2015年湖南省高考数学试卷(理科)

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2015年湖南省高考数学试卷(理科)

‎2015年湖南省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分 ‎1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )‎ A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i ‎2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为(  )‎ A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎5.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是(  )‎ A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 ‎6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=(  )‎ A. B.﹣ C.6 D.﹣6‎ ‎7.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(  )‎ 附“若X﹣N=(μ,a2),则 P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.‎ p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.‎ A.2386 B.2718 C.3413 D.4772‎ ‎8.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分) 某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(x﹣1)dx=  .‎ ‎12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是  .‎ ‎13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为  .‎ ‎14.(5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=  .‎ ‎15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲 ‎16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:‎ ‎(1)∠MEN+∠NOM=180°‎ ‎(2)FE•FN=FM•FO.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与方程 ‎17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:‎ ‎(ⅰ)a+b≥2;‎ ‎(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ ‎ ‎ ‎19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.‎ ‎(Ⅰ)证明:B﹣A=;‎ ‎(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.‎ ‎20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.‎ ‎(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;‎ ‎(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.‎ ‎22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.‎ ‎(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;‎ ‎(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ ‎23.(13分)已知a>0,函数f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞]).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:‎ ‎(Ⅰ)数列{f(xn)}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.‎ ‎ ‎ ‎2015年湖南省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分 ‎1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )‎ A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.‎ ‎【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.‎ ‎【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,‎ ‎“A⊆B”,可得“A∩B=A”.‎ 所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.‎ ‎【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,‎ 第1次循环,S=,i=2,‎ 第2次循环,S=,i=3,‎ 第3次循环,S=,i=4,‎ 此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===‎ 故选:B ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为(  )‎ A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 由图可知,最优解为A,‎ 联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)‎ ‎∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是(  )‎ A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 ‎【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),‎ 函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.‎ 排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;‎ x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(‎ ‎),函数是增函数,所以B错误,A正确.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=(  )‎ A. B.﹣ C.6 D.﹣6‎ ‎【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.‎ ‎【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,‎ Tr+1==;‎ 展开式中含x的项的系数为30,‎ ‎∴,‎ ‎∴r=1,并且,解得a=﹣6.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(  )‎ 附“若X﹣N=(μ,a2),则 P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.‎ p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.‎ A.2386 B.2718 C.3413 D.4772‎ ‎【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,‎ ‎∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|‎ 所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.‎ 所以||的最大值为7.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.‎ ‎【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,‎ 不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×‎ ‎﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,‎ x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•湖南) 某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.‎ 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,‎ 利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.‎ ‎【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,‎ ‎∵底面半径为1,高为2,‎ ‎∴V=×2=‎ ‎∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,‎ ‎∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,‎ ‎∴根据轴截面图得出:=,‎ 解得;n=(1﹣),0<x<2,‎ ‎∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,‎ ‎∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,‎ ‎∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,‎ Ω最大值=2(1﹣)2×=,‎ ‎∴原工件材料的利用率为=×=,‎ 故选:A ‎ ‎ 二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx= 0 .‎ ‎【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.‎ ‎【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;‎ 故答案为:0.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 4 .‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.‎ ‎【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;‎ 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,‎ 用系统抽样方法从35人中抽取7人,‎ 成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取 ‎7×=4(人).‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为  .‎ ‎【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.‎ ‎【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),‎ 设PF的中点为M(0,b),‎ 即有m=﹣c,n=2b,‎ 将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,‎ ‎﹣=1,‎ 可得e2==5,‎ 解得e=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= 3n﹣1 .‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.‎ ‎【解答】解:设等比数列的公比为q,Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,‎ 可得4S2=S3+3S1,a1=1,‎ 即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.‎ ‎∴an=3n﹣1.‎ 故答案为:3n﹣1.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是 {a|a<0或a>1} .‎ ‎【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围 ‎【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,‎ ‎∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,‎ 由x3=x2可得,x=0或x=1‎ ‎①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意 ‎②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意 ‎③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意 ‎④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意 ‎⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点 综上可得,a<0或a>1‎ 故答案为:{a|a<0或a>1}‎ ‎ ‎ 三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲 ‎16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:‎ ‎(1)∠MEN+∠NOM=180°‎ ‎(2)FE•FN=FM•FO.