为 ▲ .
解析： 3y= 4 x
4.集合 1,0,1 共有 ▲ 个子集.
解析： 32 8 （个）
5.右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ▲
解析：经过了两次循环，n 值变为 3
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .
解析：易知均值都是 90，乙方差较小，
2
2 2 2 2 22
1
1 1 89 90 90 90 91 90 88 90 92 90 25
n
i
i
s x xn
7.现有 某类病 毒记作 nmYX ，其 中正整 数 )9,7(, nmnm 可以 任意选 取，则 nm, 都取 到奇数 的概率 为
▲ .
解析： m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7 共 7 个
n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9 共9个
所以总共有 7 9 63 种可能
符合题意的 m 可以取1,3,5,7 共 4 个
符合题意的 n 可以取1,3,5,7,9 共5个
所以总共有 4 5 20 种可能符合题意
所以符合题意的概率为 20
63
8.如图，在三棱柱 ABCCBA 111 中， FED ,, 分别是 1,, AAACAB 的中点，设三棱锥 ADEF 的体积为 1V ，三棱
柱 ABCCBA 111 的体积为 2V ，则 21 :VV ▲ .
解析：
1 1 2 2
1 1 1 1 1
3 3 4 2 24ADE ABCV S h S h V
所以 1 2
1: 24V V
9.抛物线 2xy 在 1x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界).若点 ),( yxP 是区域 D
内的任意一点，则 yx 2 的取值范围是 ▲ .
解析：易知切线方程为： 2 1y x
所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 0,0 0.5,0 0, 1A B C
易知过 C 点时有最小值 2 ，过 B 点时有最大值 0.5
10.设 ED, 分别是 ABC 的边 BCAB, 上的点， ABAD 2
1 , BCBE 3
2 ,若 ACABDE 21 ( 21, 为实数)，
则 21 的值为 ▲ .
A
B
C
1A
D
E
F
1B
1C
解析：
易知 1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 6 3DE AB BC AB AC AB AB AC
所以 1 2
1
2
11.已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数.当 0x 时， xxxf 4)( 2 ，则不等式 xxf )( 的解集用区间表示为
▲ .
解析：因为 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，所以易知 0x 时， 2( ) 4f x x x
解不等式得到 xxf )( 的解集用区间表示为 5,0 5,
12.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x ，右焦点为 F ,右准线为l ，短轴的一
个端点为 B ，设原点到直线 BF 的距离为 1d ， F 到l 的距离为 2d .若 12 6dd ，则椭圆的离心率为 ▲ .
解析：由题意知
2 2
1 2,bc a bd d ca c c
所以有
2
6b bc
c a
两边平方得到 2 2 46a b c ，即 4 2 2 46a a c c
两边同除以 4a 得到 2 41 6e e ，解得 2 1
3e ，即 3
3e
13.平面直角坐标系 xOy 中，设定点 ),( aaA ， P 是函数 )0(1 xxy 图像上一动点，若点 AP, 之间最短距离为
22 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 ▲ .
解析：
由题意设 0 0
0
1, , 0P x xx
则有
2 2
22 2 2 2
0 0 0 0 02
0 0 0 0 0
1 1 1 1 12 + +2 = + -2 + 2 2PA x a a x a x a x a x ax x x x x
令 0
0
1 t 2x tx
则 2 2 2= (t)=t 2 2 2 2PA f at a t ，对称轴t a
1. 2a 时，
2 2
min
2
(2) 2 4 2
2 4 2 8
PA f a a
a a
1a ， 3a （舍去）
2. 2a 时，
2 2
min
2
( ) 2
2 8
PA f a a
a
10a ， 10a （舍去）
综上 1a 或 10a
14.在正项等比数列 na 中，
2
1
5 a ， 376 aa .则满足 nn aaaaaaaa ...... 321321 的最大正整数 n 的值为
▲ .
解析：
2
2
5
2
5 5
2
6
6 7
1 2 3 1 2 3
11
5 5 2
11
5 52
2
3
... ..
1 ,
.
2 2 2
2 2 2 0
115 2
13 129 13
2
3
6 0
0
2
29
2
2
1
2
n n
n n
n
n n
n
n
n
a a
a a a a a a
a
a q a q
q
a a
n n
q
n
q
n
q
a
n N
1 12,n n N
又 12n 时符合题意，所以 n 的最大值为12
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
15.（本小题满分 14 分）
已知 cos sina ， ， cos sinb ， ， 0 .
