黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试卷

黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试卷

数学试卷（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】“若且则”是真命题，其逆命题是假命题，故是的充分不必要条件,故选A.‎ ‎2.命题“，”的否定是　　‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定即可.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，‎ 命题的否定是：，．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定,属于基础题.‎ ‎3.下列四组函数中导数相等的是(　　)‎ A. f(x)＝1与f(x)＝x B. f(x)＝sin x与f(x)＝－cos x C. f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x D. f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎　由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.‎ ‎4.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵ 抛物线的焦点为 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C ‎5.设在处可导，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义，可直接计算出结果.‎ ‎【详解】因为在处可导,‎ 所以，由导数的定义可得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数概念的应用，熟记导数概念即可，属于基础题型.‎ ‎6.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）‎ A. 虚轴长为4 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线标准方程依次分析选项，综合即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；‎ 对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；‎ 对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为 ‎，则C错误；‎ 对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )‎ A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．可得MP=F2‎ P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．‎ ‎∴MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．‎ 连接OQ，则OQ为△F1F2M的中位线，∴．‎ ‎∵MF1=F1P+F2P=2a．‎ ‎∴OQ=a．‎ ‎∴Q点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.一个物体的运动方程为，其中s的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )‎ A. 8米/秒 B. 7米秒 C. 6米/秒 D. 5米/秒 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：：∵，‎ ‎∴s'（t）=-1+2t，‎ ‎∴根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度为为s'（3），‎ 即s'（3）=-1+2×3=6-1=5（米/秒），‎ 考点：导数的物理意义 ‎9.已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图像，首先确定两个函数在点处的切线斜率相同，再由导函数的变化趋势，确定原函数增的快慢，进而可确定结果.‎ ‎【详解】从导函数的图像可知：这个两个函数在点处的导函数值相等，即切线斜率相同，可排除B选项；再由导函数的图像可得，函数的图像增的快，函数的图像增的慢，故排除AC选项；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查由导函数的图像确定原函数图像，熟记导函数与原函数之间关系即可，属于常考题型.‎ ‎10.双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.‎ ‎ 等腰三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)和椭圆(m＞b＞0)的离心率互为倒数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，三角形一定是直角三角形 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 ‎11.已知函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是(　　)‎ A. 20 B. 18‎ C. 3 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论．‎ ‎【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，‎ 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，‎ ‎∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ ‎∵x∈[﹣3，2]，‎ ‎∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减，‎ ‎∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19，‎ ‎∴f（x）max﹣f（x）min=20，‎ ‎∴t≥20，‎ ‎∴实数t的最小值是20，‎ 故答案为A ‎【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．‎ ‎12.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．‎ ‎13.双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线的标准方程，由此求得其顶点和渐近线的方程，再用点到直线的距离公式求得距离.‎ ‎【详解】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，包括顶点坐标以及渐近线方程，考查点到直线的距离公式.属于基础题.‎ ‎14.函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为 ‎15.曲线在点处的切线方程为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，得到，求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，‎ 因此，即曲线在点处切线斜率为，‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，即为所求切线方程.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎16.定义在上的可导函数满足，且，则的解集为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令，对其求导，得到，根据题意，得到在上单调递减；再由得，将不等式化为，根据单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】令，则，‎ 因为定义在上的可导函数满足，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以函数在上单调递减；‎ 又，所以，‎ 因此，由得，‎ 所以，又定义域为，所以；‎ 即的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法解不等式，利用导数的方法研究函数单调性，进而可根据单调性求解，属于常考题型.