广东省广州市天河区高考数学一模试卷文科

广东省广州市天河区高考数学一模试卷文科

‎2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则A∩B＝（　　）‎ A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（　　）‎ A．x1，x2，…xn的平均数 B．x1，x2，…xn的标准差 ‎ C．x1，x2，…xn的最大值 D．x1，x2，…xn的中位数 ‎3．（5分）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（　　）‎ A． B．13 C．10 D．‎ ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（　　）‎ A．18 B．36 C．45 D．60‎ ‎5．（5分）已知cos（θ+）＝，＜θ＜，则sin2θ的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎7．（5分）三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（　　）‎ ‎（参考数据≈1.732，≈1.414）‎ A．130 B．134 C．138 D．142‎ ‎8．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝1nx3，则正确的是（　　）‎ A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2‎ ‎9．（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（　　）‎ A．a B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f（x）的单调递增区间是（　　）‎ A．（2k﹣，2k+），k∈Z ‎ B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈Z ‎ C．（4k﹣，4k+），k∈Z ‎ D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z ‎11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（　　）‎ A．a（1+r）17 B．[（1+r）17﹣（1+r）] ‎ C．a（1+r）18 D．[（1+r）18﹣（1+r）]‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）＝（k+）lnx+，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（　　）‎ A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[） D．（）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（m，1）．若向量（﹣2）∥，则m＝　 　．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝1+a1+…+an﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，an＝　 　．‎ ‎15．（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为52π，AB＝1，若△ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r1＝1，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎18．（12分）在等比数列{an}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当取最大值时，求n的值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且﹣2sin2C+2cosC+3＝0．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若b＝a，△ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．E、H分别为PA、AB的中点．‎ ‎（1）求证：PH⊥AC；‎ ‎（2）求点P到平面DEH的距离．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝+x，m∈R，F（x）＝f（x）+g（x）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；‎ ‎（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．‎ ‎（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则A∩B＝（　　）‎ A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{1，2，3}‎ ‎【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，‎ 解得：x＜0或x＞2，即B＝{x|x＜0或x＞2}，‎ ‎∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，3}，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（　　）‎ A．x1，x2，…xn的平均数 B．x1，x2，…xn的标准差 ‎ C．x1，x2，…xn的最大值 D．x1，x2，…xn的中位数 ‎【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．‎ ‎【解答】解：表示一组数据x1，x2，…xn的稳定程度是方差或标准差．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．‎ ‎3．（5分）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（　　）‎ A． B．13 C．10 D．‎ ‎【分析】把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．‎ ‎【解答】解：由＝．‎ 因为复数为纯虚数，所以，解得a＝2．‎ 所以|3﹣ai|＝|3﹣2i|＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．‎ ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（　　）‎ A．18 B．36 C．45 D．60‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式知a2+a8＝15﹣a5⇒a5＝5，再由等差数列的前n项和公式知S9＝×2a5．‎ ‎【解答】解：∵a2+a8＝15﹣a5，‎ ‎∴a5＝5，‎ ‎∴S9＝×2a5＝45．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．‎ ‎5．