2015年北京市高考数学试卷（文科）

2015年北京市高考数学试卷（文科）

2015 年北京市高考数学试卷（文科） 　 一、选择题（每小题 5 分,共 40 分） 1．（5 分）若集合 A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则 A∩B=（　　） A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C ．（ x+1 ） 2+ （ y+1 ） 2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 3．（5 分）下列函数中为偶函数的是（　　） A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x 4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查 教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人 数为（　　） 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A．90 B．100 C．180 D．300 5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（5 分）设 ， 是非零向量，“ =| || |”是“ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　） A．1 B． C． D．2 8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的 情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015 年 5 月 1 日 12 35000 2015 年 5 月 15 日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 （　　） A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升 　 二、填空题 9．（5 分）复数 i（1+i）的实部为　 　． 10．（5 分）2﹣3， ，log25 三个数中最大数的是　 　． 11．（5 分）在△ABC 中，a=3，b= ，∠A= ，则∠B=　 　． 12．（5 分）已知（2，0）是双曲线 x 2﹣ =1（b＞0）的一个焦点，则 b=　 　． 13．（5 分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任 意一点，则 z=2x+3y 的最大值为　 　． 14．（5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数 学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　 　； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　 　． 　 三、解答题（共 80 分） 15．（13 分）已知函数 f（x）=sinx﹣2 sin2 ． （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间[0， ]上的最小值． 16．（13 分）已知等差数列{an}满足 a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足 b2=a3，b3=a7，问：b6 与数列{an}的第几项相等？ 17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最 大？ 18．（14 分）如图，在三棱锥 V﹣ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边 三角形，AC⊥BC 且 AC=BC= ，O，M 分别为 AB，VA 的中点． （1）求证：VB∥平面 MOC； （2）求证：平面 MOC⊥平面 VAB （3）求三棱锥 V﹣ABC 的体积． 19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． 20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M． （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； （3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由． 　 2015 年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题 5 分,共 40 分） 1．（5 分）若集合 A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则 A∩B=（　　） A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合 A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}， 则 A∩B={x|﹣3＜x＜2}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力． 　 2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C ．（ x+1 ） 2+ （ y+1 ） 2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径 r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法， 是基础题． 　 3．（5 分）下列函数中为偶函数的是（　　） A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x 【分析】首先从定义域上排除选项 C，然后在其他选项中判断﹣x 与 x 的函数值 关系，相等的就是偶函数． 【解答】解：对于 A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数； 对于 B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数； 对于 C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数； 对于 D，定义域为 R，但是 2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数； 故选：B． 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如 果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断 f（﹣x）与 f（x） 关系， 相等是偶函数，相反是奇函数． 　 4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查 教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人 数为（　　） 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A．90 B．100 C．180 D．300 【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，即可得出结 论． 【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16， 因为青年教师有 320 人，所以老年教师有 180 人， 故选：C． 【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础． 　 5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，k 的值，当 a= 时满 足条件 a＜ ，退出循环，输出 k 的值为 4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q= a= ，k=1 不满足条件 a＜ ，a= ，k=2 不满足条件 a＜ ，a= ，k=3 不满足条件 a＜ ，a= ，k=4 满足条件 a＜ ，退出循环，输出 k 的值为 4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 6．