高考卷 浙江省高考数学试卷

高考卷 浙江省高考数学试卷

2017 年浙江省高考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1．（4 分）已知集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么 P∪Q=（ ） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 2．（4 分）椭圆 + =1 的离心率是（ ） A． B． C． D． 3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm2）是（ ） A． +1 B． +3 C． +1 D． +3 4．（4 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的取值范围是（ ） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞） 5．（4 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m， 则 M﹣m（ ） A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 6．（4 分）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（4 分）函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的 图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．（4 分）已知随机变量ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若 0＜ p1＜p2＜ ，则（ ） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 9．（4 分）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角 D﹣PR﹣Q，D﹣ PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（ ） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（ ） A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把 π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后 七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形 的面积 S6，S6= ． 12．（6 分）已知 a、b ∈ R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则 a2+b2= ， ab= ． 13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则 a4= ， a5= ． 14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连 结 CD，则△BDC 的面积是 ，cos∠BDC= ． 15．（6 分）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值 是 ，最大值是 ． 16．（4 分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选 法．（用数字作答） 17．（4 分）已知 a ∈ R，函数 f（x）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是 5， 则 a 的取值范围是 ． 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18．（14 分）已知函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x ∈ R）． （Ⅰ）求 f（ ）的值． （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 19．（15 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值． 20．（15 分）已知函数 f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）． （1）求 f（x）的导函数； （2）求 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 21．（15 分）如图，已知抛物线 x2=y，点 A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上 的点 P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值． 22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n ∈ N*），证明：当 n ∈ N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ． 2017 年浙江省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1．（4 分）（2017•浙江）已知集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么 P∪ Q=（ ） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；5J ：集合． 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合 P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}， 那么 P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力． 2．（4 分）（2017•浙江）椭圆 + =1 的离心率是（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆 + =1，可得 a=3，b=2，则 c= = ， 所以椭圆的离心率为： = ． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 3．（4 分）（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体 的体积（单位：cm2）是（ ） A． +1 B． +3 C． +1 D． +3 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出 图形，结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的 高和棱锥的高相等均为 3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1， 故选：A 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得 出原几何体的结构特征，是基础题目． 4．（4 分）（2017•浙江）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的取值范 围是（ ） A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞） 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由 解得 C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键． 5．（4 分）（2017•浙江）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M， 最小值是 m，则 M﹣m（ ） A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 【考点】3W：二次函数的性质．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 M﹣m 的取值与 a， b 的关系，综合可得答案． 【解答】解：函数 f（x）=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的 抛物线， ①当﹣ ＞1 或﹣ ＜0，即 a＜﹣2，或 a＞0 时， 函数 f（x）在区间[0，1]上单调， 此时 M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|， 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 ②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1 时， 函数 f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且 f（0）＞f（1）， 此时 M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= ， 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 ③当 0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0 时， 函数 f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增， 且 f（0）＜f（1）， 此时 M﹣m=f（1）﹣f（﹣ ）=1+a+ ， 故 M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 综上可得：M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关 故选：B 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象 和性质，是解答的关键． 6．（4 分）（2017•浙江）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0” 是“S4+S6＞2S5”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数 列；5L ：简易逻辑． 【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S6＞2S5，可以得到 d＞0，根据充分必要 条件的定义即可判断． 【解答】解：∵S4+S6＞2S5， ∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d）， ∴21d＞20d， ∴d＞0， 故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件， 故选：C 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题 7．（4 分）（2017•浙江）函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函 数 y=f（x）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】3O：函数的图象．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；52 ：导数的概念及应用． 