2019年甘肃天水中考数学试题（解析版）

2019年甘肃天水中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年天水中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年甘肃省天水市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分． ‎ ‎{题目}1．（2019年天水T1）已知| a | =1，b是2的相反数，则a＋b的值为（ ）‎ ‎ A．－3 B．－1 C．－1或－3 D．1或－3‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了有理数的加法以及绝对值、相反数的定义，∵| a | =1，∴a=±1．∵b是2的相反数，所以b=－2，∴a＋b=－1或a＋b=－3，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}‎ ‎{考点:有理数的加法法则}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}2．（2019年天水T2）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（ ）‎ ‎ A．73×10-6 B．0.73×10-4 C．7.3×10-4 D．7.3×10-5 ‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法a×10n表示较小的数，1≤a＜10，n表示最前面0的个数，0.000073，7的前面共有5个0，所以0.000073=7.3×10－5，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年天水T3）如图所示，圆锥的主视图是（ ）‎ ‎ A．　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了物体的三视图，主视图表示从正面看到物体的形状，从前面观察圆锥可以看到一个三角形，故圆锥的主视图是三角形，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．（2019年天水T4）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°‎ 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且　∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（ ）‎ ‎ A．145° B．140° C．135° D．130° ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质，∵∠C=90°，∠CED=50°，∴∠CDE=40°，∵DE∥FA，∴∠CFA=∠CDE=40°，∴∠BFA=180°－40°=140°，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年天水T5）下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A．(ab)2=a2b2 B．a2＋a2=a4 C．(a2)3=a5 D．a2·a3=a6‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了整式的运算，选项A正确；选项B：a2＋a2=2a2；选项C：(a2)3=a6；选项D：a2·a3=a5，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019年天水T6）已知，则代数式2a+2b－3的值是（ ）‎ ‎ A．2 B．－2 C．－4 D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了求代数式的值，2a+2b－3=2(a+b) －3=，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-2-1]整式}‎ ‎{考点:代数式求值}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019年天水T7）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了几何概率的计算，黑色区域恰好是圆面积的一半，设圆的半径为r，则黑色区域的面积为，正方形的面积为(2r)2=4r2，所以针尖落在黑色区域的概率：P=，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:几何概率}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年天水T8）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）‎ ‎ A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，） ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的运用，如图所示，过作于，‎ ‎∵△OAB是等边三角形，‎ ‎∴，‎ 在Rt△BOC中，，‎ ‎∴B（1，），因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年天水中考T9）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=80°，则∠EAC的度数为（ ）‎ ‎ A．20° B．25° C．30° D．35° ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了菱形的性质与圆的基本性质，∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）＝50°，‎ ‎∵四边形AECD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠AEB＝∠D＝80°，‎ ‎∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝80°﹣50°＝30°，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:圆内接四边形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019年天水T10）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从 点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A．　　　　　B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了动点问题函数图象，选项 A：当点M运动时线段PM的长度，先增加至PM为直径，然后再减小至点M回到点P，图象明显先增后减，只有两段，所以该封闭图形不可能是圆；选项B：点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是变速先减小，再变速增加，图象应该有四段，所以该封闭图形不可能是菱形；选项C：点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，即中间部分应是先增后减的图 象，所以不可能是梯形；选项D：点P在开始与结束的两边上直线变化，‎ 在点A的对边上时，图象是变速先减小到点P对边中点再变速增大到右下角顶点，符合题干图象，故该封闭图形可能是等边三角形，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}‎ ‎{考点:动点问题的函数图象}‎ ‎{考点:分段函数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:代数选择压轴}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，合计32分．‎ ‎{题目}11．（2019年天水T11）函数中，自变量x的取值范围是 ．‎ ‎{答案}x≥2‎ ‎{解析}本题考查了函数自变量的取值范围，因为x－2 是被开方数，所以x－2≥0，x≥2，因此本题答案为x≥2．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-19-1-1]变量与函数}‎ ‎{考点:函数自变量的取值范围}‎ ‎{类别:常考题} ‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019年天水T12）分式方程的解是 ．‎ ‎{答案}x=2‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的计算，去分母得：x=2（x－1），解得 x=2，因此本题答案为x=2．