(1) 若 2a b ，求证： a b ；
(2) 设 0 1c , ，若 a b c ，求 ， 的值.
解：(1) cos ,sin , cos ,sin ,0a b
2a b
2
2a b
2 2
2 2a b ab
1 1 2 2a b
0a b
a b
(2)
0,1 ,
cos cos ,sin sin 0,1
cos cos 0
sin sin 1
c a b c
①
②
2 2+① ② 得： 2+2cos 1
1cos 2
0
0
2
3
又
cos cos 0
5 ,6 6
16. （本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ， AB BC , AS AB . 过 A 作 AF SB ，垂足为 F ，点
E ,G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
求证：(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ;
(2) BC SA .
解：(1) ,E G 分别是侧棱 ,SA SC 的中点
EG AC ∥
AC 在平面 ABC 中， EG 在平面外
EG ∥平面 ABC
,AS AB AF SB ⊥
F 为 SB 中点
EF AB ∥
AB 在平面 ABC 中， EF 在平面外
EF ∥平面 ABC
EF 与 EG 相交于 E
,EF EG 在平面 EFG 中
平面 EFG / / 平面 ABC
(2) 平面 SAB⊥平面 SBC
SB 为交线
AF 在 SAB 中， AF SB⊥
AF ⊥平面 SBC
AF BC ⊥
BC AB ⊥
AF 与 AB 相交于 A
,AF AB 在平面 SAB 中
BC ⊥平面 SAB
BC SA ⊥
17. （本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 0 3A , ，直线 2 4l y x ： .设圆的半径为 1，圆心在 l 上.
(1) 若圆心C 也在直线 1y x 上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2) 若圆C 上存在点 M ，使 2MA MO ，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围.
解：（1） 2 4
1
y x
y x
①
②
①与②联立得到圆心坐标 3,2C
圆方程为 2 23 2 1x y
切线斜率不存在时，不合题意
设切线方程为 3y kx
2
3 2 3 1
1
k
k
解得 0k 或 3
4k
切线方程为 3y 或 3 34y x
（2）设 ,2 4C a a ，则圆方程为 2 22 4 1x a y a
设 0 0( , )M x y
由题意 2 2
0 0 2 4 1x a y a
2MA MO
22 2 2
0 0 0 03 4 4x y x y
即 22
0 0 1 4x y
M 存在，圆 2 22 4 1x a y a 与圆 22 1 4x y 有交点
即两圆相交或相切
2 222 1 2 1d
即 2 21 0 2 4 ( 1) 9a a
120 5a
18. （本小题满分 16 分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到C ，另一种是先从 A 沿索道乘
缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C .
现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，
在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为 1260m，经
测量， 12cos 13A ， 3cos 5C .
(1) 求索道 AB 的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过 3 分钟，乙 步 行 的 速 度
应控制在什么范围内？
解：(1)
12 3cos ,cos13 5
0 ,0 ,0
5 4sin ,sin13 5
A C
A B C
A C
+ =A B C
5 3 12 4 63sin =sin + =sin cos +cos sin = + =13 5 13 5 65B A C A C A C
= =sin sin sin
AC AB BC
B C A
sin 4 65= = 1260=1040msin 5 63
CAB ACB
(2)
sin= =500sin
ABC ACB
设乙出发 t 8t 分钟后，甲到了 D 处，乙到了 E 处
则有 =50t+100AD 130AE t
根据余弦定理 2 2 2 2 cosDE AE AD AE AD A
即 2 27400 14000 10000DE t t
当 14000 35
2 7400 37t
时， 2DE 有最小值
250 74
37DE
(3)设甲所用时间为t甲 ，乙所用时间为 t乙 ，乙步行速度为V乙
由题意 1260 126= = min50 5t甲
1040 500 500t =2+ +1+ =11+ min130 V V乙
乙 乙
126 5003 11 35 V
乙
解不等式得1250 625
43 14V 乙
19. （本小题满分 16 分）
设 na 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列 0d ， nS 是其前 n 项和. 记 2
n
n
nSb n c
， Nn * ，其中 c 为实数.
