高考数学专题复习练习：第二章 2_7描点法作图

高考数学专题复习练习：第二章 2_7描点法作图

‎1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．‎ ‎2．图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x)y＝af(x)．‎ ‎(4)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．函数对称的重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎2．函数图象平移变换八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)‎ ‎(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)‎ A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 答案　C 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.‎ ‎2．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为(　　)‎ 答案　D 解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x>0时，f(x)＝2x2‎ ‎－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.‎ ‎3．(2016·岳阳模拟)已知函数则y＝f(2－x)的大致图象是(　　)‎ 答案　A 解析　∵函数 则 故函数f(2－x)是以x＝1为界的分段函数，只有A符合，故选A.‎ ‎4．函数y＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.‎ 答案　0‎ 解析　由图象的对称性知f(x)在[－2,2]上为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.‎ ‎5．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(0,1]‎ 解析　当x≤0时，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.‎ 题型一　作函数的图象 例1　作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝()|x|；‎ ‎(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)作出y＝()x的图象，保留y＝()x的图象中x≥0的部分，加上y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分．‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.‎ ‎(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.‎ 思维升华　图象变换法作函数的图象 ‎(1)‎ 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．‎ ‎(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．‎ ‎　作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝|x－2|·(x＋1)；‎ ‎(2)y＝.‎ 解　(1)当x≥2，即x－2≥0时，‎ y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝(x－)2－；‎ 当x<2，即x－2<0时，‎ y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋.‎ ‎∴y＝ 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．‎ ‎(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．‎ 题型二　识图与辨图 例2　(1)(2016·邯郸模拟)函数f(x)＝2x－tan x在(－，)上的图象大致为(　　)‎ ‎(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)f(x)＝2x－tan x是奇函数，其图象关于原点成中心对称，又f()＝－tan ＝－1>0，故选D.‎ ‎(2)方法一　由y＝f(x)的图象知，‎ f(x)＝ 当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，‎ 所以f(2－x)＝ 故y＝－f(2－x)＝图象应为B.‎ 方法二　当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；‎ 当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.‎ 观察各选项，可知应选B.‎ 思维升华　函数图象的识辨可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎　(1)(2016·武汉模拟)函数y＝的图象大致为(　　)‎ ‎(2)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)y＝＝1＋为奇函数且x＝0时函数无意义，可排除C、D，又在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，故选A.‎ ‎(2)当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，‎ 在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tan x，‎ 在Rt△PAB中，PA＝＝，‎ 则f(x)＝PA＋PB＝＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；‎ 当点P与点C重合，即x＝时，‎ 由上得f＝ ＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝PA＋PB＝＋＝2，知f＜f，所以排除D.故选B.‎ 题型三　函数图象的应用 命题点1　研究函数的性质 例3　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝2 D．x＝－2‎ 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，‎ 观察图象可知，‎ 函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎(2)因为f(2x＋1)是偶函数，‎ 所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，‎ 所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.‎ 命题点2　解不等式 例4　函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．‎ 答案　(－3,0)∪(0,3)‎ 解析　∵f(x)为奇函数，‎ ‎∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，‎ 结合图象知x的范围为(－3,0)∪(0,3)．‎ 命题点3　求解函数零点问题 例5　(2016·山东)已知函数f(x)＝ 其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．‎ 答案　(3，＋∞)‎ 解析　如图，‎ 当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)上为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.‎ 思维升华　(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．‎ ‎(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)0时，f(x)>0，∴2－m>0，‎ 即m<2，函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，‎ ‎∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，‎ f′(x)＝＝>0，‎ ‎∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，‎ ‎∴(x2－m)max<0，∴m>1，‎ 综上所述，10，排除D，‎ 故选A.‎ 方法二　∵f′(x)＝2＋cos x>0，‎ ‎∴f(x)为增函数，故选A.‎ ‎2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1‎ C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1‎ 答案　D 解析　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.‎ ‎3．已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0‎ C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0‎ 答案　D 解析　函数f(x)的图象如图所示，‎ 且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．‎ 又0<|x1|<|x2|，‎ ‎∴f(x2)>f(x1)，‎ 即f(x1)－f(x2)<0.‎ ‎4．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ 答案　D 解析　如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.‎ ‎5．已知函数f(x)＝e|ln x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)‎ 答案　D 解析　当x≥1时，f(x)＝eln x＝x，其图象为一条直线；当02(由于a4.‎ ‎9.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________．‎ 答案　f(x)＝ 解析　当－1≤x≤0时，设函数f(x)的解析式为y＝kx＋b，‎ 则得 ‎∴y＝x＋1.‎ 当x>0时，设函数f(x)的解析式为y＝a(x－2)2－1，‎ ‎∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，解得a＝.‎ ‎∴y＝(x－2)2－1.‎ 综上，f(x)＝ ‎*10.已知函数 g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________________．‎ 答案　(－∞，]∪[，＋∞)‎ 解析　对任意的x1，x2∈R，‎ 都有f(x1)≤g(x2)成立，‎ 即f(x)max≤g(x)min，‎ 观察的图象可知，‎ 当x＝时，‎ 函数f(x)max＝；‎ 因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，‎ 所以g(x)min＝|k－1|，‎ 所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.‎ 故实数k的取值范围是(－∞，]∪[，＋∞)．‎ ‎11．已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？‎ ‎(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，‎ 画出F(x)的图象如图所示，‎ 由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；‎ 当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝(t＋)2－在区间(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，‎ 应有m≤0，‎ 即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