高考数学专题复习:课时达标检测(五十五) 二项式定理

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高考数学专题复习:课时达标检测(五十五) 二项式定理

课时达标检测(五十五) 二项式定理 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1.(x+2)8的展开式中x6的系数是(  )‎ A.28 B.‎56 C.112 D.224‎ 解析:选C 通项为Tr+1=Cx8-r2r=2rCx8-r,令8-r=6,得r=2,即T3=‎22Cx6=112x6,所以x6的系数是112.‎ ‎2.若二项式n展开式中的第5项是常数,则自然数n的值为(  )‎ A.6 B.‎10 C.12 D.15‎ 解析:选C 由二项式n展开式的第5项C()n-44=‎16Cx-6是常数项,可得-6=0,解得n=12.‎ ‎3.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是(  )‎ A.30 B.‎20 C.15 D.10‎ 解析:选C 由题意可知x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数即为(1+x)6的展开式中的x2项的系数,(1+x)6的展开式中的x2项为Cx2,所以含x3项的系数为C=15.‎ ‎4.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为(  )‎ A.1 B.‎129 C.128 D.127‎ 解析:选B 令x=1得a0+a1+…+a7=27=128;令x=0得a0=(-1)7=-1,所以a1+a2+a3+…+a7=129.‎ ‎5.(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为(  )‎ A.-210 B.‎210 C.30 D.-30‎ 解析:选A (x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10=C(x2)10-C(x2)9(x-1)+…-Cx2(x-1)9+C(x-1)10,所以含x3项的系数为:-CC+C(-C)=-210,故选A.‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.二项式10的展开式中的常数项是(  )‎ A.180 B.‎90 C.45 D.360‎ 解析:选A 10的展开式的通项为Tk+1=C·()10-kk=2kCx5-k,令5-k=0,得k=2,故常数项为‎22C=180.‎ ‎2.(1-)4的展开式中x的系数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.12‎ 解析:选C 根据题意,所给式子的展开式中含x的项有(1-)4展开式中的常数项乘中的x以及(1-)4展开式中的含x2的项乘中的两部分,所以所求系数为1×2+1=3,故选C.‎ ‎3.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为(  )‎ A.1或3 B.-‎3 C.1 D.1或-3‎ 解析:选D 令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.‎ ‎4.(2017·成都一中模拟)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(  )‎ A.-2 B.-‎1 C.1 D.2‎ 解析:选A 令等式中x=-1可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故选A.‎ ‎5.(2017·银川质检)若(2x+1)11=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a11(x+1)11,则a0+++…+=(  )‎ A.0 B.‎1 C. D.12‎ 解析:选A 令t=x+1,则x=t-1,从而(2t-1)11=a0+a1t+a2t2+…+a11t11,而′=a0t+t2+t3+…+t12+c′,即=a0t+t2+t3+…+t12+c,令t=0,得c=,令t=1,得a0+++…+=0.‎ ‎6.在(1+x)6(2+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(4,0)+f(3,1)+f(2,2)+f(1,3)+f(0,4)=(  )‎ A.1 240 B.1 ‎289 C.600 D.880‎ 解析:选B (1+x)6的展开式中,xm的系数为C,(2+y)4的展开式中,yn的系数为C24-n,则f(m,n)=C·C·24-n,从而f(4,0)+f(3,1)+f(2,2)+f(1,3)+f(0,4)=C·C· 24+C·C·23+C·C·22+C· C·21+C·C·20=1 289.‎ 二、填空题 ‎7.6的展开式的第二项的系数为-,则-2x2dx的值为________.‎ 解析:该二项展开式的第二项的系数为Ca5,由Ca5=-,解得a=-1,因此-2x2dx=x2dx==-+=.‎ 答案: ‎8.若n展开式的各项系数的绝对值之和为1 024,则展开式中x的一次项的系数为________.‎ 解析:Tr+1=C()n-rr=(-3)r·Cx,‎ 因为展开式的各项系数绝对值之和为 C+|(-3)‎1C|+(-3)‎2C+|(-3)‎3C|+…+|(-3)nC|=1 024,‎ 所以(1+3)n=1 024,解得n=5,令=1,解得r=1,‎ 所以展开式中x的一次项的系数为(-3)‎1C=-15.‎ 答案:-15‎ ‎9.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是________.‎ 解析:展开式中含x3项的系数为C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3=-121.‎ 答案:-121‎ ‎10.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.‎ 解析:不妨设1+x=t,则x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,则a3=C(-1)2=10.‎ 答案:10‎ 三、解答题 ‎11.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:‎ ‎(1)a1+a2+…+a7;‎ ‎(2)a1+a3+a5+a7;‎ ‎(3)a0+a2+a4+a6;‎ ‎(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.‎ 解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①‎ 令x=-1,‎ 则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②‎ ‎(1)∵a0=C=1,‎ ‎∴a1+a2+a3+…+a7=-2.‎ ‎(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094.‎ ‎(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093.‎ ‎(4)∵(1-2x)7展开式中a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,‎ ‎∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|‎ ‎=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)‎ ‎=1 093-(-1 094)=2 187.‎ ‎12.已知在n的展开式中,第6项为常数项.‎ ‎(1)求n;‎ ‎(2)求含x2的项的系数;‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项.‎ 解:(1)通项公式为Tk+1=Cxkx- ‎=Ckx.‎ 因为第6项为常数项,‎ 所以k=5时,=0,即n=10.‎ ‎(2)令=2,得k=2,‎ 故含x2的项的系数是C2=.‎ ‎(3)根据通项公式,由题意 令=r(r∈Z),‎ 则10-2k=3r,k=5-r,‎ ‎∵k∈N,∴r应为偶数,‎ ‎∴r可取2,0,-2,即k可取2,5,8,‎ ‎∴第3项,第6项与第9项为有理项,‎ 它们分别为C2x2,C5,C8x-2. ‎
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