中考卷-2020中考数学试题（解析版） (3)

中考卷-2020中考数学试题（解析版） (3)

1 2020 年安徽省初中学业水平考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条 形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、 试题纸上答案无效． 4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分)每小题都给出 A，B，C，D 四个选 项，其中只有一个是符合题目要求的． 1.下列各数中比 2 小的数是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据正数都大于 0，负数都小于 0，可排除 C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2 小的 数是-3． 【详解】∵|-3|=3，|-1|=1， 又 0＜1＜2＜3， ∴-3＜-2， 所以，所给出的四个数中比-2 小的数是-3， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反 而小． 2.计算 6 3a a  的结果是（ ） A. 3a B. 2a C. 3a D. 2a 【答案】C 【解析】 【分析】 2 先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可． 【详解】解： 6 3a a  6 3a a  3.a 故选 C． 【点睛】本题考查的是乘方符号的处理，考查同底数幂的除法运算，掌握以上知识是解题的关键． 3.下列四个几何体中，主视图为三角形的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：主视图是从物体正面看，所得到的图形． A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、球的主视图是圆，不符合题意； C、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意. 故选 A． 考点: 简单几何体的三视图． 4.安徽省计划到 2022 年建成54 700 000 亩高标准农田，其中54 700 000 用科学记数法表示为（ ） A. 0.547 B. 80.547 10 C. 5547 10 D. 75.47 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示方法对数值进行表示即可． 【详解】解：54700000=5.47×107， 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 5.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. 2 1 2x x  B. 2 1=0x  C. 2 2 3x x  D. 2 2 0x x  【答案】A 【解析】 【分析】 3 根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A. 2 1 2x x  变形为 2 2 1 0x x   ，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项 A 正 确； B. 2 1=0x  中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项 B 错误； C. 2 2 3x x  整理为 2 2 3 0x x   ，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D. 2 2 0x x  中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项 D 错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 6.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：11,10,11,13,11, 1315, ．关于 这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是11 B. 平均数是12 C. 方差是18 7 D. 中位数是13 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可． 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15， A．这组数据的众数为 11，此选项正确，不符合题意； B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意； C．这组数据的方差为 2 2 2 21 (10 12) (11 12) 3 (13 12) 2 (15 12)7            =18 7 ，此选项正确，不符 合题意； D．这组数据的中位数为 11，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键． 7.已知一次函数 3y kx  的图象经过点 A ，且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标可以是（ ） A.  1,2 B.  1, 2 C.  2,3 D.  3,4 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据一次函数的增减性判断出 k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可． 【详解】∵一次函数 3y kx  的函数值 y 随 x 的增大而减小， ∴k﹤0， A．当 x=-1，y=2 时，-k+3=2，解得 k=1﹥0，此选项不符合题意； 4 B．当 x=1，y=-2 时，k+3=-2,解得 k=-5﹤0，此选项符合题意； C．当 x=2，y=3 时，2k+3=3，解得 k=0，此选项不符合题意； D．当 x=3，y=4 时，3k+3=4，解得 k= 1 3 ﹥0，此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 8.如图，Rt ABC 中， 90C   ，点 D 在 AC 上， DBC A   ．若 44, 5AC cosA  ，则 BD 的长度 为（ ） A. 9 4 B. 12 5 C. 15 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据 44 5AC cosA ， ，求出 AB=5，再根据勾股定理求出 BC=3，然后根据 DBC A   ，即可得 cos∠DBC=cosA= 4 5 ，即可求出 BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴ cos = ACA AB ， ∵ 44 5AC cosA ， ， ∴AB=5， 根据勾股定理可得 BC= 2 2AB AC =3， ∵ DBC A   ， ∴cos∠DBC=cosA= 4 5 ， ∴cos∠DBC= BC BD = 4 5 ，即 3 BD = 4 5 ∴BD= 15 4 ， 5 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出 BC 的长是解题关键． 9.