2013年广东省高考数学试卷（文科）

2013年广东省高考数学试卷（文科）

‎2013年广东省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（　　）‎ A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}‎ ‎2．（5分）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（　　）‎ A． B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．‎ ‎8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；‎ ‎③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；‎ ‎④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=　 　．‎ ‎12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=　 　．‎ ‎13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　 　．‎ ‎　‎ 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为　 　．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=　 　．‎ ‎　‎ 四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？‎ ‎（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．‎ ‎18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．‎ ‎（1）证明：DE∥平面BCF；‎ ‎（2）证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．‎ ‎19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎（1）证明：a2=；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 ‎，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．‎ ‎（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．‎ ‎　‎ ‎2013年广东省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（　　）‎ A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}‎ ‎【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．‎ ‎【解答】解：分析可得，‎ S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，‎ T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，‎ 故集合S∩T={0}，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义需，‎ 解得x＞﹣1且x≠1．‎ ‎∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．‎ ‎【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．‎ ‎∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．‎ ‎【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．‎ ‎【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；‎ 当i=2时，S=1+2﹣1=2；‎ 当i=3时，S=2+3﹣1=4；‎ 当i=4时，退出循环，输出S=4；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．‎ ‎∴．‎ 因此V===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（　　）‎ A． B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．‎ ‎【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．‎ ‎【解答】解：设所求的直线为l，‎ ‎∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1‎ ‎∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=1相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±‎ 当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；‎ 当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，‎ ‎∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；‎ 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；‎ 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；‎ 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．‎ ‎【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；‎ 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；‎ 若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；‎ 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．‎ ‎【解答】解：由题意设椭圆的方程为．‎ 因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，‎ 即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．‎ 所以椭圆的方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；‎ ‎③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；‎ ‎④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．‎ ‎【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，‎ 故总存在向量，使，故①正确；‎ 选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，‎ 由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；‎ 选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），‎ 无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，‎ 要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，‎ 故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；‎ 选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，‎ 这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，‎ 故不一定能使成立，故④错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=　15　．‎ ‎【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴an=a1•qn﹣1=（﹣2）n﹣1，‎ ‎∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，‎ 故答案为15．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=　　．‎ ‎【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，‎ ‎∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，‎ ‎∴2a﹣1=0，得a=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　5　．‎ ‎【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．‎ ‎【解答】解：画出可行域如图阴影部分，‎ 由 得A（1，4）‎ 目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．‎ ‎　‎ 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为　（θ为参数）　．‎ ‎【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．‎ ‎【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．‎ 化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．‎ 令，得．‎ 所以曲线C的参数方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）‎ 如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=　　．‎ ‎【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，‎ ‎∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，‎ ‎∴∠ECD=60°，‎ 在△ECD中，CD=AB=，EC=，‎ 根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，‎ 则ED=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．‎ ‎（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？‎ ‎（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．‎ ‎【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．‎ ‎（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．‎ ‎（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．‎ ‎【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．‎ ‎（2）重量在[80，85）的有个．‎ ‎（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1． 重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：‎ ‎（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．‎ 设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了 总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．‎ ‎（1）证明：DE∥平面BCF；‎ ‎（2）证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．‎ ‎【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．‎ ‎（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．‎ ‎（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 ‎ ‎，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，‎ ‎∴DE∥BC．‎ 又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴DE∥平面BCF．‎ ‎（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．‎ ‎∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．‎ 又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．‎ ‎（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎（1）证明：a2=；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎【分析】（1）对于，令n=1即可证明；‎ ‎（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．‎ ‎（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，，‎ ‎∵‎ ‎（2）当n≥2时，满足，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵an＞0，∴an+1=an+2，‎ ‎∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．‎ ‎∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，‎ 由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，‎ ‎∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1．‎ ‎（3）由（2）可得式=．‎ ‎∴‎ ‎【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；‎ ‎（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；‎ ‎（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y．‎ ‎（2）设，，‎ 由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，‎ 所以PA：①PB：②‎ 联立①②可得点P的坐标为，即，，‎ 又因为切线PA的斜率为，整理得，‎ 直线AB的斜率，‎ 所以直线AB的方程为，‎ 整理得，即，‎ 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，‎ 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．‎ ‎（3）根据抛物线的定义，有，，‎ 所以=，‎ 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，‎ 所以=．‎ 所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．‎ ‎【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．‎ ‎（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．‎ ‎【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；‎ ‎（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．‎ 解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1‎ ‎（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ ‎∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．‎ ‎（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）‎ ‎（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，‎ 从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，‎ 当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．‎ ‎（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0‎ 解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，‎ ‎∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，‎ ‎∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，‎ ‎∵，‎ ‎∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．‎ 综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k 解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，‎ 故f（x）≥f（k）．‎ f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，‎ 故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．‎ 所以 ，f（x）min=f（k）=k．‎ ‎【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．‎ ‎　‎