2009年四川省高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合S={x||x|<5}，T={x|x2+4x-21<0}，则S∩T=( )
A.{x|-7
d．则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(3，y0)在双曲线上、则PF1→⋅PF2→=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
8. 如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90∘，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是322，则B、C两点的球面距离是（ ）
A.π3 B.π C.43π D.2π
9. 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A.355 B.2 C.115 D.3
10. 某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元
11. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
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A.60 B.48 C.42 D.36
12. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(52)的值是（ ）
A.0 B.12 C.1 D.52
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. (2x-12x)6的展开式的常数项是________（用数字作答）
14. 若⊙O1:x2+y2=5与⊙O2：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
15. 如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
16. 设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V,a→∈V，记a→的象为f(a→)．若映射f:V→V满足：对所有a→，b→∈V及任意实数λ，μ都有f(λa→+μb→)=λf(a→)+μf(b→)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(0→)=0→
②对a→∈V设f(a→)=2a→，则f是平面M上的线性变换；
③若e→是平面M上的单位向量，对a→∈V设f(a→)=a→-e→，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a→，b→∈V，若a→，b→共线，则f(a→)，f(b→)也共线．
其中真命题是________（写出所有真命题的序号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=35，sinB=1010．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=2-1，求a、b、c的值．
18. 为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中34是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡．
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
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19. 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45∘
(I)求证：EF⊥平面BCE；
(II)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM // 平面BCE；
(III)求二面角F-BD-A的大小．
20. 已知椭圆x2a2+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|F2M→+F2N→|=2263，求直线l的方程．
21. 已知a>0且a≠1，函数f(x)=loga(1-ax)．
（1）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；
（2）若n∈N*，求limn→∞af(n)an+a；
（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h(x)=(1-ef（x）)(x2-m+1)．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值．
22. 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=4+an1-an(n∈N*)．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）记cn=b2n-b2n-1(n∈N*)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn≤32；
（3）设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数nRn≤λn恒成立，求λ的最小值．
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参考答案与试题解析
2009年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
【分析】
解：由S={x|-5b-d，c>d两个同向不等式相加得a>b，
但c>d，a>b⇏a-c>b-d，
例如a=2，b=1，c=-1，d=-3时，
a-cb”是“a-c>b-d”的必要而不充分条件.
故选B.
7.C
【分析】
解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，
∴ 双曲线方程是x2-y2=2，
于是两焦点坐标分别是F1(-2, 0)和F2(2, 0)，
且P(3，1)或P(3，-1)、
不妨令P(3，1)，
则PF1→=(-2-3,-1)，PF2→=(2-3,-1)
∴ PF1→⋅PF2→=(-2-3，-1)(2-3,-1)=-(2+3)(2-3)+1=0
故选C
8.B
【分析】
解：∵ AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O'是AC的中点．
O'C=32-(322)2=322，AC=32，
∴ BC=3，即BC=OB=OC．∴ ∠BOC=π3，
则B、C两点的球面距离=π3×3=π．
故选B．
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9.B
【分析】
解：直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线，
由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1, 0)的距离，
故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1, 0)和直线l1的距离之和最小，
最小值为F(1, 0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离，
即d=|4-0+6|5=2，
故选B．
10.D
【分析】
解：如图：
设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，
联立3x+y=13，2x+3y=18，解得x=3，y=4，
由图可知，最优解为P(3, 4)，
∴ z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．
故选D．
11.B
【分析】
解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），
剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；
则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）
此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）
最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴ 共有12×4=48种不同排法．
故选B．
12.A
【分析】
解：若x≠0，则有f(x+1)=1+xxf(x)，取x=-12，
则有：f(12)=f(-12+1)=1-12-12f(-12)=-f(-12)=-f(12)
∵ f(x)是偶函数，则f(-12)=f(12)
由此得f(12)=0
于是，f(52)=f(32+1)=1+3232f(32)=53f(32)=53f(12+1)=53[1+1212]f(12)=5f(12)=0
故选A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.-20
【分析】
Tr+1=(-1)rC6r(2x)6-r(12x)r=(-1)rC6r26-2rx6-2r，
令6-2r＝0，得r＝3
故展开式的常数项为(-1)3C63＝-20
14.4
【分析】
解：由题 O1(0, 0)与O2：(m, 0)
5<|m|<35，O1A⊥AO2，
m2=(5)2+(25)2=25，∴ m=±5
AB=2⋅5˙=4
故答案为：4
15.90∘
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【分析】
解：设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，A2B=2a，BM=a2+(a2)2=52a，
A2M=a2+(32a)2=132a，
∴ A2B2+BM2=A2M2，
∴ ∠MBA2=90∘．
故答案为90∘．
16.①②④
【分析】
解：令a→=b→=0→，λ=μ=1，
由题有f(0→)=2f(0→)⇒f(0→)=0→，故①正确；
由题f(λa→+μb→)=2(λa→+μb→)，
λf(a→)+μf(b→)=2λa→+2μb→)=2(λa→+μb→)，
即f(λa→+μb→)=λf(a→)+μf(b→)，故②正确；
由题f(λa→+μb→)=λa→+μb→-e→，
λf(a→)+μf(b→)=λa→-e→+μb→-e→，，
即f(λa→+μb→≠λf(a→)+μf(b→)，故③不正确；
由题b→=λa→，f(0→)=f(a→-λb→)=f(a→)-λf(b→)0→⇒f(a→)=λf(b→)，
即f(a→)，f(b→)也共线，故④正确；
故答案为：①②④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）∵ A、B为锐角，sinB=1010，
∴ cosB=1-sin2B=31010．
又cos2A=1-2sin2A=35，
∴ sinA=55，cosA=1-sin2A=255．
∴ cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=255×31010-55×1010=22．
∵ 00
所以当01时，f(x)的定义域是(-∞, 0)，
f'(x)=-axlna1-ax⋅logae=axax-1
当00，故f'(x)<0，所以f(x)是减函数．
当a>1时，x∈(-∞, 0)，因为ax-1<0，ax>0，故f'(x)<0，所以f(x)是减函数．
（2）因为f(n)=loga(1-an)，所以af（n）=1-an，由函数定义域知1-an>0，因为n是正整数，故00，故h(x)无极值．
②当00
所以当01时，f(x)的定义域是(-∞, 0)，
f'(x)=-axlna1-ax⋅logae=axax-1
当00，故f'(x)<0，所以f(x)是减函数．
当a>1时，x∈(-∞, 0)，因为ax-1<0，ax>0，故f'(x)<0，所以f(x)是减函数．
（2）因为f(n)=loga(1-an)，所以af（n）=1-an，由函数定义域知1-an>0，因为n是正整数，故00，故h(x)无极值．
②当04n-1
∴ λn≥Rn>4n-1，即(λ-4)n>-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴ λ≥4否则，(λ-4)n>-1只对满足n<14-λ的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有Rn≤4n
事实上，对任意的正整数k，有
b2n-1+b2n=8+5(-4)2k+1-1+5(-4)2k-1
=8+5(16)k-1-20(16)k+4
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=8-15×16k-40(16k-1)(16k+4)<8
∴ 当n为偶数时，设n=2m(m∈N+)
则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2n-1+b2n)
<8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N+)
则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2n-3+b2n-2)+b2n-1
<8(m-1)+4=8m-4=4n
∴ 对一切的正整数n，都有Rn≤4n
综上所述，正实数λ的最小值为4
【分析】
解：（1）当n=1时，a1=5a1+1，∴ a1=-14
又∵ an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1
∴ an+1-an=5an+1，即an+1=-14an
∴ 数列an成等比数列，其首项a1=-14，公比是q=-14
∴ an=(-14)n
∴ bn=4+(-14)n1-(-14)n
（2）由（1）知bn=4+5(-4)n-1
∴ cn=b2n-b2n-1=542n-1+542n-1+1=25×16n(16n-1)(16n+4)
=25×16n(16n)2+3×16n-4<25×16n(16n)2=2516n
又b1=3，b2=133，∴ c1=43
当n=1时，T1<32
当n≥2时，Tn<43+25×(1162+1163+…+116n)
=43+25×1162[1-(116)n-1]1-116
<43+25×11621-116=6948<32，故所证结论成立
（3）由（1）知bn=4+5(-4)n-1
一方面，已知Rn≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1(k∈N+)
则Rn=b1+b2+...+b2k+1
=4n+5×(-141+1+142-1-143+1+…-142k+1+1)
=4n+5×[-141+1+(142-1-143+1)+…+(142k-1-142k+1+1)]
>4n-1
∴ λn≥Rn>4n-1，即(λ-4)n>-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴ λ≥4否则，(λ-4)n>-1只对满足n<14-λ的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有Rn≤4n
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事实上，对任意的正整数k，有
b2n-1+b2n=8+5(-4)2k+1-1+5(-4)2k-1
=8+5(16)k-1-20(16)k+4
=8-15×16k-40(16k-1)(16k+4)<8
∴ 当n为偶数时，设n=2m(m∈N+)
则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2n-1+b2n)
<8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N+)
则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2n-3+b2n-2)+b2n-1
<8(m-1)+4=8m-4=4n
∴ 对一切的正整数n，都有Rn≤4n
综上所述，正实数λ的最小值为4
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