已知点 , ,A B C 在 O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A. 若半径OB 平分弦 AC ．则四边形OABC 是平行四边形 B. 若四边形 OABC 是平行四边形．则 120ABC   C. 若 120ABC   ．则弦 AC 平分半径 OB D. 若弦 AC 平分半径OB ．则半径 OB 平分弦 AC 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可． 【详解】A．∵半径OB 平分弦 AC ， ∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形 OABC 是平行四边形， 假命题； B．∵四边形OABC 是平行四边形,且 OA=OC, ∴四边形OABC 是菱形， ∴OA=AB=OB，OA∥BC， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠OAB=60º, ∴∠ABC=120º, 真命题； C．∵ 120ABC   ， ∴∠AOC=120º，不能判断出弦 AC 平分半径 OB ， 假命题； D．只有当弦 AC 垂直平分半径 OB 时，半径OB 平分弦 AC ，所以是 假命题， 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性 质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假． 10.如图 ABC 和 DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 ,BC EF 在同一条直线l 上，点C ， E 重 合，现将 ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为 x ， 两个三角形重叠部分的面积为 y ，则 y 随 x 变化的函数图像大致为（ ） 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象可得出重叠部分三角形的边长为 x,根据特殊角三角函数可得高为 3 2 x ,由此得出面积 y 是 x 的二次 函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【 详 解】 C 点 移 动到 F 点 , 重 叠 部分 三 角 形的 边 长 为 x, 由 于 是等 边 三 角形 , 则 高 为 3 2 x , 面 积 为 y=x· 3 2 x · 1 2 = 23 4 x , B 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ( )3 42 x- ,面积为 y=(4－x)· ( )3 42 x- · 1 2 =  23 44 x , 两个三角形重合时面积正好为 3 . 由二次函数图象的性质可判断答案为 A, 故选 A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得 出结论. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11.计算： 9 1 =______. 【答案】2 7 【解析】 【分析】 根据算术平方根的性质即可求解. 【详解】 9 1 =3-1=2. 故填：2. 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的性质. 12.分解因式： 2ab a =______． 【答案】a（b+1）（b﹣1）． 【解析】 【详解】解：原式= 2( 1)a b  =a（b+1）（b﹣1）， 故答案为 a（b+1）（b﹣1）． 13.如图，一次函数  0y x k k   的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B 与反比例函数 ky x  上的图 象在第一象限内交于点 ,C CD x 轴，CE y 轴，垂足分别为点 ,D E ，当矩形ODCE 与 OAB 的面积 相等时， k 的值为__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】 根据题意由反比例函数 k 的几何意义得： ,ODCES k矩形 再求解 ,A B 的坐标及 21 ,2ABOS k 建立方程求解即 可． 【详解】解： 矩形 ODCE ，C 在 ky x  上， ,ODCES k 矩形 把 0x  代入： ,y x k  ,y k   0, ,B k 8 把 0y  代入： ,y x k  ,x k    ,0 ,A k  21 ,2ABOS k  由题意得： 21 ,2 k k 解得： 2, 0k k  （舍去） 2.k  故答案为： 2. 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中 k 的几何意义，一次函数与坐标 轴围成的三角形面积的计算是解题的关键． 14.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使得点 B 落在 CD 上的点 Q 处，折痕为 AP ；再将 ,PCQ ADQ  分别沿 ,PQ AQ 折叠，此时点 ,C D 落在 AP 上的 同一点 R 处．请完成下列探究：  1 PAQ 的大小为__________ ；  2 当四边形 APCD 是平行四边形时 AB QR 的值为__________． 【答案】 (1). 30 (2). 3 【解析】 【分析】 （1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出 AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由 折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可； （2）根据题意得到 DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到 QR=PR 和 QR=AR，结合（1）中结论，设 QR=a，则 AP=2a，由勾股定理表达出 AB=AQ= 2 2 3AP QP a  即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， 9 由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR， ∴∠AQR+∠PQR= 1 ( ) 902 DQR CQR     ，即∠AQP=90°， ∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°， 由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ， ∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°， 故答案为：30； （2）若四边形 APCD 为平行四边形，则 DC∥AP， ∴∠CQP=∠APQ， 由折叠可知：∠CQP=∠PQR， ∴∠APQ=∠PQR， ∴QR=PR， 同理可得：QR=AR，即 R 为 AP 的中点， 由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且 AB=AQ， 设 QR=a，则 AP=2a， ∴QP= 1 2 AP a ， ∴AB=AQ= 2 2 3AP QP a  ， ∴ 3 3AB a QR a   ， 故答案为： 3 ． 