高考数学专题复习：课时达标检测(五十五) 二项式定理

高考数学专题复习：课时达标检测(五十五) 二项式定理

课时达标检测(五十五) 二项式定理 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是(　　)‎ A．28 B．‎56 C．112 D．224‎ 解析：选C　通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令8－r＝6，得r＝2，即T3＝‎22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112.‎ ‎2．若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．‎10 C．12 D．15‎ 解析：选C　由二项式n展开式的第5项C()n－44＝‎16Cx－6是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.‎ ‎3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　)‎ A．30 B．‎20 C．15 D．10‎ 解析：选C　由题意可知x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数即为(1＋x)6的展开式中的x2项的系数，(1＋x)6的展开式中的x2项为Cx2，所以含x3项的系数为C＝15.‎ ‎4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为(　　)‎ A．1 B．‎129 C．128 D．127‎ 解析：选B　令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128；令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.‎ ‎5．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－210 B．‎210 C．30 D．－30‎ 解析：选A　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210，故选A.‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．二项式10的展开式中的常数项是(　　)‎ A．180 B．‎90 C．45 D．360‎ 解析：选A　10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－kk＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为‎22C＝180.‎ ‎2.(1－)4的展开式中x的系数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．12‎ 解析：选C　根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－)4展开式中的常数项乘中的x以及(1－)4展开式中的含x2的项乘中的两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.‎ ‎3．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)‎ A．1或3 B．－‎3 C．1 D．1或－3‎ 解析：选D　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.‎ ‎4．(2017·成都一中模拟)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)‎ A．－2 B．－‎1 C．1 D．2‎ 解析：选A　令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.‎ ‎5．(2017·银川质检)若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋＋＋…＋＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C. D．12‎ 解析：选A　令t＝x＋1，则x＝t－1，从而(2t－1)11＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11，而′＝a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c′，即＝a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c，令t＝0，得c＝，令t＝1，得a0＋＋＋…＋＝0.‎ ‎6．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝(　　)‎ A．1 240 B．1 ‎289 C．600 D．880‎ 解析：选B　(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，(2＋y)4的展开式中，yn的系数为C24－n，则f(m，n)＝C·C·24－n，从而f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝C·C· 24＋C·C·23＋C·C·22＋C· C·21＋C·C·20＝1 289.‎ 二、填空题 ‎7.6的展开式的第二项的系数为－，则－2x2dx的值为________．‎ 解析：该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此－2x2dx＝x2dx＝＝－＋＝.‎ 答案： ‎8．若n展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x的一次项的系数为________．‎ 解析：Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，‎ 因为展开式的各项系数绝对值之和为 C＋|(－3)‎1C|＋(－3)‎2C＋|(－3)‎3C|＋…＋|(－3)nC|＝1 024，‎ 所以(1＋3)n＝1 024，解得n＝5，令＝1，解得r＝1，‎ 所以展开式中x的一次项的系数为(－3)‎1C＝－15.‎ 答案：－15‎ ‎9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．‎ 解析：展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.‎ 答案：－121‎ ‎10．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.‎ 答案：10‎ 三、解答题 ‎11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，‎ 则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|‎ ‎＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)‎ ‎＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ ‎12．已知在n的展开式中，第6项为常数项．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项．‎ 解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－ ‎＝Ckx.‎ 因为第6项为常数项，‎ 所以k＝5时，＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得k＝2，‎ 故含x2的项的系数是C2＝.‎ ‎(3)根据通项公式，由题意 令＝r(r∈Z)，‎ 则10－2k＝3r，k＝5－r，‎ ‎∵k∈N，∴r应为偶数，‎ ‎∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，‎ ‎∴第3项，第6项与第9项为有理项，‎ 它们分别为C2x2，C5，C8x－2. ‎