（5分）已知cos（θ+）＝，＜θ＜，则sin2θ的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知利用诱导公式可求sinθ，根据同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵cos（θ+）＝﹣sinθ＝，‎ ‎∴sinθ＝﹣，‎ ‎∵＜θ＜，‎ ‎∴cosθ＝﹣＝﹣，‎ ‎∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（﹣）×（﹣）＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎6．（5分）若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得出结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：‎ 由图可知，z＝y﹣2x在x+y＝1与x轴的交点（1，0）处取得最小值，即z＝0﹣2＝﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划，求最值问题，属于基础题．‎ ‎7．（5分）三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（　　）‎ ‎（参考数据≈1.732，≈1.414）‎ A．130 B．134 C．138 D．142‎ ‎【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设勾为a，则股为，∴弦为2a，‎ 则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为＝（）a2，‎ 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．‎ ‎∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．‎ ‎8．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝1nx3，则正确的是（　　）‎ A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2‎ ‎【分析】可以看出lnx3＞0，从而得出x3＞1，又可看出，从而得出x1，x2，x3的大小关系．‎ ‎【解答】解：∵e﹣x＞0；‎ ‎∴lnx3＞0；‎ ‎∴x3＞1；‎ 又；‎ ‎∴x1＜x2＜x3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查指数函数的值域，对数函数和指数函数的单调性．‎ ‎9．（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（　　）‎ A．a B． C． D．‎ ‎【分析】设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点，根据面面平行的判定定理，可得平面A1BGE∥平面B1HI，结合已知中B1F∥面A1BE，可得F落在线段HI上，则答案可求．‎ ‎【解答】解：设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点 则ABEG四点共面，‎ 且平面A1BGE∥平面B1HI 又∵B1F∥面A1BE，‎ ‎∴F落在线段HI上，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为a，‎ ‎∴HI＝．‎ 即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定，其中分析出F落在线段HI上是解答本题的关键，是中档题．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f（x）的单调递增区间是（　　）‎ A．（2k﹣，2k+），k∈Z ‎ B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈Z ‎ C．（4k﹣，4k+），k∈Z ‎ D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z ‎【分析】由题意可得+＝42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），‎ A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，‎ ‎∴+＝42，即12+＝16，求得ω＝．‎ 再根据•+φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝﹣，∴f（x）＝sin（x﹣）．‎ 令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4k﹣≤x≤4k+，‎ 故f（x）的单调递增区间为（4k﹣，4k+），k∈Z，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．‎ ‎11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（　　）‎ A．a（1+r）17 B．[（1+r）17﹣（1+r）] ‎ C．a（1+r）18 D．[（1+r）18﹣（1+r）]‎ ‎【分析】根据题意，依次分析孩子在1周岁时、2周岁时、……17周岁时存入的a元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）17+……+a（1+r），由等比数列的前n项和公式分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，‎ 当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，‎ 同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，‎ 孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，‎ ‎……‎ 孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），‎ 可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，‎ 此时将存款（含利息）全部取回，‎ 则取回的钱的总数S＝a（1+r）17+a（1+r）17+……+a（1+r）＝＝[（1+r）18﹣（1+r）]；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查数列的应用，涉及等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）＝（k+）lnx+，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（　　）‎ A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[） D．（）‎ ‎【分析】求得f（x）的导数f′（x），由题意可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1‎ ‎≠x2），化为4（x1+x2）＝（k+）x1x2，因此x1+x2＞对k∈[1，+∞）都成立，令g（k）＝k+，k∈[1，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝（k+）lnx+，导数f′（x）＝（k+）•﹣﹣1．