(1) 若 0c ，且 1b ， 2b ， 4b 成等比数列，证明： 2 Nnk kS n S k,n * ；
(2) 若 nb 是等差数列，证明： 0c .
解：
（1） 1 0na a n d d
2
2n
n nS na d
0c 时， n
n
Sb n
1
1
2
2
4
4
1
2 2
3
4 2
Sb a
S db a
S db a
1 2 4, ,b b b 成等比
2
1 4 2b b b
2
2
2
2 2
2 2 2
2
3
2 2
2
0
2
n
nk
k
nk k
d da a a
d ad
d
d a
S n a
S n k a
n S n k a
S n S
（2）由已知
2 3 2
2 2
2
2 2
n
n
nS n a n d n db n c n c
nb 是等差数列
设 nb kn b （k,b 为常数）
有 3 22 2 2 2 2 0k d n b d a n ckn bc 对任意 n N 恒成立
2 0
2 2 0
2 0
2 0
k d
b d a
ck
bc
0d
0
0
k
c
此时 2
2
2
dk
a db
命题得证
20. （本小题满分 16 分）
设函数 ln f x x ax ， xg x e ax ，其中 a 为实数.
(1) 若 f x 在 1, 上是单调减函数，且 g x 在 1, 上有最小值，求 a 的范围；
(2) 若 g x 在 1, 上是单调增函数，试求 f x 的零点个数，并证明你的结论.
解：（1）
' 1( )f x x a
'( ) xg x e a
由题意： '( ) 0f x 对 1,x 恒成立
即 1a x 对 1,x 恒成立
1a
g x 在 1, 上有最小值
0a 时， '( ) 0g x 恒成立， ( )g x 在 1, 无最值
0a 时，由题意 ln 1a
a e
综上： a 的范围是： a e
（2） g x 在 1, 上是单调增函数
'( ) 0g x 对 1,x 恒成立
即 xa e 对 1,x 恒成立
1a e
令 ( ) 0f x ，则 ln xa x
则有 ( )f x 的零点个数即为 y a 与 ln xy x
图像交点的个数
令 ln( ) 0xh x xx
则 '
2
1 ln( ) xh x x
易知 ( )h x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减
在 x e 时取到最大值 1( ) 0h e e
当 0x 时， ln( ) xh x x
当 x 时， ln( ) 0xh x x
( )h x 图像如下
所以由图可知： 0a 时， ( )f x 有 1 个零点
10 a e
时， ( )f x 有 2 个零点
1a e
时， ( )f x 有 1 个零点
综上所述： 0a 或 1a e
时， ( )f x 有 1 个零点
10 a e
时， ( )f x 有 2 个零点
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20
题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在
答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮
擦干净后，再正确涂写。
3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析
数 学Ⅰ
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位．
置上．．．
1、已知集合 }4,3,1,2{A , }3,2,1{B ,则 BA = ▲ ．
【答案】 }3,1{
【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元 素
组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1 和 3，所以答案为 }3,1{
【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。属于基础题，难
度系数较小。
2、已知复数 2)25( iz (i 为虚数单位），则 z 的实部为 ▲ ．
【答案】21
【解析】根据复数的乘法运算公式， iiiiz 2021)2(2525)25( 222 ，实部为 21，虚部为-20。
【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把 12 i 算为 1。属于基础题，难
度系数较小。
3、右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 ▲ ．
【答案】5
【解析】根据流程图的判断依据，本题 202 n 是否成立，若不成立，则 n 从 1 开始每次判断完后循环时， n 赋值
为 1n ；若成立，则输出 n 的值。本题经过 4 次循环，得到 203222,5 5 nn ，成立，则输出的 n 的值为 5
【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题，难度系数较小。
4、从 6,3,2,1 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ ．
【答案】
3
1
【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，
6），共 6 种情况，满足题目乘积为 6 的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为
3
1 。
【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的
情况选出来即可。本题属于容易题，但同时也易在列举时粗心、遗漏，需要引起考生的注意。
开始
0n
1 nn
202 n
输出 n
结束
（第 3 题）
N
Y
5、已知函数 xy cos 与 )0)(2sin( xy ，它们的图象有一个横坐标为
3
的交点，则 的值是 ▲ ．
【答案】
6
【 解 析 】根 据 题 目 中 两 个函 数 的 图 象 有 一个 横 坐 标 为
3
的 交 点 ，所 以 将
3
分 别 代 入两 个 函 数 ， 得 到
)32sin(2
1
3cos ，通过正弦值为
2
1 ，解出 )(,263
2 Zkk 或 )(,26
5
3
2 Zkk ，
化简解得 )(,22 Zkk 或 )(,26 Zkk ，结合题目中 ],0[ 的条件，确定出
6
。
【点评】本题主要考查的是三角函数，由两个图象交点建立一个关于 的方程 )32sin(2
1 ，在解方程时，考
生一般只想到第一种情况 )(,263
2 Zkk ，忽略了在一个周期内，正弦值为
2
1 的角有两个：
6
和
6
5 ，
然而最终答案却由第二种情况 )(,26
5
3
2 Zkk 解出，此处为考生的易错点和薄弱点，主要是由于对正
弦值为
2
1 的角的惯性思维为
6
，这个问题也是今年的热点问题，在模拟题中也经常出现，需要引起考生的重视。
6、在底部周长 ]130,80[ 的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 ▲ 株树木
的底部周长小于 100cm.