【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f′（x）＜0 时，函数 f（x）单调递减， 当 f′（x）＞0 时，函数 f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性， 然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y=f（x）的 图象可能 【解答】解：由当 f′（x）＜0 时，函数 f（x）单调递减，当 f′（x）＞0 时，函数 f（x）单调递增， 则由导函数 y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递 减，最后单调递增，排除 A，C， 且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B， 故选 D 【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的 判断，考查数形结合思想，属于基础题． 8．（4 分）（2017•浙江）已知随机变量ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1， 2．若 0＜p1＜p2＜ ，则（ ） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】由已知得 0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出 E（ξ1）=p1，E（ξ2） =p2，从而求出 D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果． 【解答】解：∵随机变量ξi 满足 P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…， 0＜p1＜p2＜ ， ∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1， E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1， E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2， D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ， D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ， D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0， ∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）． 故选：A． 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是 中档题． 9．（4 分）（2017•浙江）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱 锥），P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角 D ﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（ ） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 【考点】MT：二面角的平面角及求法．菁优网版 权所有 【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5H ：空间向量及应用． 【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为 O．不 妨设 OP=3．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ）， Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角． 解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ， OG⊥QR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG．．可得 tanα= ．tanβ= ， tanγ= ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出． 【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为 O． 不妨设 OP=3．则 O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ）， Q ，R ， = ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ， = ． 设平面 PDR 的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ， 可得 = ，取平面 ABC 的法向量 =（0，0，1）． 则 cos = = ，取α=arccos ． 同理可得：β=arccos ．γ=arccos ． ∵ ＞ ＞ ． ∴α＜γ＜β． 解法二：如图所示，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ， OG⊥QR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG． 设 OD=h． 则 tanα= ． 同理可得：tanβ= ，tanγ= ． 由已知可得：OE＞OG＞OF． ∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选：B． 【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 10．（4 分）（2017•浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2， CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（ ） A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；48 ：分析法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2 ， ∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知 OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞ • ＞ • ， • ＞0， 即 I3＜I1＜I2， 故选：C． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11．（4 分）（2017•浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π， 理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确 到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内 接正六边形的面积 S6，S6= ． 【考点】CE：模拟方法估计概率．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5B ：直线与圆． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 【解答】解：如图所示， 单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中， △AOB 是边长为 1 的正三角形， 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6=6× ×1×1×sin60°= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题． 12．（6 分）（2017•浙江）已知 a、b ∈ R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则 a2+b2= 5 ，ab= 2 ． 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】a、b ∈ R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得 3+4i=a2﹣b2+2abi，可得 3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出． 【解答】解：a、b ∈ R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位）， ∴3+4i=a2﹣b2+2abi， ∴3=a2﹣b2，2ab=4， 解得 ab=2， ， ． 则 a2+b2=5， 故答案为：5，2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题． 13．（6 分）（2017•浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5， 则 a4= 16 ，a5= 4 ． 【考点】DC：二项式定理的应用．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项式定理的展开式，求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和，a5 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5， （x+1）3 中，x 的系数是：3，常数是 1；（x+2）2 中 x 的系数是 4，常数是 4， a4=3×4+1×4=16； a5=1×4=4． 故答案为：16；4． 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 14．（6 分）（2017•浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一 点，BD=2，连结 CD，则△BDC 的面积是 ，cos∠BDC= ． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；58 ：解三角形． 【分析】如图，取 BC 得中点 E，根据勾股定理求出 AE，再求出 S△ABC，再根据 S △BDC= S△ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解：如图，取 BC 得中点 E， ∵AB=AC=4，BC=2， ∴BE= BC=1，AE⊥BC， ∴AE= = ， ∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ， ∵BD=2， ∴S△BDC= S△ABC= ， ∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD， ∴∠ABE=2∠BDC 在 Rt△ABE 中， ∵cos∠ABE= = ， ∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ， ∴cos∠BDC= ， 故答案为： ， 【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题 15．（6 分）（2017•浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ | 的最小值是 4 ，最大值是 ． 