- 2021-04-27 发布 |
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文档介绍
九年级数学下册第三章圆4确定圆的条件习题课件北师大版
4 确定圆的条件 1. 探索平面内确定一个圆的条件 .( 重点 ) 2. 掌握过不在同一条直线上的三点作圆的方法 .( 重点、难点 ) 1. 确定一个圆的关键: _____ 和 _____. 2. 确定圆的条件 基础梳理 圆心 半径 过一点的圆 过两点的圆 过不在同一条直线上三点的圆 图形 圆心 圆心不确定 圆心在线段 AB 的垂直平分线上 , 不确定 圆心是线段 AB,BC 的垂直平分线的交点 , 圆心确定 过一点的圆 过两点的圆 过不在同一条直线上三点的圆 半径 半径不确定 半径不确定 半径 OA=OB=OC, 半径确定 总结 过一点可以作 _____ 个圆 , 过两点可以作 _____ 个圆 , 过 _______________ 的三点确定一个圆 . 过在同一直线上的三点 _____ 作圆 无数 无数 不在同一直线上 不能 3. 三角形的外接圆 三角形的 _________ 确定的圆 . 4 .三角形的外心 (1) 定义:三角形的外接圆的 _____ ,即三角形的三边 ________ ____ 的交点 . (2) 性质:三角形的外心到三角形 ___________________. (3) 位置:锐角三角形的外心在三角形的 _____ ,直角三角形的 外心是斜边 _____ ,钝角三角形的外心在三角形的 _____ . 三个顶点 圆心 垂直平分 线 三个顶点的距离相等 内部 中点 外部 ( 打“√”或“ ×”) (1) 过三点有且只有一个圆 .( ) (2) 每个三角形都有一个外接圆 . ( ) (3) 每个圆都有惟一一个内接三角形 .( ) (4) 三角形的外心到各个顶点的距离都等于外接圆的半径 . ( ) (5) 外接圆的圆心一定在三角形的外部 .( ) × √ × √ × 知识点 1 过不在同一直线上的三点确定圆 【 例 1】 小明家的房前有一块矩形的空地, 空地上有三棵树 A,B,C ,小明想建一个圆形 花坛,使三棵树都在花坛的边上 . (1) 请你帮小明把花坛的位置画出来 ( 尺规作图,不写作法, 保留作图痕迹 ). (2) 若在△ ABC 中, AB=8 米, AC=6 米,∠ BAC=90° ,试求小明家 圆形花坛的面积 . 【 思路点拨 】 (1) 花坛即△ ABC 的外接圆,作出 AB 和 AC 的垂直平分线,其交点即为外接圆的圆心,连接圆心和一个顶点即半径 .(2) 直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半,求出半径,再算面积 . 【 自主解答 】 (1) 用尺规作出两边的垂直平分线 , 作出圆 . ⊙O 即为所求的花园的位置 . (2)∵∠BAC=90°,AB=8 米 ,AC=6 米 ,∴BC=10 米 , ∴△ABC 外接圆的半径为 5 米 . ∴ 小明家圆形花坛的面积为 25π 平方米 . 【 总结提升 】 确定已知弧所在圆的圆心的 “ 三种 ” 方法 1. 利用圆的轴对称性,将圆对折,确定圆的两条直径,两直径的交点即为圆心 . 2. 利用圆周角定理的推论,根据 90° 的圆周角所对的弦为直径,确定直径,然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心 . 3. 根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心 . 知识点 2 与三角形的外接圆相关的计算与证明 【 例 2】 如图,在 Rt△ABC 中,∠ ACB= 90° , AC=5,CB=12,AD 是△ ABC 的角平 分线,过 A , C , D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E ,连接 DE. (1) 求证: AC=AE. (2) 求△ ACD 的外接圆的半径 . 【 解题探究 】 1.(1)DE 与 AB 有何位置关系?为什么? 提示: DE⊥AB. ∵∠ACB=90°,∴AD 为△ ACD 的外接圆直径 , ∴∠AED=90°. (2) 结合 (1) 由 AD 平分∠ CAE ,如何证明 AC=AE ? 提示: ∵∠ AED=90°,∠ACB=90°, AD 平分∠ CAE,∴AC=AE. 2.(1) 由已知条件和已证的结论如何求出 AE , AB 的长度? 提示: ∵ AC=5,CB=12, ∴AE=AC=5,BE=AB-AE=13-5=8. (2) 图中哪个三角形与△ ABC 相似?为什么? 提示: △ ABC∽△DBE.∵AD 是直径,∴∠ AED=90° , ∴∠ BED=∠ACB=90° ,又∵∠ B=∠B, ∴△ABC∽△DBE. (3) 由 (2) 中的三角形相似,可以得到 (4) 在△ ADE 中, 所以外接圆的半径为 【 互动探究 】 △ACD 的外接圆的面积是多少?△ ABC 的外接圆的 面积呢? 