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019年天水T13）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据的中位数，则这组数据的平均数是 ．‎ ‎{答案}5‎ ‎{解析}本题考查了平均数与中位数，把前面四个数从小到大排序后，中间两个数为3.3和4.4，故整数a位这两个数之间，所以a=4，故平均数为，因此本题答案为5．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年天水T14）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　　　　　　　．（用百分数表示）‎ ‎{答案}40%‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，设该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据题意，得：20000(1+x)2=39200，解得 ：x1=0.4，x2=－2.4（舍去），所以该地区居民年人均收入平均增长率为40%，因此本题答案为40%．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15．（2019年天水T15）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a－b．则M、N的大小关系为M N．‎ ‎ ‎ ‎{答案}M＜N ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=－1时，y=a－b+c＞0，∴4a+2b+c＜a－b+c，∴4a+2b＜a－b，∴M＜N，当因此本题答案为M＜N．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019年天水T16）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x 轴、y轴分别交于A 、B两点，B点坐标为（0，），OC与⊙D相交于点C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了求阴影部分的面积，连接AB，‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴AB是直径，‎ 根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，‎ ‎∵OB＝，‎ ‎∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝，AB＝2AO＝4，即圆的半径为2，‎ ‎∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝，因此本题答案为：．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}17．（2019年天水T17）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了矩形的折叠与锐角三角函数的计算，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，‎ ‎∴AF＝AD＝5，∠AFE=90°‎ ‎∴∠EFC＋∠AFB=90°，‎ ‎∵∠BAF＋∠AFB=90°，‎ ‎∴∠BAF=∠EFC．‎ 在Rt△ABF中，‎ BF＝，‎ ‎∴sin∠EFC＝sin∠BAF＝．因此本题答案为．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{考点:一线三等角}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}18．（2019年天水T18）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 ○．‎ ‎{答案}6058‎ ‎{解析}本题考查了代数式的规律探究，设第n个图形有an个〇（n为正整数），‎ 观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，‎ ‎∴an＝1+3n（n为正整数），∴a2019＝1+3×2019＝6058，因此本题答案为6058．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-2-1]整式}‎ ‎{考点:规律－图形变化类}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计78分．‎ ‎{题目}19．（2019年 T 19（1））计算：‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算，分别运用有理数的乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、0指数幂及绝对值的意义进行计算．‎ ‎{答案}解： 原式=‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:有理数乘方的定义}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{题目}19．（2019年天水T19（2））先化简，再求值：，其中x 的值从不等式组的整数解中选取．‎ ‎{解析}本题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式组的整数解，把括号里面的分式通分进行加减运算，然后把除法变为乘法，分子、分母分解因式后化简，然后再解不等式组选取合适的整数解代入求值．‎ ‎{答案}解： 原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 解不等式组得，－1≤x＜3，整数解有－1，0，1，2．‎ 只有x=2符合题意，当x=2时，原式．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}20．（2019年天水T20）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生．‎ ‎（2）请你补全条形统计图．‎ ‎（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度．‎ ‎（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，（1）根据喜欢“声乐”的学生人数和百分比可求；（2）利用总人数减去另外四组的人数即可求出喜欢“戏曲”的学生人数，可补全条形统计图；（3）求出喜欢“乐器”的学生所占比例乘以360°即可求出圆心角的度数；（4）用1200‎ 乘以喜欢“舞蹈”项目的学生所占比例即可求出．‎ ‎{答案}解： （1）一共抽查学生数为：8÷16%＝50（名）．‎ ‎（2）50﹣12﹣16﹣8﹣10＝50﹣46＝4（名）‎ 补全统计图如图：‎ ‎（3）．‎ ‎（4）（名）．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{题目}21．（2019年天水T21）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出中x的取值范围；‎ ‎（3）求△AOB的面积．‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）由图直接解答；（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积计算即可．‎ ‎{答案}解：（1） ∵点A在反比例函数的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得：m=1，‎ ‎∴点A的坐标为（1，4）．‎ 又∵点B也在反比例函数的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得：n=2‎ ‎∴点B的坐标为（2，2）．‎ 又∵点A、B在y=kx+b的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ 所以一次函数的解析式为y=－2x＋6．‎ ‎（2）x的取值范围为x＜0或1＜x＜2．‎ ‎（3）∵直线y=－2x＋6与x轴的交点为N，‎ ‎∴点N的坐标为（3，0）．‎ ‎∴S△AOB=S△AON－S△BON=．．．．．．．．．．．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{题目}22．（2019年天水T22）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长）．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶．（参考数据：，）‎ ‎（1）若新坡面坡角为α ，求坡角α 度数；‎ ‎（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，（1）由新坡面的坡度为1∶，可得tanα＝tan∠CAB＝，坡角α 度数可求；（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可确定是否需要拆除．