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；93：向量的模．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及 应用． 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、 | ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论． 【解答】解：记∠AOB=α，则 0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令 x= ，y= ， 则 x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧 MN，如图， 令 z=x+y，则 y=﹣x+z， 则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4， 当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大， 由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 倍， 所以 zmax= × = ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是 4，最大值是 ． 故答案为：4、 ． 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解 能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．（4 分）（2017•浙江）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人， 普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 660 种 不同的选法．（用数字作答） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；4O：定义法；5O ：排列组合． 【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男，再计算即可 【解答】解：第一类，先选 1 女 3 男，有 C63C21=40 种，这 4 人选 2 人作为队长 和副队有 A42=12 种，故有 40×12=480 种， 第二类，先选 2 女 2 男，有 C62C22=15 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种，故有 15×12=180 种， 根据分类计数原理共有 480+180=660 种， 故答案为：660 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题 17．（4 分）（2017•浙江）已知 a ∈ R，函数 f（x）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上 的最大值是 5，则 a 的取值范围是 （﹣∞， ] ． 【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5 且 a≤5，进而解绝对值不等式可知 2a﹣5 ≤x+ ≤5，进而计算可得结论． 【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以 a≤5， 又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a， 所以 a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a， 所以 2a﹣5≤x+ ≤5， 又因为 1≤x≤4，4≤x+ ≤5， 所以 2a﹣5≤4，解得 a≤ ， 故答案为：（﹣∞， ]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解 题方法的积累，属于中档题． 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18．（14 分）（2017•浙江）已知函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x ∈ R）． （Ⅰ）求 f（ ）的值． （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 【考点】3G：复合函数的单调性；GI：三角函数的化简求值；H1：三角函数的 周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：f（ ）的值． （Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得 f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】解：∵函数 f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin （2x+ ） （Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2， （Ⅱ）∵ω=2，故 T=π， 即 f（x）的最小正周期为π， 由 2x+ ∈ [﹣ +2kπ， +2kπ]，k ∈ Z 得： x ∈ [﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k ∈ Z， 故 f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]或写成[kπ+ ，kπ+ ]，k ∈ Z． 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函 数的单调区间，难度中档． 19．（15 分）（2017•浙江）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边 的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距 离；5G ：空间角． 【分析】（Ⅰ）取 AD 的中点 F，连结 EF，CF，推导出 EF∥PA，CF∥AB，从而平 面 EFC∥平面 ABP，由此能证明 EC∥平面 PAB． （Ⅱ）连结 BF，过 F 作 FM⊥PB 于 M，连结 PF，推导出四边形 BCDF 为矩形，从 而 BF⊥AD，进而 AD⊥平面 PBF，由 AD∥BC，得 BC⊥PB，再求出 BC⊥MF，由 此能求出 sinθ． 【解答】证明：（Ⅰ）取 AD 的中点 F，连结 EF，CF， ∵E 为 PD 的中点，∴EF∥PA， 在四边形 ABCD 中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F 为中点， ∴CF∥AB，∴平面 EFC∥平面 ABP， ∵EC ⊂ 平面 EFC， ∴EC∥平面 PAB． 解：（Ⅱ）连结 BF，过 F 作 FM⊥PB 于 M，连结 PF， ∵PA=PD，∴PF⊥AD， 推导出四边形 BCDF 为矩形，∴BF⊥AD， ∴AD⊥平面 PBF，又 AD∥BC， ∴BC⊥平面 PBF，∴BC⊥PB， 设 DC=CB=1，则 AD=PC=2，∴PB= ， BF=PF=1，∴MF= ， 又 BC⊥平面 PBF，∴BC⊥MF， ∴MF⊥平面 PBC，即点 F 到平面 PBC 的距离为 ， ∵MF= ，D 到平面 PBC 的距离应该和 MF 平行且相等，为 ， E 为 PD 中点，E 到平面 PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， ∴E 到平面 PBC 的距离为 ， 在 ， 由余弦定理得 CE= ， 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为θ，则 sinθ= = ． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20．（15 分）（2017•浙江）已知函数 f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）． （1）求 f（x）的导函数； （2）求 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单 调性．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求出 f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求； （2）求出 f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1 时，当 1＜x＜ 时，当 x＞ 时，f（x）的单调性，判断 f（x）≥0，计算 f（ ），f（1），f（ ），即可 得到所求取值范围． 【解答】解：（1）函数 f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）， 导数 f′（x）=（1﹣ • •2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x =（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x； （2）由 f（x）的导数 f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x， 可得 f′（x）=0 时，x=1 或 ， 当 ＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当 1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当 x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减， 且 x≥ ⇔ x2≥2x﹣1 ⇔ （x﹣1）2≥0， 则 f（x）≥0． 由 f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ， 即有 f（x）的最大值为 e ，最小值为 f（1）=0． 则 f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算 能力，正确求导是解题的关键，属于中档题． 21．（15 分）（2017•浙江）如图，已知抛物线 x2=y，点 A（﹣ ， ），B（ ， ）， 抛物线上的点 P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值． 【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；KN：直线与抛物线的位置关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值 与范围问题． 