长沙市中考数学试题及答案

长沙市中考数学试题及答案

姓名 准考证号 ‎ ‎2016年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；‎ ‎2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；‎ ‎4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;‎ ‎5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；‎ ‎6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分.‎ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共12个小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列四个数中，最大的数是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于年年底通车. 通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长米，则数据用科学记数法表示为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3．下列计算正确的是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．六边形的内角和是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．不等式组的解集在数轴上表示为 ‎ A B C D ‎6．下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 ‎7．若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是 ‎ A B C D ‎10．已知一组数据，，，，，则它的众数和中位数分别为 ‎ ‎ A．， B．， ‎ ‎ C．， D．，‎ ‎11．如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎12．已知抛物线与轴最多有一个交点. 现有以下四个结论：‎ ‎ ① 该抛物线的对称轴在轴左侧； ② 关于的方程无实数根；‎ ‎ ③ ； ④ 的最小值为3. ‎ 其中，正确结论的个数为 ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．分解因式： . ‎ ‎14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .‎ ‎15．如图，扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为 . (结果保留)‎ ‎16．如图，在⊙中，弦，圆心到的距离，则⊙的半径长为 .‎ ‎17．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为 .‎ ‎ ‎ ‎18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 .‎ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．计算：. ‎ ‎20．先化简，再求值：, 其中.‎ ‎21．为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水碧·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种. 为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图：‎ 请根据所给信息解答以下问题： ‎ ‎（1）这次参与调查的居民人数为 ； ‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整； ‎ ‎（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；‎ ‎（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？‎ ‎22．如图，是□的对角线，. ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）若，求□的面积. ‎ ‎ ‎ ‎23．年月日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受. 星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，辆大型渣土运输车与辆小型渣土运输车一次共运输土方吨.‎ ‎（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？‎ ‎（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于吨，且小型渣土运输车至少派出辆，则有哪几种派车方案？‎ ‎24．如图，四边形内接于⊙，对角线为⊙的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接,,.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：是⊙的切线；‎ ‎（3）若，求的值. ‎ ‎25．若抛物线L：(是常数，)与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“一带一路”关系. 此时，直线叫做抛物线的“带线”，抛物线叫做直线的“路线”.‎ ‎（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求,的值； ‎ ‎（2）若某“路线”的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线”的解析式为，求此“路线”的解析式； ‎ ‎（3）当常数满足时，求抛物线L：的“带线”与轴,轴所围成的三角形面积的取值范围. ‎ ‎26．