提示: △ ACD 的外接圆的面积为 △ ABC 的外接圆的面积为 【 总结提升 】 两种三角形的外接圆半径的求法 1. 直角三角形的外心为斜边的中点,它的外接圆半径长为斜边的一半 . 2. 等腰三角形的外接圆的半径,因其底边上的中线垂直于底边,故可借助于由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段所组成的直角三角形求解 . 题组一: 过不在同一直线上的三点确定圆 1. 有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点可以作圆; ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等 的两个半圆是等弧 . 其中正确的是 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【 解析 】 选 B. 直径是圆中最长的弦,①正确;经过不在同一直线上的三点可以确定圆,②错误;三角形的外心到三角形各顶点的距离相等,③正确;半径相等的两个半圆重合,为等弧 , ④ 正确 . 2. 如图 , 在 5×5 正方形网格中 , 一条圆弧经过 A,B,C 三点 , 那么这 条圆弧所在圆的圆心是 ( ) A. 点 P B. 点 Q C. 点 R D. 点 M 【 解析 】 选 B. 作弦 AB 和 BC 的垂直平分线 , 交点 Q 即为圆心 . 3. 已知点 A,B 分别在∠ MON 的边 OM,ON 上,则经过点 A,O,B 能作圆的个数是 _________. 【 解析 】 当 0°<∠MON<180° 时,过 A,O,B 能作一个圆,当∠ MON=180° 时,不能作圆 . 故可作 0 个或 1 个圆 . 答案: 0 个或 1 个 4. 已知直线 l : y=x+4 和点 A(0,4) , B(-4,0) ,点 C 为直线 l 上一点,试判断点 A , B , C 是否在同一个圆上 . 【 解析 】 过 A , B , C 三点不能作一个圆 . 当 x=0 时, y=0+4=4 ;当 x=-4 时, y=-4+4=0. 故 A(0,4) , B(-4,0) 在直线 l 上,所以 A , B , C 在一条直线上,所以点 A , B , C 不在同一个圆上 . 5. 已知 请找出 所在圆的圆心,并将圆的其他部分作出 来 . 【 解析 】 作法: (1) 在 上任取一点 C( 点 C 与 A , B 两点不重合 ). (2) 连接 AC , BC. (3) 分别作 AC , BC 的垂直平分线,它们的交点 O 就是 所在圆 的圆心 . (4) 以 O 为圆心,以 OA 为半径作出⊙ O ,如图所示 . 题组二: 与三角形的外接圆相关的计算与证明 1.(2012· 雅安中考 ) 如图,已知⊙ O 是△ ABC 的外接圆,∠ AOB=110° ,则∠ C 的度数为 ( ) A . 55° B . 70° C . 60° D . 45° 【 解析 】 选 A. ∠ C 和∠ AOB 是同一条弧 AB 所对的圆周角和圆心 角,所以 【 变式备选 】 (2012· 泰州中考 ) 如图,△ ABC 内接于⊙ O , OD⊥BC 于 D,∠A=50° ,则∠ OCD 的度数是 ( ) A . 40° B . 45° C . 50° D . 60° 【 解析 】 选 A .连接 OB ,则∠ BOC=2∠A=100° , OB=OC , ∵ OD⊥BC , ∵∠ COD +∠ OCD=90 ° ,∴∠ OCD=40 ° . 2.(2012 · 阜新中考 ) 如图,在△ ABC 中, BC=3 cm ,∠ BAC=60 ° , 那么△ ABC 能被半径至少为 _____ cm 的圆形纸片所覆盖. 【 解析 】 设圆心为 O ,连接 OB,OC. 则 OB=OC ,∠ BOC=2∠BAC=120° , 所以 则 答案: 3. 如图所示,已知 AB=5 cm,∠C=30° ,求△ ABC 的外接圆的直径 . 【 解析 】 连接 OA , OB , ∵∠ C=30° ,∴∠ AOB=60° , ∵ OA =OB , ∴△ OAB 是等边三角形, ∴ OA=AB=5 cm , 即⊙ O 的直径为 10 cm. 4. 在△ ABC 中 ,∠ACB=90°, 斜边长为 c, 两直角边 a,b 为方程 x 2 - 19x+90=0 的根 . 求△ ABC 外接圆的面积 . 【 解析 】 ∵x 2 -19x+90=0,∴(x-9)(x-10)=0. ∴x 1 =9,x 2 =10, 即 a=9,b=10 或 a=10,b=9. ∵ 在△ ABC 中 ,∠ACB=90°, ∴c 2 =a 2 +b 2 =181, 线段 c 为△ ABC 外接圆直径 . 即△ ABC 外接圆的面积为 【 想一想错在哪? 】 已知圆内接三角形中, AB=AC, 圆心 O 到 BC 的距离为 3 cm, 圆半径为 7 cm, 求腰长 AB. 提示: 考虑问题不全面,漏掉了△ ABC 是钝角三角形的情况 .查看更多