‎ ‎{答案}解： （1）∵新坡面的坡度为1∶，‎ ‎∴tanα＝tan∠CAB＝，‎ ‎∴∠α＝30°．‎ 答：新坡面的坡角a为30°；‎ ‎（2）文化墙PM不需要拆除．‎ 过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6，‎ ‎∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，‎ ‎∴BD＝CD＝6，AD＝6，‎ ‎∴AB＝AD﹣BD＝6﹣6，‎ ‎∴AP=PB﹣AB=（米）‎ ‎∵3.608＞3，‎ ‎∴文化墙PM不需要拆除．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－坡度}‎ ‎{题目}23．（2019年天水T23）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的应用，（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，30），（16，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于16元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．‎ ‎{答案}解： （1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，30），（16，24）代入得， ，解得，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+40（10≤x≤16）；‎ ‎（2）W=（x﹣10）（﹣x+40）‎ ‎=﹣x2+50x﹣400‎ ‎=﹣（x﹣25）2+225，‎ ‎∵a＝﹣1＜0，‎ ‎∴当x＜25时，W随x的增大而增大，‎ ‎∵10≤x≤16，‎ ‎∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144．‎ 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{题目}24．（2019年天水T24）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．‎ ‎{解析}本题考查了切线的性质定理以及判定定理．（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．‎ ‎{答案}解： （1）连接OC，‎ ‎∵OD⊥AC，OD经过圆心O，‎ ‎∴AD＝CD，‎ ‎∴PA＝PC，‎ 在△OAP和△OCP中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OAP≌△OCP（SSS），‎ ‎∴∠OCP＝∠OAP ‎∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP＝90°．‎ ‎∴∠OCP＝90°，‎ 即OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠COB＝60°，‎ ‎∵AB＝10，‎ ‎∴OC＝5，‎ 由（1）知∠OCF＝90°，‎ ‎∴CF＝OCtan∠COB＝5．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{题目}25．（2019年天水T25）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．‎ ‎（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；‎ ‎（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+ BC2；‎ ‎（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．‎ ‎{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用．（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；‎ ‎（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．‎ ‎{答案}解： （1）四边形ABCD是垂美四边形．‎ 证明：∵AB＝AD，‎ ‎∴点A在线段BD的垂直平分线上，‎ ‎∵CB＝CD，‎ ‎∴点C在线段BD的垂直平分线上，‎ ‎∴直线AC是线段BD的垂直平分线，‎ ‎∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；‎ ‎（2）证明：∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，‎ 由勾股定理得， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，‎ AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，‎ ‎∴AB2+CD2＝AD2+BC2； ‎ ‎（3）连接CG、BE，CE与AB交于点M ‎∵∠CAG＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，‎ 在△GAB和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△GAB≌△CAE，‎ ‎∴∠ABG＝∠AEC，‎ 又∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME=∠BMC，‎ ‎∴∠ABG+∠BMC＝90°，‎ ‎∴CE⊥BG，‎ ‎∴四边形CGEB是垂美四边形，‎ 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，‎ ‎∵AC＝4，AB＝5，‎ ‎∴BC＝3，CG＝，BE＝，‎ ‎∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝，‎ ‎∴GE＝．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}26．（2019年天水T26）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；‎ ‎（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；‎ ‎（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题考查了二次函数综合．（1）用待定系数法求抛物线解析式；（2）由GH∥A1O1，求出GH＝1，再求出FH，S重叠部分＝S△A1O1F﹣S△FGH计算即可；（3）分两种情况讨论：①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．‎ ‎{答案}解： 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），‎ ‎∵C（0，4）在抛物线上，‎ ‎∴4＝﹣27a，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴该抛物线的解析式为，‎ ‎∵CD垂直于y轴，C（0，4）‎ 令，得x=0或x=6，‎ ‎∴点D的坐标为（6，4）．‎ ‎（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H．‎ ‎∵点F是抛物线的顶点，‎ ‎∴F（3，），‎ ‎∴FH＝．‎ ‎∵GH∥A1O1，‎ ‎∴，∴，解得 GH＝1．‎ ‎∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，‎ ‎∴S重叠部分＝S△A1O1F﹣S△FGH ＝A1O1×O1F﹣GH×FH ‎＝×3×4﹣×1×‎ ‎＝．‎ ‎（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M．‎ ‎∵C2O2∥DE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴O2M＝，‎ ‎∴S＝S△OO2M＝OO2×O2M＝；‎ ‎②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N．‎ 易得OD的直线方程为，直线A2C2过点（t－3，0）和（t，4）可求得，方程，‎ 可得两直线的交点M（－6+2t，），故点M到O 2C2的距离为6－t ‎∵C2N∥OC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴C2H＝．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　． ‎ ‎∴S与 t的函数关系式为．‎ ‎{分值}13‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{考点:分段函数}‎ ‎{考点:平行线分线段成比例}‎ ‎{考点:代数综合}‎