如图，直线l：与x轴，y轴分别交于A, B两点，点P, Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，. ‎ ‎（1）求的周长； ‎ ‎（2）设，试用含t的代数式表示点P的坐标； ‎ ‎（3）当动点P, Q在直线l上运动到使得与的周长相等时，记. 若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：‎ ① ；‎ ‎② 当时，函数y的最大值等于.‎ 求二次项系数a的值. ‎ ‎2016年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A B C B A C B D A D 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13． 14． 15．‎ ‎16． 17． 18．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．解：原式 ……………………………………（6分）‎ ‎20．解：原式 ……………………………………（4分）‎ ‎ 故当 时，原式 ……………………………………（6分）‎ ‎21． 解（1）1000 ……………………………………（2分）‎ ‎（2）见图 ……………………………………（4分）‎ ‎（3） ……………………………………（6分）‎ ‎（4）（人） ……………………………………（8分）‎ ‎22．（1）证：四边形是平行四边形 ‎ ∥‎ ‎，又 ‎ ‎ ‎ ‎ （4分）‎ ‎（2） ‎ ‎ □是菱形 ‎ 连接交于点,则 ‎ ‎ ‎ （8分）‎ ‎23．解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨 由题意可得，解得 答：一辆大型渣土运输车一次运输土方吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方吨.‎ ‎ （4分）‎ ‎（2）解：设渣土运输公司决定派出大型渣土运输车辆，则派出小型渣土运输车辆，‎ 由题意可得 ‎ ‎ 解得，又因为且为整数 所以可取或或 因此有如下三种派车方案：‎ 方案一：派出大型渣土运输车16辆，小型渣土运输车4辆；‎ 方案二：派出大型渣土运输车17辆，小型渣土运输车3辆；‎ 方案三：派出大型渣土运输车18辆，小型渣土运输车2辆. （9分）‎ ‎24． 解（1）对角线为⊙的直径 ‎ …………………（2分）‎ ‎（2）（方法一）连接，在中，点为斜边的中点 在和中 ‎≌‎ ‎ 是⊙的切线 ……………（5分）‎ ‎ ‎ ‎（方法二）证明：连接，‎ 为⊙的直径，‎ ‎ , ‎ 又在中，点为斜边的中点 又 ‎ ‎ ‎ ‎ 是⊙的切线 …………………（5分）‎ ‎（方法三） 证明：连接，‎ ‎,为⊙的直径 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ 又在中，点为斜边的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是⊙的切线 …………………（5分）‎ ‎（3） （方法一）由圆周角定理可得 ‎ 由题中条件可得 ,‎ ‎∽ ………………（6分）‎ ‎ 由于 所以可令 ‎ ‎ 则有 ‎ ‎ 在中,由勾股定理可得 ‎ ‎ 上式两边同时除以并整理后得到 ‎ ‎ 解之可得 或（舍去） …………………（8分）‎ ‎ …………………（9分）‎ ‎ （方法二）设，，‎ 易证∽ ∴‎ ‎ 即 ‎ 解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（方法三）设，，则 ‎，，‎ ‎∴，‎ 在中 ‎∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴或（舍去） ∴‎ ‎25．解 （1）由题意可知：与轴的交点在抛物线上 ‎ 所以 从而的顶点又 在直线上，故 ‎ 所以 …………………（3分）‎ ‎（2）由题意可知：抛物线的“带线”就是直线,点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点,‎ ‎（方法一）顶点就是“带线” 与反比例函数 的图象的交点，‎ 联立 解得 或者 从而所求的“路线”的解析式为 或者 又由题意可得点在它的图象上，代入可分别求得 ‎ 故所求的“路线”的解析式为 ‎ 或者 …………（6分）‎ ‎（方法二）设“路线”的表达式为 ‎ ‎ 易求得点，点，设它的“带线”的解析式为 ‎ 将点，点的坐标依次代入可得 ‎ 从而 ‎ 所以“带线”的解析式为 比较题中所给的解析式可得 ‎ 从而由点在反比例函数的图象上 ‎ 可得 解之得 ‎ ‎ 故此二次函数的解析式为 或 …………（6分）‎ ‎（3）（方法一）由（2）的方法二可知 二次函数 的“带线”的解析式为，‎ 设它与轴的交点为点，易求得点，点 所以“带线”与轴,轴所围成的三角形面积 ‎ …………………（7分）‎ 从而由题意可知 函数的“带线”与轴,轴所围成的三角形面积 ，显然 …………………（8分）‎ 所以 ‎ 令 由于 所以 结合二次函数的图象可得 ‎ 故 为所求 …………………（10分）‎ ‎（方法二）抛物线的顶点 设“带线”，‎ 解得 …………………（7分）‎ 当时，；当时，；‎ ‎ …………………（8分）‎ 令 由于 所以 结合二次函数的图象可得 ‎ 故 为所求 …………………（10分）‎ ‎26．解: （1）易求得 所以的周长为 ‎ …………………（3分）‎ ‎ （2）由题意可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ∽ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，所以 过点分别作轴,轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，容易求得点的坐标为 ‎ …………………（6分）‎ ‎（3）首先由第（2）问可知必有∽ 得到 ‎ 当动点在直线上运动到使得与的周长相等时，‎ 从而必有 与全等，则有从而 此时易求得 ‎ ‎ 也就是 ‎ 由于该二次函数经过点, 所以 又因为 , 从而 所以二次函数的对称轴为直线 ‎ 设二次函数与轴相交得到的另一个交点为，‎ 由抛物线的对称性可得点 所以可设抛物线为 ‎ ‎①当时,,由图象可得：当时，函数值取得最大值 ‎ 由 解得 ‎②当时,,由图象可得：当时，函数值取得最大值 ‎ 由 解得 综上所述 或 （10分）‎