‎ 由题意可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．‎ 即有﹣﹣1＝﹣﹣1，‎ 化为4（x1+x2）＝（k+）x1x2，‎ 而x1x2＜（）2，‎ ‎∴4（x1+x2）＜（k+）（）2，‎ 化为x1+x2＞对k∈[1，+∞）都成立，‎ 令g（k）＝k+，k∈[1，+∞），‎ 由k+≥2＝4，当且仅当k＝2取得等号，‎ ‎∴≤4，‎ ‎∴x1+x2＞4，即x1+x2的取值范围是（4，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（m，1）．若向量（﹣2）∥，则m＝　　．‎ ‎【分析】根据（﹣2）∥，可得方程﹣4m＝3﹣2m，解方程可得m的值．‎ ‎【解答】解：∵向量＝（3，﹣2），＝（m，1），‎ ‎∴，‎ ‎∵（﹣2）∥，∴﹣4m＝3﹣2m，‎ ‎∴m＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的坐标运算和向量平行，考查方程思想和计算能力，属基础题．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝1+a1+…+an﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，an＝　2n﹣1　．‎ ‎【分析】根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1＝1，‎ an＝1+a1+…+an﹣1 （n∈N*，n≥2），‎ 则a1＝1＝20，‎ a2＝2＝21，‎ a3＝4＝22，‎ ‎，…‎ 由此可得当n≥1时，．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了用归纳法求数列的通项公式，关键是能够根据数列的前几项分析规律，并大胆猜想，属于基础题．‎ ‎15．（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为　　．‎ ‎【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ＝cos（∠ACB+45°）展开求出cosθ的值．‎ ‎【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB＝30，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos135°＝3400，‎ 所以BC＝10．‎ 由正弦定理得sin∠ACB＝•sin∠BAC＝．‎ 由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝．‎ 故cosθ＝cos（∠ACB+45°）＝cos∠ACBcos45°﹣sin∠ACBsin45°＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．‎ ‎16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为52π，AB＝1，若△ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r1＝1，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为　6　．‎ ‎【分析】由题意可得，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，∵△ABC外接圆的圆心O1在AC上，‎ ‎∴O1 为AC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，‎ 由半径r1＝1，得AC＝2，又AB＝1，∴BC＝．‎ 把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补形为长方体，设BB1＝x，‎ 则其外接球的半径R＝．‎ 又直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为52π，‎ ‎∴4πR2＝52π，即R＝．‎ ‎∴R＝＝，解得x＝4．‎ ‎∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，是中档题．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图．‎ ‎（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分．‎ ‎（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n＝＝10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：‎ ‎1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．‎ 完成频率分布直方图如下：‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：‎ ‎70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×‎ ‎0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．‎ ‎（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2人，‎ 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，‎ 基本事件总数n＝＝10，‎ 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝＝4，‎ ‎∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p＝＝．‎ ‎【点评】本题考查频率、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．（12分）在等比数列{an}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当取最大值时，求n的值．‎ ‎【分析】（1）由条件判断an＞0，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得bn＝log2an＝log224﹣n＝4﹣n，可得Sn＝，＝，再由等差数列的求和公式和配方法，可得所求最大值时的n的值．‎ ‎【解答】解：（1）a1a3+2a2a4+a3a5＝25，‎ 可得a22+2a2a4+a42＝（a2+a4）2＝25，‎ 由a3＝2，即a1q2＝2，①，可得a1＞0，由0＜q＜1，可得an＞0，‎ 可得a2+a4＝5，即a1q+a1q3＝5，②‎ 由①②解得q＝（2舍去），a1＝8，‎ 则an＝8•（）n﹣1＝24﹣n；‎ ‎（2）bn＝log2an＝log224﹣n＝4﹣n，‎ 可得Sn＝n（3+4﹣n）＝，‎ ‎＝，‎ 则＝3++…+‎ ‎＝n（3+）＝＝﹣（n﹣）2+，‎ 可得n＝6或7时，取最大值．‎ 则n的值为6或7．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，同时考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且﹣2sin2C+2cosC+3＝0．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若b＝a，△ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理和已知等式，化简可求得cosC的值，进而求C．