【答案】24
【 解 析 】 从 图 中 读 出 底 部 周 长 在 ]90,80[ 的 频 率 为 15.010015.0 ， 底 部 周 长 在 ]100,90[ 的 频 率 为
25.010025.0 ，样本容量为 60 株， 2460)25.015.0( 株是满足题意的。
【点评】本题考查统计部分的内容，重点考查频率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示
组距
频率 ，图中读出的数
据 015.0 并非是频率，需要乘以组距 10 以后才为频率。频率分布直方图近三年的江苏考卷中都未出现，今年也是
作为高考热点出现了，希望引起重视。
7、 在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若 12 a ， 268 2aaa ，则 6a 的值是 ▲ ．【答案】4
【解析】根据等比数列的定义， 2
24
4
26
6
28 ,, qaaqaaqaa ，所以由 268 2aaa 得 2
2
4
2
6
2 2 qaqaqa ，消
去 2
2qa ，得到关于 2q 的一元二次方程 02)( 222 qq ，解得 22 q ， 421 24
26 qaa
【点评】本题重点考查等比数列的通项公式，将题中数列的项用 2a 和 q 表示，建立方程解得 2q ，考查以 2q 为一个
整体的整体思想去解方程，对于第 7 题考查此题，显得太过简单了，但此题也有易错点，考生易将等比看为等差。
8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 21 S,S ，体积分别为 21 V,V ，若它们的侧面积相等，
4
9
S
S
2
1 ，则
2
1
V
V ▲ ．
【答案】 2
3
【解析】由题意，
4
9
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
r
r
r
r
S
S
，所以
2
3
2
1
r
r ，圆柱的侧面积 rhS 2侧 ， 222111 2r2 hrShS 侧侧 ，
则
3
2
1
2
2
1
r
r
h
h ，
2
3
3
2
4
9
22
11
2
1
hS
hS
V
V
【点评】本题考查了圆柱的体积，主要根据侧面积相同，由底面积的比值找到高、体积的比值，难度适中。
9、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 032x y 被圆 4)1(2x 22 y）（ 截得的弦长
为 ▲ ．
【答案】 555
2
【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定理，圆心为 )1,2( ， 2r ，
圆心到直线的距离 55
3
21
|322|
22
d ，弦长= 222 dr = 55
2
5
942
【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长，直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题，本题考查的也是一个
相对简单的问题，主要侧重计算。
10、已知函数 1)( 2 mxxxf ，若对于任意 ]1,[ mmx ，都有 0)( xf 成立，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．
【答案】 )0,2
2(
【 解 析 】 二 次 函 数 开 口 向 上 ， 在 区 间 ]1,[ mm 上 始 终 满 足 0)( xf ， 只 需
0)1(
0)(
mf
mf 即 可 ，
01)1()1(
01
2
22
mmm
mm ，解得
02
3
2
2
2
2
m
m
，则 )0,2
2(m
【点评】本题主要考查二次函数含参数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，使得题目解答过程和思
路都简单很多，如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐，考生可以自己尝试。
11、在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ),(y 2 为常数bax
bax 过点 )5,2(P ，且该曲线在点 P 处的切线与直线
0327x y 平行，则 ba 的值是 ▲ ．
【答案】
2
1
【点评】本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及导函数在切点处的取值等于切线
的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于 ba, 的方程组。
12、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 5,8 ADAB ， 2,3 BPAPPDCP ，则 ADAB 的值是 ▲ ．
【答案】22
【解析】以 ADAB, 为基底，因为 2,3 BPAPPDCP ，
ABADDPADAP 4
1 ， ABADCPBCBP 4
3
则 )4
3()4
1(2 ABADABADBPAP 22
16
3
2
1 ABABADAD
因为 5,8 ADAB 则 ADAB
2
16416
3252 ，故 22 ADAB
【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已