【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是 读懂题意，熟悉折叠的性质． 三、解答题 15.解不等式： 2 1 12 x   【答案】 3 2x  【解析】 【分析】 根据解不等式的方法求解即可． 【详解】解： 2 1 12 x   2 1 2x   2 3x  10 3 2x  ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知其解法． 16.如图 1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段 AB ，线段 ,M N 在网格线上，  1 画出线段 AB 关于线段 MN 所在直线对称的线段 1 1A B (点 1 1A B 分别为 ,A B 的对应点)；  2 将线段 1 1B A ，绕点 1B ，顺时针旋转 90 得到线段 1 2B A ，画出线段 1 2B A ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）先找出 A，B 两点关于 MN 对称的点 A1，B1，然后连接 A1B1 即可； （2）根据旋转的定义作图可得线段 B1A2． 【详解】（1）如图所示， 1 1A B 即为所作； （2）如图所示， 1 2B A 即为所作． 【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质． 四、解答题 17.观察以下等式： 第 1 个等式： 1 2 11 23 1 1        第 2 个等式： 3 2 11 24 2 2        11 第 3 个等式： 5 2 11 25 3 3        第 4 个等式： 7 2 11 26 4 4        第 5 个等式： 9 2 11 27 5 5        ······ 按照以上规律．解决下列问题：  1 写出第6个等式____________；  2 写出你猜想的第 n 个等式： (用含 n 的等式表示)，并证明． 【答案】（1）11 2 11 28 6 6        ；（2） 2 1 2 11 22 n n n n          ，证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第 6 个等式为：11 2 11 28 6 6        ； （2） 2 1 2 11 22 n n n n          ， 证明：∵左边= 2 1 2 2 1 2 2 1 11 22 2 n n n n n n n n n n               =右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示 出来． 18.如图，山顶上有一个信号塔 AC ，已知信号塔高 15AC  米，在山脚下点 B 处测得塔底C 的仰角 36.9CBD   ，塔顶 A 的仰角 42ABD   ．求山高 CD (点 , ,A C D 在同一条竖直线上)． (参考数据： 36.9 0.75, 36.9 0.60, 42.0 0.90tan sin tan      ) 12 【答案】75 米 【解析】 【分析】 设山高 CD=x 米，先在 Rt△BCD 中利用三角函数用含 x 的代数式表示出 BD，再在 Rt△ABD 中，利用三角 函数用含 x 的代数式表示出 AD，然后可得关于 x 的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设山高 CD=x 米，则在 Rt△BCD 中， tan CDCBD BD   ，即 tan36.9 x BD   ， ∴ 4 tan36.9 0.75 3 x xBD x   ， 在 Rt△ABD 中， tan ADABD BD   ，即 tan 42 4 3 AD x   ， ∴ 4 4tan 42 0.9 1.23 3AD x x x      ， ∵AD－CD=15， ∴1.2x－x=15，解得：x=75． ∴山高 CD=75 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解 题的关键． 五、解答题 19.某超市有线上和线下两种销售方式．与 2019 年 4 月份相比．该超市 2020 年 4 月份销售总额增长10%, 其 中线上销售额增长 43% ．线下销售额增长 4% ，  1 设 2019 年 4 月份的销售总额为 a 元．线上销售额为 x 元，请用含 ,a x 的代数式表示 2020 年 4 月份的线 下销售额(直接在表格中填写结果)；  2 求 2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值． 【答案】  1  1.04 a x ； 2 1.5 【解析】 【分析】  1 根据增长率的含义可得答案；  2 由题意列方程  1.43 1.04 1.1 ,x a x a   求解 x 即可得到比值． 【详解】解：  1 2020 年线下销售额为  1.04 a x 元， 13 故答案为：  1.04 a x ．  2 由题意得：  1.43 1.04 1.1 ,x a x a   0.39 0.06 ,x a  2 ,13x a   2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值为： 21.43 2 113 1.3 .1.1 13 5 a a     答：2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值为： 1.5 【点睛】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键． 20.如图，AB 是半圆O 的直径， ,C D 是半圆O 上不同于 ,A B 的两点 ,AD BC AC 与 BD 相交于点 ,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E ，  1 求证： CBA DAB ≌ ；  2 若 ,BE BF 求 AC 平分 DAB ． 【答案】  1 证明见解析； 2 证明见解析． 【解析】 【分析】  1 利用 ,AD BC 证明 ,ABD BAC   利用 AB 为直径，证明 90 ,ADB BCA     结合已知条件可 得结论；  2 利用等腰三角形的性质证明： ,EBC FBC   再证明 ,CBF DAF   利用切线的性质与直径所对 的圆周角是直角证明： ,EBC CAB   从而可得答案． 【详解】  1 证明： ,AD BC  ,AD BC  ,ABD BAC   ABQ 为直径， 14 90 ,ADB BCA     ,AB BA CBA DAB ≌ ．  2 证明： , 90 ,BE BF ACB    ,FBC EBC   90 , ,ADC ACB DFA CFB        ,DAF FBC EBC     BE 为半圆O 的切线， 90 , 90 ,ABE ABC EBC        90 ,ACB   90 ,CAB ABC     ,CAB EBC   ,DAF CAB   AC 平分 DAB ． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角， 三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 六、解答题 21.