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数在和处取得极值.‎ ‎(1)确定函数解析式;‎ ‎(2)求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，得到，再由题意，得到为方程的两个根，结合根与系数关系，列出方程组求解，即可得出结果；‎ ‎（2）对函数求导，解对应的不等式，判断出函数的单调性；求出函数极值，结合给定区间，求出区间端点值，比较大小，即可得出函数的最值，从而可确定值域.‎ ‎【详解】（1）因为，所以.‎ 因为在和处取得极值，‎ 所以为方程的两个根，所以；‎ 解得，所以；‎ ‎（2）因为，由，得或；‎ 由得；‎ 因此在上，当变化时，，的变化情况如下：‎ x ‎-3‎ ‎(-3,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,)‎ ‎(,1)‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎5‎ 单调递增 极大值10‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎1‎ 所以函数；；‎ 即函数在上的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及求函数值域，熟记导数的方法研究函数单调性，极值，最值等即可，属于常考题型.‎ ‎18.已知直线L: y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），‎ ‎（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；‎ ‎ （2）若OA⊥OB ，求m的值；‎ ‎【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求； （2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．‎ ‎【详解】(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)‎ 直线L: y＝x＋m过点(2,0)，得m=−2,‎ 直线L:y=x−2与抛物线y2=8x联立可得x2−12x+4=0，‎ ‎∴x1+x2=12, x1x2=4，‎ ‎∴.‎ ‎(2)联立，得 ‎.‎ ‎∵OA⊥OB,∴‎ ‎.‎ m=0或m=−8,‎ 经检验m=−8.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂直关系，属于基础题.‎ ‎19.已知命题:函数在定义域上单调递增；命题:在区间上恒成立.‎ ‎（1）如果命题为真命题，求实数的值或取值范围;‎ ‎（2）命题“”为真命题,“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由命题为真命题，得在上恒成立，根据一元二次不等式恒成立，即可求出结果；‎ ‎（2）先由在区间上恒成立，得到，即命题；再由题意，得到一真一假，分别讨论真假，假真两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）若命题为真命题，则函数在定义域上单调递增，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，即；‎ ‎（2）若在区间上恒成立，则在区间上恒成立，‎ 因此，只需；即命题；‎ 由命题“”为真命题,“”为假命题，可知一真一假，‎ 若真假，则，无解；‎ 若假真,则，即或；‎ 综上所述,，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题的真假求参数，熟记命题真假的判断方法即可，属于常考题型.‎ ‎20.设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不 同的点，且（O为原点）．‎ ‎（1）判断是否为定值，并说明理由；‎ ‎（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为定值5．将直线y=2x﹣1与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值；‎ ‎（2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围．‎ ‎【详解】（1）为定值5．‎ 理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，‎ 可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），‎ 即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，‎ 化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得 x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，‎ 即5•﹣2•+1=0，‎ 化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值． ‎ ‎（2）由双曲线离心率时，‎ 即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，‎ 由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，‎ 由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，‎ 则双曲线实轴长的取值范围为（0，）．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）如图，过作直线与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）有直线和圆相切得到关于的关系式，整理可得，从而可得．（2）根据三角形的周长可得，故，可得椭圆的方程．分直线 斜率存在和不存在两种情况分别求得的值，可得最大值是．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，‎ 即 ‎∴，‎ ‎．‎ ‎（2）因为三角形的周长为，‎ 所以 ‎∴，‎ ‎∴椭圆方程为，且焦点，‎ ‎①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为 解方程组可得或．‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ 故. ‎ ‎②若直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去整理得 ‎，‎ 设，‎ 则 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴可得，‎ 综上可得．‎ 所以最大值是.‎ 点睛：圆锥曲线中求最值或范围问题的方法 若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎④利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎22.设函数，.‎ ‎（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）(]‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数 的取值范围； （2）当 时，易得函数 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 的不等式组，解不等式组即可得到答案．‎ 试题解析：（1）当时，由得，‎ ‎∵，∴，∴有在上恒成立，‎ 令，由得，‎ 当，∴在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴，∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，函数，‎ 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，‎ 令，则，‎ 当，；当，，‎ ‎∴在上单减，在上单增，，‎ 又，如图所示，所以实数的取值范围为(]‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于 的不等式组．‎ ‎ ‎