2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识3

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第 2 课时　习题课　基本不等式的应用 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用基本不等式求函数和代数式的最值 1 . 通过变形后应用基本不等式求最值 例 1 求下列函数的最值 , 并求出相应的 x 值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件 . 解题时应对照已知条件和欲求的式子 , 运用适当的 “ 拆项、添项、配凑、变形 ” 等方法创设使用基本不等式的条件 , 具体可以归纳为 : 一不正 , 用其相反数 , 改变不等号方向 ; 二不定 , 应凑出定和或定积 ; 三不等 , 一般需用其他方法 , 如尝试利用函数的单调性 ( 在 第 二 章 学习 ) . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : D 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . 应用 “1” 的代换转化为基本不等式求最 值 4 反思感悟 在利用基本不等式求最值时 , 常用的技巧就是 “1” 的代换 , 其目的是借助 “1” 将所求式子的结构进行调整 , 优化到能够利用基本 不等式 求解 为止 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : 1 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 含有多个变量的条件最值问题 , 一般方法是采取减少变量的个数 , 将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决 ; 如果条件等式中 , 含有两个变量的和与积的形式 , 还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化 , 然后通过解不等式进行求解 , 或者通过构造一元二次方程 , 利用根的分布解决问题 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中 , 若将条件改为 “ 正数 a , b 满足 2 a+b+ 6 =ab ”, 求 ab 的最小值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用基本不等式解决实际应用中的最值问题 例 4 如 图 , 要设计一张矩形广告牌 , 该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目 ( 如图中阴影部分 ), 这两栏的面积之和为 18 000 cm 2 , 四周空白的宽度为 10 cm, 两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm . 怎样确定广告牌 的 长 与 宽的尺寸 ( 单位 :cm), 能使矩形广告牌面积最小 ? 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 即当 x= 140, y= 175 时 , S 取得最小值 24 500 . 故当广告牌的宽为 140 cm, 长为 175 cm 时 , 可使矩形广告牌的面积最小 . 反思感悟 求实际问题中最值的一般思路 :(1) 先读懂题意 , 设出变量 , 理清思路 , 列出函数关系式 . (2) 把实际问题抽象成函数的最值问题 . (3) 在定义域内 , 求函数的最值时 , 一般先考虑用基本不等式 , 当用基本不等式求最值的条件不具备时 , 再考虑函数的单调性 ( 单调性在第二章学习 ) . (4) 正确写出答案 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台 , 每批都购入 x 台 ( x 是自然数 ), 且每批均需付运费 400 元 , 贮存购入的电视机全年所付 保 管 费 与每批购入电视机的总价值 ( 不含运费 ) 成正比 , 若每批购入 400 台 , 则全年需用去运输和保管总费用 43 600 元 . 现在全年只有 24 000 元资金可以用于支付这笔费用 , 请问 : 如何 恰当 安排每批进货的数量使资金够用 ? 写出你的结论 , 并说明理由 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 此时 x= 120 台 , 全年共需要资金 24 000 元 . 故只需每批购入 120 台 , 可以使资金够用 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 基本不等式的变形技巧 技巧一 : 裂项 思路点拨 先尽可能地让分子的变量项和分母相同 ( 常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等 ), 然后裂项转化为求和的最值 , 进而凑定积 ( 即使得含变量的因子 x+ 1 的次数和为零 , 同时取到等号 ) . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 技巧二 : 添 项 思路点拨 当求和的最小值时 , 尽可能凑定积 , 本题需添 6, 再减 6 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 技巧三 : 放入根号内或两边 平方 思路点拨 求积的最值 ( 因式中含根号 ), 把变量都放在同 一 个 根号 里或者将两边平方去根号 , 整合结构形式 , 凑成定和 , 是解决本题的关键所在 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 函数 y= 2 x (2 -x )( 其中 0 0, y> 0, 且 x+ 4 y= 1, 则 xy 的最大值为 　　　　　 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5 . 某企业需要建造一个容积为 8 立方米 , 深度为 2 米的无盖长方体水池 , 已知池壁的造价为每平方米 100 元 , 池底造价为每平方米 300 元 . 设水池底面一边长为 x 米 , 水池总造价为 y 元 , 求 y 关于 x 的函数关系式 , 并求出水池的最低造价 . 解 : 由于长方体蓄水池的容积为 8 立方米 , 深为 2 米 , 因此其底面积为 4 平方米 , 设底面一边长为 x 米 , 则另一边长 为 米 , 又因为池壁的造价为每平方米 100 元 , 而池底的造价为每平方米 300 元 , 池底的面积为 4 平方米 , 因此池底的总造价为 1 200 元 , 探究一 探究二 素养形成 当堂检测