某单位食堂为全体名职工提供了 , , ,A B C D 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机 抽取 240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图 和扇形统计图，部分信息如下：  1 在抽取的 240 人中最喜欢 A 套餐的人数为 ，扇形统计图中“C ”对应扇形的圆心角的大小 为 ；  2 依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢 B 套餐的人数；  3 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 15 【答案】（1）60，108°；（2）336；（3） 1 2 【解析】 【分析】 （1）用最喜欢 A 套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢 C 套餐的人数，然后用最喜欢 C 套餐的人数占总人数的比值乘以 360°即可求出答案； （2）先求出最喜欢 B 套餐的人数对应的百分比，然后乘以 960 即可； （3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率． 【详解】（1）最喜欢 A 套餐的人数=25%×240=60（人）， 最喜欢 C 套餐的人数=240-60-84-24=72（人）， 扇形统计图中“C ”对应扇形的圆心角为：360°× 72 240 =108°， 故答案为：60，108°； （2）最喜欢 B 套餐的人数对应的百分比为： 84 240 ×100%=35%， 估计全体960名职工中最喜欢 B 套餐的人数为：960×35%=336（人）； （3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有 6 种不同的结果，每种结果发生的可能 性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁， 其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁 3 种， 故所求概率 P= 3 6 = 1 2 ． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信 息是解题关键． 七、解答题 22.在平而直角坐标系中，已知点      1,2 . 2,3 . 2,1A B C ，直线 y x m  经过点 A ．抛物线 2 1y ax bx   恰好经过 , ,A B C 三点中的两点．  1 判断点 B 是否在直线 y x m  上．并说明理由；  2 求 ,a b 的值；  3 平移抛物线 2 1y ax bx   ，使其顶点仍在直线 y x m  上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标 的最大值． 【答案】（1）点 B 在直线 y x m  上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3） 5 4 【解析】 【分析】 （1）先将 A 代入 y x m  ，求出直线解析式，然后将将 B 代入看式子能否成立即可； 16 （2）先跟抛物线 2 1y ax bx   与直线 AB 都经过（0，1）点，且 B，C 两点的横坐标相同，判断出抛物 线只能经过 A，C 两点，然后将 A，C 两点坐标代入 2 1y ax bx   得出关于 a，b 的二元一次方程组； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为 y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线 1y x= + 上，得出 k=h+1，令 x=0，得到平移后抛物线与 y 轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值． 【详解】（1）点 B 在直线 y x m  上，理由如下： 将 A（1，2）代入 y x m  得 2 1 m  ， 解得 m=1， ∴直线解析式为 1y x= + ， 将 B（2，3）代入 1y x= + ，式子成立， ∴点 B 在直线 y x m  上； （2）∵抛物线 2 1y ax bx   与直线 AB 都经过（0，1）点，且 B，C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过 A，C 两点， 将 A，C 两点坐标代入 2 1y ax bx   得 1 2 4 2 1 1 a b a b        ， 解得：a=-1，b=2； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为 y=-（x-h）2+k， ∵顶点在直线 1y x= + 上， ∴k=h+1， 令 x=0，得到平移后抛物线与 y 轴交点的纵坐标为-h2+h+1， ∵-h2+h+1=-（h- 1 2 ）2+ 5 4 ， ∴当 h= 1 2 时，此抛物线与 y 轴交点的纵坐标取得最大值 5 4 ． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求 出两个函数的表达式是解题关键． 八、解答题 23.如图 1．已知四边形 ABCD 是矩形．点 E 在 BA 的延长线上． . AE AD EC 与 BD 相交于点G ，与 AD 相交于点 , .F AF AB  1 求证： BD EC ；  2 若 1AB  ，求 AE 的长； 17  3 如图 2，连接 AG ，求证： 2EG DG AG  ． 【答案】（1）见解析；（2） 1 5 2  ；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设 AE=x，利用矩形性质知 AF∥BC，则有 EA AF EB BC  ，进而得到 x 的方程，解之即可； （3）在 EF 上截取 EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG 为 等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF 和△DAB， AE AD EAF DAB AF AB       ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； 18 （2）设 AE=x，则 EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴ EA AF EB BC  ，又 AF=AB=1， ∴ 1 1 x x x  即 2 1 0x x   ， 解得： 1 5 2x  ， 1 5 2x  （舍去） 即 AE= 1 5 2  ； （3）在 EG 上截取 EH=DG，连接 AH， 在△EAH 和△DAG， AE AD HEA GDA EH DG       ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠EAG=90º， ∴△GAH 是等腰直角三角形， ∴ 22 2AH AG GH  即 2 22AG GH ， ∴GH= 2 AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴ 2EG DG AG  ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、 相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信 息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．