高考数学专题复习练习第4讲 基本不等式
第 4 讲 基本不等式
一、选择题
1．若 x＞0，则 x＋4
x
的最小值为( )．
A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析 ∵x＞0，∴x＋4
x
≥4.
答案 D
2．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1
a
＋4
b
的最小值是( )．
A.7
2
B．4 C.9
2
D．5
解析 依题意得1
a
＋4
b
＝1
2
1
a
＋4
b (a＋b)＝1
2
5＋
b
a
＋4a
b ≥1
2
5＋2 b
a
×4a
b ＝
9
2
，当且仅当
a＋b＝2
b
a
＝4a
b
a＞0，b＞0
，即 a＝2
3
，
b＝4
3
时取等号，即1
a
＋4
b
的最小值是9
2
.
答案 C
3．小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a
a2－a2
a＋b
＝0，∴v>a.
答案 A
4．若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( )．
A.1
a
＋1
b
有最大值 4 B．ab 有最小值1
4
C. a＋ b有最大值 2 D．a2＋b2 有最小值 2
2
解析 由基本不等式，得 ab≤a2＋b2
2 ＝ a＋b 2－2ab
2 ，所以 ab≤1
4，故 B 错；
1
a
＋1
b
＝a＋b
ab
＝ 1
ab
≥4，故 A 错；由基本不等式得 a＋ b
2
≤ a＋b
2
＝ 1
2
，
即 a＋ b≤ 2，故 C 正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×1
4
＝1
2
，
故 D 错．
答案 C
5．已知 x>0，y>0，且2
x
＋1
y
＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范
围是 ( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0 且2
x
＋1
y
＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)
2
x
＋1
y ＝4＋4y
x
＋x
y
≥4＋2 4y
x ·x
y
＝8，当且仅当4y
x
＝x
y
，
即 x＝4，y＝2 时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2＋2m 恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m 恒成立，
即 8>m2＋2m，解得－40)，l1 与函数 y＝|log2x|的图象从
左至右相交于点 A，B，l2 与函数 y＝|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D.
记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b.当 m 变化时，b
a
的最小值
为 ( )．
A．16 2 B．8 2 C．83 4 D．43 4
解析 如图，作出 y＝|log2x|的图象，由图
可知 A，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B，
D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且
xC－xA 与 xB－xD 同号，所以b
a
＝xB－xD
xC－xA
，
根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以 xA＝2－m.同理可得 xC＝2－ 8
2m＋1
，
xB＝2m，xD＝2 8
2m＋1
，所以b
a
＝
2m－2 8
2m＋1
2－ 8
2m＋1
－2－m
＝
2m－2 8
2m＋1
1
2 8
2m＋1
－ 1
2m
＝
2m－2 8
2m＋1
2m－2 8
2m＋1
2m·2 8
2m＋1
＝
2 8
2m＋1
＋m，由于 8
2m＋1
＋m＝ 8
2m＋1
＋2m＋1
2
－1
2
≥4－1
2
＝7
2
，当且仅当 8
2m＋1
＝2m＋1
2
，即 2m＋1＝4，即 m＝3
2
时等号成立，故b
a
的最小值为 27
2
＝8 2.
答案 B
二、填空题
7．设 x，y 为实数．若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________．
解析 依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋3
2
×2x×y≤1＋3
2·
2x＋y
2 2，得5
8(2x＋
y)2≤1，即|2x＋y|≤2 10
5 .当且仅当 2x＝y＝ 10
5
时，2x＋y 取最大值2 10
5 .
答案 2 10
5
8．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝2
x
的图象交
于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________．
解析 假设直线与函数 f(x)＝2
x
的图象在第一象限内的交点为 P，在第三象限
内的交点为 Q，由题意知线段 PQ 的长为 OP 长的 2 倍．
假设 P 点的坐标为
x0，2
x0 ，则|PQ|＝2|OP|＝2 x2
0＋4
x2
0
≥4.当且仅当 x2
0＝4
x2
0
，
即 x0＝ 2时，取“＝”号．
答案 4
9．若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
解析 由 a，b∈R＋，由基本不等式得 a＋b≥2 ab，
则 ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3，
即 ab－2 ab－3≥0⇔( ab－3)( ab＋1)≥0⇒ ab ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10．已知两正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 z＝ x＋1
x y＋1
y 的最小值为________。
解析 z＝ x＋1
x y＋1
y ＝xy＋ 1
xy
＋y
x
＋x
y
＝xy＋ 1
xy
＋x＋y2－2xy
xy
＝ 2
xy
＋xy－2，令
t＝xy，则 00，y>0，且 2x＋5y＝20.
(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；
(2)求1
x
＋1
y
的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy.
∵2x＋5y＝20，∴2 10xy≤20，xy≤10，当且仅当 2x＝5y 时，等号成立．
因此有 2x＋5y＝20，
2x＝5y，
解得 x＝5，
y＝2，
此时 xy 有最大值 10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1.
(2)∵x>0，y>0，∴1
x
＋1
y
＝
1
x
＋1
y ·2x＋5y
20
＝
1
20
7＋5y
x
＋2x
y ≥ 1
20
7＋2 5y
x ·2x
y ＝7＋2 10
20
，当且仅当5y
x
＝2x
y
时，等号成立．
由
2x＋5y＝20，
5y
x
＝2x
y
， 解得
x＝10 10－20
3
，
y＝20－4 10
3 .
∴1
x
＋1
y
的最小值为7＋2 10
20 .
13．设 f(x)＝ 16x
x2＋8(x>0)．
(1)求 f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数 a，b，恒有 f(a)
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