‎ ‎【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°‎ ‎(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.‎ ‎【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,‎ ‎∴ON⊥CD,‎ ‎∵M为AB的中点,‎ ‎∴OM⊥AB,‎ 在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,‎ ‎∴O,M,E,N四点共圆,‎ ‎∴∠MEN+∠NOM=180°‎ ‎(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,‎ ‎∴△FEM∽△FON,‎ ‎∴=‎ ‎∴FE•FN=FM•FO.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与方程 ‎17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.‎ ‎【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;‎ ‎(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,‎ 过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,‎ 由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:‎ ‎(ⅰ)a+b≥2;‎ ‎(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ ‎【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;‎ ‎(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.‎ ‎【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,‎ 则a+b=+=,‎ 由于a+b>0,则ab=1,‎ 即有a+b≥2=2,‎ 当且仅当a=b取得等号.‎ 则a+b≥2;‎ ‎(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.‎ 由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,‎ 由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,‎ 这与ab=1矛盾.‎ a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ ‎ ‎ ‎19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.‎ ‎(Ⅰ)证明:B﹣A=;‎ ‎(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;‎ ‎(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,‎ ‎∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)‎ 又B为钝角,∴+A∈(,π),‎ ‎∴B=+A,∴B﹣A=;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,‎ ‎∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)‎ ‎=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A ‎=﹣2(sinA﹣)2+,‎ ‎∵A∈(0,),∴0<sinA<,‎ ‎∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤‎ ‎∴sinA+sinC的取值范围为(,]‎ ‎ ‎ ‎20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.‎ ‎(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.‎ ‎【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.‎ ‎(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)=‎ ‎=,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.‎ 故X的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P E(X)=3×=.‎ ‎ ‎ ‎21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.‎ ‎(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;‎ ‎(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.‎ ‎【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;‎ ‎(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2‎ ‎,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.‎ ‎【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:‎ A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);‎ Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;‎ ‎∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;‎ ‎∴,;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴AB1⊥PQ;‎ ‎(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;‎ ‎∴,0≤λ≤1;‎ ‎∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);‎ ‎∴;‎ ‎∴z2=12﹣2y2;‎ ‎∴P(0,y2,12﹣2y2);‎ ‎∴;‎ 平面ABB1A1的一个法向量为;‎ ‎∵PQ∥平面ABB1A1;‎ ‎∴=6(y1﹣y2)=0;‎ ‎∴y1=y2;‎ ‎∴Q(6,y2,0);‎ 设平面PQD的法向量为,则:‎ ‎;‎ ‎∴,取z=1,则;‎ 又平面AQD的一个法向量为;‎ 又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;‎ ‎∴;‎ 解得y2=4,或y2=8(舍去);‎ ‎∴P(0,4,4);‎ ‎∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;‎ ‎∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=.‎ ‎ ‎ ‎22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+‎ ‎=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.‎ ‎(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;‎ ‎(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;‎ ‎(Ⅱ)设出点的坐标,(ⅰ)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;‎ ‎(ⅱ)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,‎ ‎∴a2﹣b2=1,①,‎ 又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),‎ 所以=1,②,‎ 联立①②得a2=9,b2=8,‎ 故C2的方程为+=1.‎ ‎(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),‎ ‎(ⅰ)因为与同向,且|AC|=|BD|,‎ 所以=,‎ 从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是 ‎(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③‎ 设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,‎ 由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,‎ 所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④‎ 由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,‎ 所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤‎ 将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,‎ 即16(k2+1)=,‎ 所以(9+8k2)2=16×9,‎ 解得k=±.‎ ‎(ⅱ)由x2=4y得y′=x,‎ 所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),‎ 即y=x1x﹣x12,‎ 令y=0,得x=x1,‎ M(x1,0),‎ 所以=(x1,﹣1),‎ 而=(x1,y1﹣1),‎ 于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,‎ 因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,‎ 故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.‎ ‎ ‎ ‎23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞]).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:‎ ‎(Ⅰ)数列{f(xn)}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;‎ ‎(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.即为nπ﹣φ<ea(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=eax(asinx+cosx)=•eaxsin(x+φ),‎ tanφ=,0<φ<,‎ 令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,‎ 对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,‎ 则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.‎ 于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以xn=nπ﹣φ,n∈N*,‎ 此时f(xn)=ea(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1ea(nπ﹣φ)sinφ,‎ 易知f(xn)≠0,而==﹣eaπ是常数,‎ 故数列{f(xn)}是首项为f(x1)=ea(π﹣φ)sinφ,公比为﹣eaπ的等比数列;‎ ‎(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.‎ 即为nπ﹣φ<ea(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①‎ 设g(t)=(t>0),g′(t)=,‎ 当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.‎ t=1时,g(t)取得最小值,且为e.‎ 因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,‎ 只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,‎ 可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,‎ 因此对n∈N*,axn=≠1,即有g(axn)>g(1)=e=,‎ 故①亦恒成立.‎ 综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;qiss;吕静;刘长柏;sdpyqzh;changq;742048;双曲线;lincy;wkl197822;whgcn(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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