‎ ‎（2）利用余弦定理可求得c与a的关系，进而求得sinC，然后利用三角形面积公式和已知等式求得c．‎ ‎【解答】解：（1）∵﹣2sin2C+2cosC+3＝0，可得：﹣2（1﹣cos2C）+2cosC+3＝0，‎ ‎∴2cos2C+2cosC+1＝0，‎ ‎∴cosC＝﹣，∵0＜C＜π，‎ ‎∴C＝．‎ ‎（2）∵c2＝a2+b2﹣2abcosC＝3a2+2a2＝5a2，‎ ‎∴c＝a，‎ ‎∴sinC＝sinA，‎ ‎∴sinA＝sinC＝，‎ ‎∵S△ABC＝absinC＝sinAsinB，‎ ‎∴absinC＝sinAsinB，‎ ‎∴••sinC＝（）2sinC＝，‎ ‎∴c＝＝1．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形的问题中应灵活运用余弦和正弦定理实现边角的转化，属于中档题．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．E、H分别为PA、AB的中点．‎ ‎（1）求证：PH⊥AC；‎ ‎（2）求点P到平面DEH的距离．‎ ‎【分析】（1）推导出PB＝AB＝2，BC⊥PB，BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，进而面PAB⊥面ABCD，PH⊥AB，PH⊥平面ABCD，由此能证明PH⊥AC．‎ ‎（Ⅱ） 取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面DEH的距离．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵PAB为正三角形，AB＝2，‎ ‎∴PB＝AB＝2，‎ ‎∵BC＝，PC＝，∴PC2＝BC2+PB2‎ ‎∴根据勾股定理得BC⊥PB，‎ ‎∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，‎ ‎∵PB，AB⊂面PAB且交于点B，∴BC⊥面PAB，‎ ‎∵BC⊂面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，‎ ‎∵H为AB的中点，PAB为正三角形，‎ ‎∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，‎ ‎∵AC⊂平面ABCD，∴PH⊥AC．‎ ‎（Ⅱ） 解：取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，），D（1，，0），A（1，0，0），E（），H（0，0，0），‎ ‎＝（1，，0），＝（），＝（0，0，），‎ 设平面DEH的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得＝（﹣，1，），‎ ‎∴点P到平面DEH的距离d＝＝＝．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝+x，m∈R，F（x）＝f（x）+g（x）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；‎ ‎（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．‎ ‎【分析】（1）求导后，根据m取值的情况分类讨论；‎ ‎（2）利用分离参数法，利用函数的最大值进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣2mx＝，‎ ‎①当m≤0时f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值，‎ ‎②当m＞0时令f′（x）＞0，∴0＜x＜，‎ 令f′（x）＜0，∴x＞，‎ 所以函数f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，‎ 所以当x＝时，有极大值，极大值为﹣（ln2m+1），无极小值，‎ ‎（2）：由F（x）≤mx﹣1恒成立知m≥恒成立，‎ 令h（x）＝，‎ 则h′（x）＝，‎ 令φ（x）＝2lnx+x，因为φ（）＝﹣ln4＜0，φ（1）＝1＞0，则φ（x）为增函数．‎ 故存在x0∈（，1），使φ（x0）＝0，即2lnx0﹣x0＝0，‎ 当0＜x＜x0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．‎ 所以h（x）max＝h（x0）＝＝，‎ 而x0∈（，1），所以∈（1，2），所以整数m的最小值为2．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数不等式问题，属于高档题目，有一定难度．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．‎ ‎【分析】（1）由x2+y2＝（cosα+sinα）2+（sinα﹣cosα）2＝4可得曲线C 的直角坐标方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）根据参数t的几何意义可得．‎ ‎【解答】解：（1）由x2+y2＝（cosα+sinα）2+（sinα﹣cosα）2＝4，‎ 得曲线C：x2+y2＝4．‎ 直线l的极坐标方程展开为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，‎ 故l的直角坐标方程为．‎ ‎（2）显然P的坐标为（0，﹣4），不妨设过点P的直线方程为（t为参数），‎ 代入C：x2+y2＝4得t2﹣8tsinα+12＝0，设A，B对应的参数为t1，t2‎ 所以|PA|•|PB|＝|t1t2|＝12为定值．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+m|（m∈R）．‎ ‎（1）若m＝2时，解不等式f（x）≤3；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．‎ ‎（2）已知条件转化为即|2x+m|≤2﹣x，即﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，即可求解实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若m＝2时，|x﹣1|+|2x+2|≤3，‎ 当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x+1﹣2x﹣2≤3解得x≥﹣，所以，‎ 当﹣1＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x+2≤3得x≤0，所以﹣1＜x≤0，‎ 当x≥1时，原不等式可化为x﹣1+2x+2≤3解得x≤，所以x∈Φ，‎ 综上述：不等式的解集为；‎ ‎（2）当x∈[0，1]时，由f（x）≤|2x﹣3|得1﹣x+|2x+m|≤3﹣2x，‎ 即|2x+m|≤2﹣x，‎ 故x﹣2≤2x+m≤2﹣x得﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，‎ 又由题意知：（﹣x﹣2）min≤m≤（2﹣3x）max，‎ 即﹣3≤m≤2，‎ 故m的范围为[﹣3，2]．‎ ‎【点评】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/9/30 22:05:28；用户：高中数学；邮箱：18616610624；学号：30206440‎