知的两条边长，选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题，本题的难度适中，希望引起考生的注意。
13．已知 )(f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 )3,0[x 时， |2
12|)( 2 xxxf
axf )(y 在区间 ]4,3[ 上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
【答案】 )2
1,0(
【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找 )(xfy 与 ay 的图象交点去推出零点，先画出[0,3]
上
2
122 xxy 的图像，再将 x 轴下方的图象对称到上方，利用周期为 3，将图象平移至 ]10,3[ ，发现若 )(xf
图象要与 ay 有 10 个不同的交点，则 )2
1,0(a
【点评】本题主要考查函数零点问题，转为为数形结合，利用图象交点去解决问题，因为零点问题、数形结合是重
要的考点和难点，但是本题考查的不是特别深，所以题目难度适中，只要能画出图象就可以解决问题。同时，这也
是近年来高考的热点，同样需要注意。
14．若三角形 ABC的内角满足 CBA sin2sin2sin ，则 Ccos 的最小值是 ▲ ．
【答案】
4
26
【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得 cba 22 ，再由余弦定理，用 ba, 去表示 c ，并
结合基本不等式去解决，化简 22 ba 为 ab ，消去 ab 就得出答案。
4
2
2
2
1
4
3
2
2
2
2
1
4
3
2
)2
2(
2cos
2222222
222
ab
ba
ab
abba
ab
baba
ab
cbaC
4
26
4
2
2
2
1
4
32 22
ab
ba
【点评】本题主要考查正、余弦定理，以及不等式，最终最值是在 75C 这样一个较为特殊的角处取的，题目做
为填空题的压轴题，实在是简单了，没有过多的技巧与构造，只需要用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。
15.（1）∵α∈（ ，π）， =
∴ =
∴ = + =
（2） =1 2 = ， =2 =
= + = + （ ）=
16.如图，在三棱锥 P ABC 中，D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点。已知 PA⊥AC，PA=6,BC=8，
DF=5.
求证：（1）直线 PA∥平面 DEF;
（2）平面 BDE⊥平面 ABC.
（1）∵D,E,分别为 PC,AC,的中点
∴DE∥PA
又∵DE 平面 PAC，PA 平面 PAC
E
P
A
D
C
∴直线 PA∥平面 DEF
（2）∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点，且
BC=8，由中位线知 EF=4
∵D,E,分别为 PC,AC,的中点，且 PA=6，由中位线知 DE=3，又∵DF=5
∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC EF=E，
AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，∴PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 ABC，∵DE 平面 BDE，
∴平面 BDE⊥平面 ABC
17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2 分别是椭圆
22
2 2 1( 0)yx a ba b
的左、右
焦点，顶点 B 的坐标为（0，b），连结 BF2
交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C.
（1）若点 C 的坐标为（ ， ），且 BF2 = ，求椭圆的方程；
（2）若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。
（1）∵BF2 = ，
将点 C（ ， ）代入椭圆
22
2 2 1( 0)yx a ba b
，
∴ 2 2
16 1 1( 0)9 9 a ba b
，
且 c²+b²=a²
∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为
2
2 12
x y
（2）直线 BA 方程为 y= x+b,与椭圆
22
2 2 1( 0)yx a ba b
联立得
B
A
O
C
F1 F2 x
y
x² x=0. ∴点 A（ ， ），∴点 C（ ， ）
F1（ ）
直线 CF1 斜率 k= ，又∵F1C⊥AB ，∴ · =
∴ =1，∴e=
18. 如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保
护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直，保护区的边界为圆心 M 在线段 OA
上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m，
经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处（OC
为河岸），tan∠BCO= .
