2011年数学文（山东）高考试题

2011年数学文（山东）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 文科数学 ‎ 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按能上能下要求作答的答案无效。‎ ‎4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。‎ 圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长。‎ 球的体积公式：，其中R是球的半径。‎ 球的表面积公式：，其中R是球的半径。‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，‎ 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．‎ ‎1．设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =‎ ‎ A．[1,2） B．[1,2] C．（ 2,3] D．[2,3]‎ ‎2．复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为 ‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎4．曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是 ‎ A．-9 B．‎-3 ‎ C．9 D．15‎ ‎5．已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥‎3”‎，的否命题是 ‎ A．若a+b+c≠3，则<3 ‎ ‎ B．若a+b+c=3，则<3‎ ‎ C．若a+b+c≠3，则≥3 ‎ ‎ D．若≥3，则a+b+c=3‎ ‎6．若函数 （ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=‎ ‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为 ‎ A．11 B．‎10 ‎ C．9 D．8．5‎ ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ‎ A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元 ‎9．设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 ‎ A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎10．函数的图象大致是 ‎11．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，‎ 其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命 题的个数是 ‎ A．3 B．2 ‎ ‎ C．1 D．0‎ ‎12．设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 （λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割， ,已知点C（c，o）,D（d，O） （c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是 ‎ A．C可能是线段AB的中点 ‎ ‎ B．D可能是线段AB的中点 ‎ C．C，D可能同时在线段AB上 ‎ ‎ D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 第II卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，‎ 为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．‎ ‎14．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值 是 ‎ ‎15．已知双曲线和椭圆有相同的 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程 为 ．‎ ‎16．已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若cosB=，‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．‎ ‎（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；‎ ‎（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．‎ 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元．‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，‎ ‎（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，‎ 请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题 ADDCABBBCCAD 二、填空题 ‎13．16 14．68 15． 16．2‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎ （I）由正弦定理，设 则 所以 即，‎ 化简可得 又，‎ 所以 因此 ‎ （II）由得 由余弦定得及得 所以 又 从而 因此b=2。‎ ‎18．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；‎ 乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：‎ ‎（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。‎ 从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，‎ 选出的两名教师性别相同的概率为 ‎ （II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），‎ ‎（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，‎ 从中选出两名教师来自同一学校的结果有：‎ ‎（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，‎ 选出的两名教师来自同一学校的概率为 ‎19．（I）证法一：‎ 因为平面ABCD，且平面ABCD，‎ 所以，‎ 又因为AB=2AD，，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又 所以 又平面ADD‎1A1，‎ 故 证法二：‎ 因为平面ABCD，且平面ABCD，‎ 所以 取AB的中点G，连接DG，‎ 在中，由AB=2AD得AG=AD，‎ 又，所以为等边三角形。‎ 因此GD=GB，‎ 故，‎ 又 所以平面ADD‎1A1，‎ 又平面ADD‎1A1，‎ 故 ‎ （II）连接AC，A‎1C1，‎ 设，连接EA1‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，‎ 所以 由棱台定义及AB=2AD=‎2A1B1知 A‎1C1//EC且A‎1C1=EC，‎ 所以边四形A1ECC1为平行四边形，‎ 因此CC1//EA1，‎ 又因为EA平面A1BD，平面A1BD，‎ 所以CC1//平面A1BD。‎ ‎20．解：（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此 所以公式q=3，‎ 故 ‎ （II）因为 所以 ‎21．解：（I）设容器的容积为V，‎ 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 ‎ （II）由（I）得 由于 当 令 所以 ‎ （1）当时，‎ 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎ （2）当即时，‎ 当函数单调递减，‎ 所以r=2是函数y的最小值点，‎ 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 ‎22．（I）解：设直线，‎ 由题意，‎ 由方程组得 ‎，‎ 由题意，‎ 所以 设，‎ 由韦达定理得 所以 由于E为线段AB的中点，‎ 因此 此时 所以OE所在直线方程为 又由题设知D（-3，m），‎ 令x=-3，得，‎ 即mk=1，‎ 所以 当且仅当m=k=1时上式等号成立，‎ 此时 由得 因此 当时，‎ 取最小值2。‎ ‎ （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为 将其代入椭圆C的方程，并由 解得 又，‎ 由距离公式及得 由 因此，直线的方程为 所以，直线 ‎（ii）由（i）得 若B，G关于x轴对称，‎ 则 代入 即，‎ 解得（舍去）或 所以k=1，‎ 此时关于x轴对称。‎ 又由（I）得所以A（0，1）。‎ 由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），‎ 因此 故的外接圆的半径为，‎ 所以的外接圆方程为