【分析】（Ⅰ）通过点 P 在抛物线上可设 P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x ＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知 P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线 AP 的斜率为 k，联立直线 AP、BP 方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出 、 ，计算可知|PA|•|PQ|= （1+k）3（1﹣k），通过令 f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调 性可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知 P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 kAP= =x﹣ ∈ （﹣1，1）， 故直线 AP 斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知 P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线 AP 的斜率为 k，则 AP：y=kx+ k+ ，BQ：y=﹣ x+ + ， 联立直线 AP、BQ 方程可知 Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|•|PQ|= • = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令 f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则 f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时 f′（x）＞0，当 ＜x＜1 时 f′（x）＜0， 故 f（x）max=f（ ）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为 ． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注 意解题方法的积累，属于中档题． 22．（15 分）（2017•浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n ∈ N*）， 证明：当 n ∈ N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ． 【考点】8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；4M： 构造法；53 ：导数的综合应用；54 ：等差数列与等比数列；55 ：点列、递归 数列与数学归纳法；5T ：不等式． 【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明， （Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即 可证明， （Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明 【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当 n=1 时，x1=1＞0，成立， 假设当 n=k 时成立，则 xk＞0， 那么 n=k+1 时，若 xk+1＜0，则 0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故 xn+1＞0， 因此 xn＞0，（n ∈ N*） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1， 因此 0＜xn+1＜xn（n ∈ N*）， （Ⅱ）由 xn=xn+1+ln（1+xn+1）得 xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函数 f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）= +ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此 xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0， 故 2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1， ∴xn≥ ， 由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， ∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2， ∴xn≤ ， 综上所述 ≤xn≤ ． 【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的 单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运 算能力，放缩能力，运算能力，属于难题 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；whgcn；豫汝王世崇；铭灏 2016；zlzhan； 沂蒙松；maths；742048；cst；双曲线（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．并集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集，记作 A ∪B． 符号语言：A∪B={x|x ∈ A 或 x ∈ B}． 图形语言： ． A∪B 实际理解为：①x 仅是 A 中元素；②x 仅是 B 中的元素；③x 是 A 且是 B 中 的元素． 运算形状： ①A∪B=B∪A．②A∪ ∅ =A．③A∪A=A．④A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B．⑤A∪B=B ⇔ A ⊆ B．⑥ A∪B= ∅ ，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）． 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填 空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题． 2．必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、 逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能 力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点． 1．充分条件：对于命题“若 p 则 q”为真时，即如果 p 成立，那么 q 一定成立， 记作“p ⇒ q”，称 p 为 q 的充分条件．意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立， 换句话说要使结论 q 成立，具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件．如 p：x≥6，q：x＞2，p 是 q 成立的充分条件，而 r：x＞3，也是 q 成立的充分条 件． 必要条件：如果 q 成立，那么 p 成立，即“q ⇒ p”，或者如果 p 不成立，那么 q 一 定不成立，也就是“若非 p 则非 q”，记作“￢p ⇒ ￢q”，这是就说条件 p 是 q 的必 要条件，意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件． 充要条件：如果既有“p ⇒ q”，又有“q ⇒ p”，则称条件 p 是 q 成立的充要条件，或 称条件 q 是 p 成立的充要条件，记作“p ⇔ q”． 2．从集合角度看概念： 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示，那么 ①“p ⇒ q”，相当于“P ⊆ Q”．即：要使 x ∈ Q 成立，只要 x ∈ P 就足够了﹣﹣有它就行． ②“q ⇒ p”，相当于“P ⊇ Q”，即：为使 x ∈ Q 成立，必须要使 x ∈ P﹣﹣缺它不行． ③“p ⇔ q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物． 3．当命题“若 p 则 q”为真时，可表示为，则我们称 p 为 q 的充分条件，q 是 p 的 必要条件．这里由，得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的．但为什么说 q 是 p 的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若 q 不成立， 则 p 一定不成立．这就是说，q 对于 p 是必不可少的，所以说 q 是 p 的必要条件． 4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是 说，如果命题 p 等价于命题 q，那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立； 同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立． 【解题方法点拨】 1．借助于集合知识加以判断，若 P ⊆ Q，则 P 是 Q 的充分条件，Q 是的 P 的必要 条件；若 P=Q，则 P 与 Q 互为充要条件． 2．等价法：“P ⇒ Q” ⇔ “￢Q ⇒ ￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆 命题和原命题的否命题是等价的． 3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必 要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“ ⇔ ”连接． 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的 数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中， 都会考查此类问题． 3．复合函数的单调性 【知识点的认识】 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考 虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的 为主． 【解题方法点拨】 求复合函数 y=f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性； （4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． 【命题方向】 理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性． 4．函数的最值及其几何意义 【知识点的认识】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或 最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出 端点的值，然后进行比较可得． 【解题方法点拨】 ①基本不等式法：如当 x＞0 时，求 2x+ 的最小值，有 2x+ ≥2 =8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和，易知最小值为 2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行 比较． 【命题方向】 本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以 务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然 后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常 用方法有分离参变量法、多次求导法等． 5．