（5 分）设 ， 是非零向量，“ =| || |”是“ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由 便可得到 夹角为 0，从而得到 ∥ ，而 ∥ 并不 能得到 夹角为 0，从而得不到 ，这样根据充分条件、必要条件的 概念即可找出正确选项． 【解答】解：（1） ； ∴ 时，cos =1； ∴ ； ∴ ∥ ； ∴“ ”是“ ∥ ”的充分条件； （2） ∥ 时， 的夹角为 0 或 π； ∴ ，或﹣ ； 即 ∥ 得不到 ； ∴“ ”不是“ ∥ ”的必要条件； ∴总上可得“ ”是“ ∥ ”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与 过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义． 　 7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关 几何量的数据，可得答案 【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图： 其中 PB⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD= ，PD= = ． PC═ 该几何体最长棱的棱长为： 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体 的结构特征是解答本题的关键 　 8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的 情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015 年 5 月 1 日 12 35000 2015 年 5 月 15 日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 （　　） A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升 【分析】由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，由此得到该 车每 100 千米平均耗油量． 【解答】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该 车每 100 千米平均耗油量 48÷6=8； 故选：B． 【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力． 　 二、填空题 9．（5 分）复数 i（1+i）的实部为　﹣1　． 【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可． 【解答】解：复数 i（1+i）=﹣1+i， 所求复数的实部为：﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力． 　 10．（5 分）2﹣3， ，log25 三个数中最大数的是　log25　． 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得 0＜2﹣3＜1，1＜ ＜2，log25 ＞log24=2，即可得到最大数． 【解答】解：由于 0＜2﹣3＜1，1＜ ＜2， log25＞log24=2， 则三个数中最大的数为 log25． 故答案为：log25． 【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用， 属于基础题． 　 11．（5 分）在△ABC 中，a=3，b= ，∠A= ，则∠B=　 　． 【分析】由正弦定理可得 sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角 B． 【解答】解：由正弦定理可得， = ， 即有 sinB= = = ， 由 b＜a，则 B＜A， 可得 B= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础 题． 　 12．（5 分）已知（2，0）是双曲线 x 2﹣ =1（b＞0）的一个焦点，则 b=　 　． 【分析】求得双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的焦点为（ ，0），（﹣ ， 0），可得 b 的方程，即可得到 b 的值． 【解答】解：双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的焦点为（ ，0），（﹣ ， 0）， 由题意可得 =2， 解得 b= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基 础题． 　 13．（5 分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任 意一点，则 z=2x+3y 的最大值为　7　． 【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值． 【解答】解：由 z=2x+3y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大． 即 A（2，1）． 此时 z 的最大值为 z=2×2+3×1=7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常 用方法． 　 14．（5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数 学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学　． 【分析】（1）根据散点图 1 分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次； （2）根据散点图 2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成 绩名次大于数学成绩名次，反之小于． 【解答】解：由高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩， 数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总 成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第 5 个点，即丙的总成绩在班 里倒数第 5．在左边的图中，找到倒数第 5 个点，它表示的就是丙，发现这个点 的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大” ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙； ②观察散点图，作出对角线 y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成 绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更 靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学． 【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题． 　 三、解答题（共 80 分） 15．（13 分）已知函数 f（x）=sinx﹣2 sin2 ． （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间[0， ]上的最小值． 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f（x）=2sin（x+ ）﹣ ，由三角函数的周期性及其求法即可得解； （2）由 x∈[0， ]，可求范围 x+ ∈[ ，π]，即可求得 f（x）的取值范围， 即可得解． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2 sin2 =sinx﹣2 × =sinx+ cosx﹣ =2sin（x+ ）﹣ ∴f（x）的最小正周期 T= =2π； （2）∵x∈[0， ]， ∴x+ ∈[ ，π]， ∴sin（x+ ）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+ ）﹣ ∈[﹣ ，2﹣ ]， ∴可解得 f（x）在区间[0， ]上的最小值为：﹣ ． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法， 三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查． 　 16．（13 分）已知等差数列{an}满足 a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足 b2=a3，b3=a7，问：b6 与数列{an}的第几项相等？ 