（1）求新桥 BC 的长：
（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
B
东
北
A
M60m
O 170m C
B
东
北
A
M60m
O 170m C
E
F
18. （1）过点 B 作 BE⊥OC 于点 E，
过点 A 作 AD⊥BE 于点 F。
∵tan∠BCO= ，设 BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ，
∴OE=，AF=170 ，，EF=AO=60 ，BF=4x 60
又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，
∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°，
∴tan∠BAF= = = ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥 BC 的长为 150m。
（2）以 OC 方向为 x 轴，OA 为 y 轴建立直角坐标系。设点 M（0，m），点 A（0,60），
B（80,120），C（170,0）直线 BC 方程为 y= （x ），
即 4x+3y ∴半径 R= ，又因为古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的
距离均不少于 80m，∴R AM 80 且 R 80 ，∴
80 ， 80，
∴ 35 ，∴R= 此时圆面积最大。∴当 OM=10 时圆形保护区面积最大。
19.已知函数 ( )f x + ，其中 e 是自然对数的底数。
（1）证明： ( )f x 是 R 上的偶函数；
（2）若关于 x 的不等式 m ( )f x +m 1 在（0，+ ）上恒成立，求实数 m 的
取值范围；
（3）已知正数 a 满足:存在 x0 [1，+ ），使得 0(x )f （ x0 3 +3x0）成立，试
比较 与 的大小，并证明你的结论。
（1）∵x ( )f x = + = ( )f x ，∴ ( )f x 是 R 上的偶函数
（2）∵ ( )f x + 2 =2 1 ，∴ ( )f x ，∴m（ ( )f x ）
1，∴m = ，
令 ( )g x = ， ( )g x = ，∴x 时 ( )g x
( )g x 单调减，x 时 ( )g x ( )g x 单调增，∴ ( )g x min= (ln 2)g = ，若关于
x 的不等式 m ( )f x +m 1 在（0，+ ）上恒成立，则只要 m ( )g x min 恒成立 ，
∴m 。∴m （ ]。
（3）由题正数 a 满足:存在 x0 [1，+ ），使得 0(x )f （ x0 3 +3x0）成立。即
+ （ x0 3 +3x0） 令 ( )h x = + （ x 3 +3x），即 ( )h x min 0。
h x -
= +3a ，当 x [1，+ ）时， h x 0 ， ( )h x min = (1)h =e+ -2a 0 ，
∴a + 。
要比较 与 的大小，两边同时取以 e 为底的对数。只要比较 a-1 与（e-1）
lna 的大小。令 y = a-1-( e-1）lna ，
y = 1- ，∵a + + e-1，∴a （ + ）时
y y 单调减，a （ ）时 y y 单调增，又∵ + ，
当 a=1 时，y=0，∴当 a= + 时，y 0，当 a=e 时，y=0。∴a=e-1 时，y 0。
∴当 + 时，y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。
当 a=e 时 y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。
当 a e 时 y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。
20.设数列{ }的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得
，则称{ }是“H 数列。”
（1）若数列{ }的前 n 项和 = （n ），证明：{ }是“H 数列”；
（2）设数列{ }是等差数列，其首项 =1.公差 d 0.若{ }是“H 数列”，求 d
的值；
（3）证明：对任意的等差数列{ }，总存在两个“H 数列” { }
和{ }，使得 = （n ）成立。
（1）证明：∵ = ，∴ = = （n ），又 = =2= ，∴
（n ）。∴存在 m=n+1 使得
（2） =1+（n-1）d ，若{ }是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数
m,使得 。 =1+（m-1）d 成立。化
简得 m= +1+ ，且 d 0
又 m ， ， d ，且 为整数。
（3）证明：假设成立且设 都为等差数列，则
n + = +（ -1） ，
= + +1，
∴ = （ ）
同理 = （ ）
取 = =k
由题 = = +（ -1） + +（ -1）
=（ ）+（n-1）（ ）=（n+k-1） ）
可得{ }为等差数列。即可构造出两个等差数列{ }
和{ }同时也是“H 数列”满足条件。
