【数学】2019届一轮复习北师大版 数系的扩充与复数的引入 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 数系的扩充与复数的引入 学案

第27讲　数系的扩充与复数的引入 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解复数的基本概念．‎ ‎2．理解复数相等的充要条件．‎ ‎3．了解复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎4．会进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，1‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，2‎ ‎2017·山东卷，2‎ ‎2017·天津卷，9‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，2‎ 复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.‎ 分值：5分 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的__实部__和__虚部__.若__b＝0__，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若__a＝0，且b≠0__，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．__x轴__叫做实轴，__y轴除去原点__叫做虚轴．实轴上的点都表示__实数__；除原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__；各象限内的点都表示__非纯虚数__.复数集用C表示．‎ ‎(5)复数的模：向量的模r做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝____.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi__平面向量__(a，b∈R)．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：‎ ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；‎ ‎②减法：z1－z2 ＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；‎ ‎④除法：＝＝____(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__.‎ ‎4．i乘方的周期性 in＝ 其中k∈Z.‎ ‎5．共轭复数与模的关系 z·z＝|z|2＝||2.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)若a∈C，则a2≥0.(　×　)‎ ‎(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．(　×　)‎ ‎(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．(　×　)‎ ‎(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　√　)‎ 解析 (1)错误．若a＝i，则a2＝－1<0, 因而(1)错误．‎ ‎(2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小．‎ ‎(3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0.‎ ‎(4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．‎ ‎2．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值为(　B　)‎ A．－6　　 B．－2　　‎ C．2　　 D．6‎ 解析 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－‎2a)i是纯虚数得由此解得a＝－2.‎ ‎3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　D　)‎ A．a＝1，b＝1　　 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝－1，b＝－1　　 D．a＝1，b＝－1‎ 解析 由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等条件得a＝1，b＝－1.‎ ‎4．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于第__二__象限．‎ 解析 z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．‎ ‎5．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝____.‎ 解析 因为z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝.‎ 一　复数的有关概念 ‎(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎【例1】 (1)(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为__－2__.‎ ‎(2)(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是__5__.‎ ‎(3)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为____.‎ 解析 (1)由＝＝－i是实数，‎ 得－＝0，所以a＝－2.‎ ‎(2)(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.‎ ‎(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，‎ 由复数相等的定义得解得或 从而|z|＝＝.‎ 二　复数的几何意义 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎【例2】 (1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　A　)‎ A．－5　　 B．5　　‎ C．－4＋i　　 D．－4－i ‎(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　B　)‎ A．A　　 B．B　　‎ C．C　　 D．D ‎(3)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是__5__.‎ 解析 (1)由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎(2)设z＝－a＋bi(a>0，b>0)，则z的共轭复数＝－a－bi.它对应的点为(－a，－b)，是第三象限的点，即图中的B点．‎ ‎(3)由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，‎ ‎∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，‎ ‎∴解得故x＋y＝5.‎ 三　复数的代数形式运算 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎【例3】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　B　)‎ A．1　　 B．　　‎ C．　　 D．2‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　C　)‎ A．1　　 B．－1　　‎ C．i　　 D．－i ‎(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　B　)‎ A．－1　　 B．0　　‎ C．1　　 D．2‎ 解析 (1)∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi，‎ ‎∴∴|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.故选B．‎ ‎(2)∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i.故选C．‎ ‎(3)∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，即‎4a＋(a2－4)i＝－4i，‎ ‎∴解得a＝0.‎ ‎1．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．(－∞，1)　　 B．(－∞，－1)‎ C．(1，＋∞)　　 D．(－1，＋∞)‎ 解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以 解得a<－1，故选B．‎ ‎2．若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 z＝＝⇒|z|＝.‎ ‎3．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是(　B　)‎ A．－1＋3i　　 B．1＋3i　　　　‎ C．1－3i　　 D．－1－3i 解析 －z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B．‎ ‎4．复数(i是虚数单位)的虚部是(　C　)‎ A．1　　 B．i　　‎ C．　　 D．i 解析 因为＝＝＋i，所以该复数的虚部为，故选C．‎ 易错点　复数的基本概念认识不清晰 错因分析：①弄错虚部的概念，忽略虚部是实数，不包含虚数单位i.②忽略纯虚数中，a＝0且b≠0.③虚数之间不可以比较大小，如果两个复数之间可以比较大小，则一定均为实数．‎ ‎【例1】 若z＝(1＋i)i(i为虚数单位)，则z的虚部是(　　)‎ A．1　　 B．－1　　　　‎ C．i　　 D．－i 解析 ∵z＝(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1.‎ 答案 A ‎【例2】 实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋‎5m＋6)＋(m2－‎2m－15)i，‎ ‎(1)是实数；(2)是纯虚数；(3)对应点在x轴上方．‎ 解析 (1)由z为实数，得m2－‎2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3.‎ ‎(2)由z为纯虚数，得解得m＝－2.‎ ‎(3)由z的对应点在x轴上方，得m2－‎2m－15>0，解得m<－3或m>5.‎ ‎【跟踪训练1】 使不等式(m2－‎4m＋3)i＋10>m2－(m2－‎3m)i成立的实数m＝__3__.‎ 解析 ∵(m2－‎4m＋3)i＋10>m2－(m2－‎3m)i，‎ ‎∴解得m＝3.‎ 课时达标　第27讲 ‎[解密考纲]复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算．‎ 一、选择题 ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)＝(　D　)‎ A．1＋2i　　 B．1－2i C．2＋i　　 D．2－i 解析 ＝＝＝2－i，故选D．‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　C　)‎ A．　　 B． C．　　 D．2‎ 解析 z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.‎ ‎3．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　C　)‎ A．－2　　 B．－1‎ C．0　　 D． 解析 ∵＝＝－i＝a＋bi，‎ ‎∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0，故选C．‎ ‎4．(2018·甘肃兰州模拟)已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝(　C　)‎ A．0　　 B．1‎ C．－1　　 D．±1‎ 解析 由题意得解得a＝－1.‎ ‎5．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　B　)‎ A．＋i　　 B．－i C．－＋i　　 D．－－i 解析 去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，‎ 解得z＝＝－i，故选B．‎ ‎6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝(　B　)‎ A．2　　 B．－2‎ C．±2　　 D．－ 解析 由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B．‎ 二、填空题 ‎7．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.‎ 解析 ∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，‎ ‎∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝2.‎ ‎8．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为____.‎ 解析 由题意可知＝＝.‎ ‎9．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z＝__1－2i__.‎ 解析 ∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i.‎ 三、解答题 ‎10．计算：(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 解析 (1)＝＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＝＝＝＝＋i.‎ ‎(3)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝＝＝＝＝－－i.‎ ‎11．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.‎ ‎∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.‎ 由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋‎4a－a2)＋8(a－2)i.‎ 由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，‎ ‎∴解得2

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