【分析】（I）由 a4﹣a3=2，可求公差 d，然后由 a1+a2=10，可求 a1，结合等差数 列的通项公式可求 （II）由 b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项 公式可求 b6，结合（I）可求 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为 d． ∵a4﹣a3=2，所以 d=2 ∵a1+a2=10，所以 2a1+d=10 ∴a1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （II）设等比数列{bn}的公比为 q， ∵b2=a3=8，b3=a7=16， ∴ ∴q=2，b1=4 ∴ =128，而 128=2n+2 ∴n=63 ∴b6 与数列{an}中的第 63 项相等 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本 公式应用的考查，试题比较容易． 　 17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最 大？ 【分析】（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有 200 人， 从而求得顾客同时购买乙和丙的概率． （2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人，求得顾客顾客在 甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率． （3）在这 1000 名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、 同时购买甲和丁的概率，从而得出结论． 【解答】解：（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有 200 人， 故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2． （2）在这 1000 名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 100+200=300 （人）， 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 =0.3． （3）在这 1000 名顾客中，同时购买甲和乙的概率为 =0.2， 同时购买甲和丙的概率为 =0.6， 同时购买甲和丁的概率为 =0.1， 故同时购买甲和丙的概率最大． 【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础 题． 　 18．（14 分）如图，在三棱锥 V﹣ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边 三角形，AC⊥BC 且 AC=BC= ，O，M 分别为 AB，VA 的中点． （1）求证：VB∥平面 MOC； （2）求证：平面 MOC⊥平面 VAB （3）求三棱锥 V﹣ABC 的体积． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出 OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明 VB∥平面 MOC； （2）证明：OC⊥平面 VAB，即可证明平面 MOC⊥平面 VAB （3）利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积． 【解答】（1）证明：∵O，M 分别为 AB，VA 的中点， ∴OM∥VB， ∵VB⊄平面 MOC，OM⊂平面 MOC， ∴VB∥平面 MOC； （2）∵AC=BC，O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB， ∵平面 VAB⊥平面 ABC，OC⊂平面 ABC， ∴OC⊥平面 VAB， ∵OC⊂平面 MOC， ∴平面 MOC⊥平面 VAB （3）在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1， ∴S△VAB= ， ∵OC⊥平面 VAB， ∴VC﹣VAB= •S△VAB= ， ∴VV﹣ABC=VC﹣VAB= ． 【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计 算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键． 　 19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． 【分析】（1）利用 f'（x）≥0 或 f'（x）≤0 求得函数的单调区间并能求出极值； （2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况． 【解答】解：（1）由 f（x）= f'（x）=x﹣ 由 f'（x）=0 解得 x= f（x）与 f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下： X （0， ） （ ） f'（x） ﹣ 0 + f（x） ↓ ↑ 所以，f（x）的单调递增区间为（ ），单调递减区间为（0， ）； f（x）在 x= 处的极小值为 f（ ）= ，无极大值． （2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为 f（ ） = ． 因为 f（x）存在零点，所以 ，从而 k≥e 当 k=e 时，f（x）在区间（1， ）上单调递减，且 f（ ）=0 所以 x= 是 f（x）在区间（1， ）上唯一零点． 当 k ＞ e 时 ， f （ x ） 在 区 间 （ 0 ， ） 上 单 调 递 减 ， 且 ， 所以 f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点． 综上所述，若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． 【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于 常见题型． 　 20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M． （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； （3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）通过将椭圆 C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论； （2）通过令直线 AE 的方程中 x=3，得点 M 坐标，即得直线 BM 的斜率； （3）分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可． 【解答】解：（1）∵椭圆 C：x2+3y2=3， ∴椭圆 C 的标准方程为： +y2=1， ∴a= ，b=1，c= ， ∴椭圆 C 的离心率 e= = ； （2）∵AB 过点 D（1，0）且垂直于 x 轴， ∴可设 A（1，y1），B（1，﹣y1）， ∵E（2，1），∴直线 AE 的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2）， 令 x=3，得 M（3，2﹣y1）， ∴直线 BM 的斜率 kBM= =1； （3）结论：直线 BM 与直线 DE 平行． 证明如下： 当直线 AB 的斜率不存在时，由（2）知 kBM=1， 又∵直线 DE 的斜率 kDE= =1，∴BM∥DE； 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y=k（x﹣1）（k≠1）， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则直线 AE 的方程为 y﹣1= （x﹣2）， 令 x=3，则点 M（3， ）， ∴直线 BM 的斜率 kBM= ， 联立 ，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0， 由韦达定理，得 x1+x2= ，x1x2= ， ∵kBM﹣1= = = =0， ∴kBM=1=kDE，即 BM∥DE； 综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行． 【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能 力，注意解题方法的积累，属于中档题．