2016年山东省高考数学试卷（文科）

2016年山东省高考数学试卷（文科）

‎2016年山东省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}‎ ‎2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）‎ A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为　 　．‎ ‎12．（5分）观察下列等式：‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　 　．‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分 ‎16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．‎ ‎（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．‎ ‎18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．‎ ‎（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．‎ ‎（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；‎ ‎（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．‎ ‎21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}‎ ‎【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可．‎ ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，‎ 则A∪B={1，3，4，5}．‎ ‎∁U（A∪B）={2，6}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵z===1+i，‎ ‎∴=1﹣i，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为 ‎[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）‎ A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．‎ ‎【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，‎ 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ ‎∵A（0，﹣3），C（0，2），‎ ‎∴|OA|＞|OC|，‎ 联立，解得B（3，﹣1）．‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2的最大值是10．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，‎ 半球的直径为棱锥的底面对角线，‎ 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．‎ 故R=，故半球的体积为：=π，‎ 棱锥的底面面积为：1，高为1，‎ 故棱锥的体积V=，‎ 故组合体的体积为：+π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．‎ ‎【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，‎ 反之不成立．‎ ‎∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），‎ 则圆心为（0，a），半径R=a，‎ 圆心到直线x+y=0的距离d=，‎ ‎∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，‎ ‎∴2=2=2=2，‎ 即=，即a2=4，a=2，‎ 则圆心为M（0，2），半径R=2，‎ 圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，‎ 则MN==，‎ ‎∵R+r=3，R﹣r=1，‎ ‎∴R﹣r＜MN＜R+r，‎ 即两个圆相交．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵b=c，‎ ‎∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），‎ ‎∵a2=2b2（1﹣sinA），‎ ‎∴1﹣cosA=1﹣sinA，‎ 则sinA=cosA，即tanA=1，‎ 即A=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），‎ ‎∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．‎ ‎∴f（6）=f（1），‎ ‎∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1），‎ ‎∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣2，‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，‎ ‎∴f（6）=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，‎ 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；‎ 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为　1　．‎ ‎【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．‎ ‎【解答】解：若输入n的值为3，‎ 则第一次循环，S=0+﹣1=﹣1，1≥3不成立，‎ 第二次循环，S=﹣1+=﹣1，2≥3不成立，‎ 第三次循环，S=﹣1+﹣=﹣1=2﹣1=1，3≥3成立，‎ 程序终止，输出S=1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）观察下列等式：‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　n（n+1）　．‎ ‎【分析】由题意可以直接得到答案．‎ ‎【解答】解：观察下列等式：‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；‎ ‎（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），‎ 故答案为：n（n+1）‎ ‎【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　﹣5　．‎ ‎【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），‎ ‎∴t+=（t+6，﹣t﹣4），‎ ‎∵⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t+6+t+4=0，‎ 解得t=﹣5，‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．‎ ‎【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，‎ 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），‎ 由2|AB|=3|BC|，可得 ‎2•=3•2c，即为2b2=3ac，‎ 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，‎ 解得e=2（负的舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞‎ ‎0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．‎ ‎【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．‎ ‎【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：‎ ‎∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，‎ ‎∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，‎ 必须4m﹣m2＜m（m＞0），‎ 即m2＞3m（m＞0），‎ 解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分 ‎16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．‎ ‎（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，‎ 满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，‎ ‎∴小亮获得玩具的概率为；‎ ‎（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；‎ 小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=，‎ ‎∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．‎ ‎（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x ‎=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，‎ 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；‎ 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，‎ ‎∴g（）=2sin+﹣1=．‎ ‎【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．‎ ‎（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．‎ ‎（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，‎ ‎∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，‎ ‎∴BD⊥AC，ED⊥AC．‎ ‎∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，‎ AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，‎ ‎∴AC⊥平面EFBD．‎ 显然，FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB．‎ ‎（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，‎ 则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD，‎ 而BD⊂平面ABC，∴OG∥平面ABC．‎ 同理，OH∥BC，而BC⊂平面ABC，∴OH∥平面ABC．‎ ‎∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；‎ ‎∵an=bn+bn+1，‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a1=b1+b2，‎ ‎∴11=2b1+3，‎ ‎∴b1=4，‎ ‎∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；‎ ‎（Ⅱ）cn========6（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6（n+1）•2n+1‎ ‎=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，‎ ‎∴Tn=3n•2n+2．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．‎ ‎（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；‎ ‎（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；‎ ‎（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，‎ 可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），‎ 所以g′（x）=﹣2a=，‎ 当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；‎ 当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，‎ x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．‎ 所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ 当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．…（6分）‎ ‎（2）由（1）知，f′（1）=0．‎ ‎①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，‎ 可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．‎ 所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，‎ 所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．‎ ‎②当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，‎ 所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．‎ ‎③当a＞时，0＜＜1，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．‎ 所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．‎ 综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．‎ ‎（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；‎ ‎（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可；‎ ‎（Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可；‎ ‎（ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知，‎ 所以．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），‎ 由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．‎ 所以直线PM的斜率k1==，直线QM的斜率k2==﹣，‎ 此时=﹣3．所以为定值﹣3．‎ ‎（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m，‎ 直线QB的方程为y=﹣3kx+m．‎ 联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0．‎ 由，可得，‎ 所以．同理．‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0，‎ 所以，等号当且仅当时取得，‎ 此时，即，‎ 所以直线AB 的斜率的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题．‎ ‎　‎