2014年四川省高考数学试卷(文科)

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文档介绍

2014年四川省高考数学试卷(文科)

‎2014年四川省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|(x+1)(x﹣2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣2,﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}‎ ‎2.(5分)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是(  )‎ A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 ‎3.(5分)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(  )‎ A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 ‎4.(5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ ‎(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)‎ A.3 B.2 C. D.1‎ ‎5.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.<‎ ‎6.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.(5分)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(  )‎ A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c ‎8.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于(  )‎ A.m B.m C.m D.m ‎9.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是(  )‎ A.[,2] B.[,2] C.[,4] D.[2,4]‎ ‎10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)双曲线﹣y2=1的离心率等于  .‎ ‎12.(5分)复数=  .‎ ‎13.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()=  .‎ ‎14.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=  .‎ ‎15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有  .(写出所有真命题的序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,共75分)‎ ‎16.(12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ ‎17.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ ‎18.(12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 ‎(Ⅰ)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;‎ ‎(Ⅱ)设D、E分别是线段BC、CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.‎ ‎19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)证明:数列{bn}为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{anbn2}的前n项和Sn.‎ ‎20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.‎ ‎21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年四川省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.(5分)(2014•四川)已知集合A={x|(x+1)(x﹣2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣2,﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}‎ ‎【分析】由题意,可先化简集合A,再求两集合的交集.‎ ‎【解答】解:A={x|(x+1)(x﹣2)≤0}={x|﹣1≤x≤2},又集合B为整数集,‎ 故A∩B={﹣1,0,1,2}‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•四川)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是(  )‎ A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 ‎【分析】根据题意,结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论.‎ ‎【解答】解:根据题意,结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得,5000名居民的阅读时间的全体是总体,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•四川)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(  )‎ A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 ‎【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【解答】解:∵由y=sinx到y=sin(x+1),只是横坐标由x变为x+1,‎ ‎∴要得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•四川)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ ‎(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)‎ A.3 B.2 C. D.1‎ ‎【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直,判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长,把数据代入棱锥的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三棱锥的俯视图与侧视图知:三棱锥的一个侧面与底面垂直,高为,‎ 底面为等边三角形,边长为2,‎ ‎∴三棱锥的体积V=××2××=1.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.<‎ ‎【分析】利用特例法,判断选项即可.‎ ‎【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,‎ 则,‎ ‎∴C、D不正确;‎ ‎=﹣3,=﹣‎ ‎∴A不正确,B正确.‎ 解法二:‎ ‎∵c<d<0,‎ ‎∴﹣c>﹣d>0,‎ ‎∵a>b>0,‎ ‎∴﹣ac>﹣bd,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•四川)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+‎ y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,‎ 画出可行域如图:‎ 当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•四川)已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(  )‎ A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c ‎【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由5d=10,可得,‎ ‎∴cd=lgb=log5b=a.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于(  )‎ A.m B.m C.m D.m ‎【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,∠DAB=15°,‎ ‎∵tan15°=tan(45°﹣30°)==2﹣.‎ 在Rt△ADB中,又AD=60,‎ ‎∴DB=AD•tan15°=60×(2﹣)=120﹣60.‎ 在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,‎ ‎∴DC=AD•tan60°=60.‎ ‎∴BC=DC﹣DB=60﹣(120﹣60)=120(﹣1)(m).‎ ‎∴河流的宽度BC等于120(﹣1)m.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是(  )‎ A.[,2] B.[,2] C.[,4] D.[2,4]‎ ‎【分析】可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直,可得 ‎|PA|2+|PB|2=10.三角换元后,由三角函数的知识可得.‎ ‎【解答】解:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),‎ ‎∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1,始终垂直,‎ P又是两条直线的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.‎ 设∠ABP=θ,则|PA|=sinθ,|PB|=cosθ,‎ 由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈[0,]‎ ‎∴|PA|+|PB|=(sinθ+cosθ)=2sin(θ+),‎ ‎∵θ∈[0,],∴θ+∈[,],‎ ‎∴sin(θ+)∈[,1],‎ ‎∴2sin(θ+)∈[,2],‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.‎ ‎【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 直线AB与x轴的交点为M(m,0),‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,‎ ‎∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,‎ 结合及,得,‎ ‎∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.‎ 不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,‎ ‎=.‎ 当且仅当,即时,取“=”号,‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11.(5分)(2014•四川)双曲线﹣y2=1的离心率等于  .‎ ‎【分析】根据双曲线的方程,求出a,b,c,即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:由双曲线的方程可知a2=4,b2=1,‎ 则c2=a2+b2=4+1=5,‎ 则a=2,c=,‎ 即双曲线的离心率e==,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•四川)复数= ﹣2i .‎ ‎【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.‎ ‎【解答】解:复数===﹣2i,‎ 故答案为:﹣2i.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .‎ ‎【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,‎ ‎∴=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m= 2 .‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),‎ ‎∴=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).‎ ‎∴=m+4+2(2m+2)=5m+8,=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.‎ ‎,=2.‎ ‎∵与的夹角等于与的夹角,‎ ‎∴=,‎ ‎∴,‎ 化为5m+8=4m+10,‎ 解得m=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号)‎ ‎【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.‎ ‎【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题;‎ ‎ (2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].‎ ‎∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值,故②是假命题;‎ ‎ (3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f(x)+g(x)∈(﹣∞,+∞).‎ 则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题;‎ ‎ (4)对于命题④,∵﹣≤≤,‎ 当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞‎ ‎),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题.‎ 故答案为①③④.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,共75分)‎ ‎16.(12分)(2014•四川)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有3×3×3=27种,而满足a+b=c的(a,b,c有计3个,由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率.‎ ‎(Ⅱ)所有的可能结果(a,b,c)共有3×3×3种,用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a,b,c完全相同”的(a,b,c)共计三个,由此求得“抽取的卡片上的数字a,b,c完全相同”的概率,再用1减去此概率,即得所求.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有3×3×3=27种,‎ 而满足a+b=c的(a,b,c)有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3),共计3个,‎ 故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=.‎ ‎(Ⅱ)满足“抽取的卡片上的数字a,b,c完全相同”的(a,b,c)有:‎ ‎(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3),共计三个,‎ 故“抽取的卡片上的数字a,b,c完全相同”的概率为=,‎ ‎∴“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为1﹣=.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•四川)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ ‎【分析】(1)令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈‎ z,求得x的范围,可得函数的增区间.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 求得 ﹣≤x≤+,故函数的增区间为[﹣,+],k∈Z.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,‎ ‎∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α),‎ ‎∴sinαcos+cosαsin=(cosαcos﹣sinαsin)(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)‎ 即 (sinα+cosα)=•(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα),‎ 又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,‎ 当sinα+cosα=0时,tanα=﹣1,sinα=,cosα=﹣,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•四川)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 ‎(Ⅰ)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;‎ ‎(Ⅱ)设D、E分别是线段BC、CC1‎ 的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先证明AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BC,利用AC⊥BC,可以证明直线BC⊥平面ACC1A1;‎ ‎(Ⅱ)取AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,证明四边形MDEO为平行四边形即可.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形,‎ ‎∴AA1⊥AB,AA1⊥AC,‎ ‎∵AB∩AC=A,‎ ‎∴AA1⊥平面ABC,‎ ‎∵BC⊂平面ABC,‎ ‎∴AA1⊥BC,‎ ‎∵AC⊥BC,AA1∩AC=A,‎ ‎∴直线BC⊥平面ACC1A1;‎ ‎(Ⅱ)解:取AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点,则O为AC1的中点.‎ 连接MD,OE,则MD∥AC,MD=AC,OE∥AC,OE=AC,‎ ‎∴MD∥OE,MD=OE,‎ 连接OM,则四边形MDEO为平行四边形,‎ ‎∴DE∥MO,‎ ‎∵DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,‎ ‎∴DE∥平面A1MC,‎ ‎∴线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)证明:数列{bn}为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{anbn2}的前n项和Sn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用等比数列的定义证明即可;‎ ‎(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得an,bn,再利用错位相减求数列{anbn2}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:由已知得,bn=>0,‎ 当n≥1时,===2d,‎ ‎∴数列{bn}为首项是,公比为2d的等比数列;‎ ‎(Ⅱ)解:f′(x)=2xln2‎ ‎∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y﹣=ln2(x﹣a2),‎ ‎∵在x轴上的截距为2﹣,‎ ‎∴a2﹣=2﹣,∴a2=2,‎ ‎∴d=a2﹣a1=1,an=n,bn=2n,anbn2=n4n,‎ ‎∴Tn=1•4+2•42+3•43+…+(n﹣1)•4n﹣1+n•4n,‎ ‎4Tn=1•42+2•43+…+(n﹣1)•4n+n•4n+1,‎ ‎∴Tn﹣4Tn=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=,‎ ‎∴Tn=.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•四川)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意可得,解出即可;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),设T(﹣3,m),可得直线TF的斜率kTF=﹣m,由于TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系.由于四边形OPTQ是平行四边形,可得,即可解得m.此时四边形OPTQ的面积S=.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,‎ 解得c=2,a=,b=.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),‎ 设T(﹣3,m),则直线TF的斜率,‎ ‎∵TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 联立,化为(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,‎ ‎△>0,∴y1+y2=,y1y2=.‎ ‎∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4=.‎ ‎∵四边形OPTQ是平行四边形,‎ ‎∴,∴(x1,y1)=(﹣3﹣x2,m﹣y2),‎ ‎∴,解得m=±1.‎ 此时四边形OPTQ的面积S=═=.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;‎ ‎(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,‎ 又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,‎ ‎∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;‎ ‎②当,则1<2a<e,‎ ‎∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,‎ g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;‎ ‎③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,‎ 综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为;‎ ‎(2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,‎ 若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,‎ 由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.‎ 若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1‎ 令h(x)= (1<x<e)‎ 则=,∴.由>0⇒x<‎ ‎∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,‎ ‎==<0,即gmin(x)<0 恒成立,‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,‎ 又,所以e﹣2<a<1,‎ 综上得:e﹣2<a<1.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;caoqz;sxs123;清风慕竹;whgcn;沂蒙松;刘长柏;lincy;尹伟云;maths;任老师;王老师;liu老师;静定禅心(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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