函数的图象 【知识点的认识】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、 单调性、周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）， 描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y=f（x）a＞0，右移 a 个单位（a＜0，左移|a|个单位） ⇒ y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移 b 个单位（b＜0，下移|b|个单位） ⇒ y=f（x）+b． （2）伸缩变换： y=f（x） y=f（ωx）； y=f（x）A＞1，伸为原来的 A 倍（0＜A＜1，缩为原来的 A 倍） ⇒ y=Af（x）． （3）对称变换： y=f（x）关于 x 轴对称 ⇒ y=﹣f（x）； y=f（x）关于 y 轴对称 ⇒ y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称 ⇒ y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y=f（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边 ⇒ y=f （|x|）； y=f（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f（x）|． 【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几 何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称 得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要 先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点， 就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻 找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由 解的个数求参数值． 4、方法归纳： （1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原 则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域； ②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 数、幂函数、形如 y=x+的函数； ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧， 来帮助我们简化作图过程． （3）3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下 降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题； ②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数 模型来分析解决问题． 6．二次函数的性质 【知识点的认识】 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定 理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移． 【解题方法点拨】 以 y=ax2+bx+c 为例： ①开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数，当 a＞0（＜0）时，图象开口向上（向 下）；对称轴 x=﹣ ；最值为：f（﹣ ）；判别式△=b2﹣4ac，当△=0 时，函 数与 x 轴只有一个交点；△＞0 时，与 x 轴有两个交点；当△＜0 时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且 x1、x2 为方程 y=ax2+bx+c 的两根，则有 x1+x2= ﹣ ，x1•x2= ； ③二次函数其实也就是抛物线，所以 x2=2py 的焦点为（0， ），准线方程为 y= ﹣ ，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④平移：当 y=a（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成 y=a（x﹣1+b）2+c； 例题：y=2x2+x﹣3 那么由 2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为 x=﹣ ，最小值为 f（﹣ ） =﹣ ，；△=1+24=25＞0，故方程 2x2+x﹣3=0 有两个根，其满足 x1+x2=﹣ ；x1•x2= ﹣ ； 另外，方程可以写成（y+ ）=2（x+ ）2，当沿 x 轴向右 ，在向下平移 时，就变成 y=2x2； 【命题方向】 重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当 做要灵活运用韦达定理． 7．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 8．导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f （x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），是极大值 点． 2、极小值 一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x） ＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），是极小 值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极 小值，如下图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而 f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别 f（x0）式极大值、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格．检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么 f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3） 是极小值，f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值 是 f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如 函数 f（x）= 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的． （3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下： （1）求 f（x）在（a，b）内的极值； （2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f （x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 9．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 10．数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的 前一项 an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式． 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：an= ． 在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系，是本讲内容一个重点，要认 真掌握． 注意：（1）用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了 吗？（n≥2，当 n=1 时，a1=S1）；若 a1 适合由 an 的表达式，则 an 不必表达成分 段形式，可化统一为一个式子． （2）一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式 an=Sn﹣ Sn﹣1，先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式，然后再求解． 3、数列的通项的求法： （1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． （2）已知 Sn（即 a1+a2+…+an=f（n））求 an，用作差法：an= ．一 般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件 转化为只含 或 的关系式，然后再求解． （3）已知 a1•a2…an=f（n）求 an，用作商法：an，= ． （4）若 an+1﹣an=f（n）求 an，用累加法：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2 ﹣a1）+a1（n≥2）． （5）已知 =f（n）求 an，用累乘法：an= （n≥2）． （6）已知递推关系求 an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地 有， ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后，再求 an． ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项． （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进 行证明． 11．数列与不等式的综合 【知识点的知识】 证明与数列求和有关的不等式基本方法： （1）直接将数列求和后放缩； （2）先将通项放缩后求和； （3）先将通项放缩后求和再放缩； （4）尝试用数学归纳法证明． 常用的放缩方法有： ， ， ， = [ ] ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ （n≥2）， ＜ = （ ）（n≥2）， ， 2（ ）= ＜ = ＜ =2（ ）． …+ ≥ …+ = = ＜ ． 【解题方法点拨】 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而 充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成 为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往 是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰 当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： （1）添加或舍去一些项，如： ＞|a|； ＞n； （2）将分子或分母放大（或缩小）； （3）利用基本不等式； ＜ ； （4）二项式放缩； （5）利用常用结论； （6）利用函数单调性． （7）常见模型： ①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模 型；⑥基本不等式模型． 【典型例题分析】 题型一：等比模型 典例 1：对于任意的 n ∈ N*，数列{an}满足 =n+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：对于 n≥2， ． 解答：（Ⅰ）由 ①， 当 n≥2 时，得 ②， ①﹣②得 ． ∴ ． 又 ，得 a1=7 不适合上式． 综上得 ； （Ⅱ）证明：当 n≥2 时， ． ∴ = ． ∴当 n≥2 时， ． 题型二：裂项相消模型 典例 2：数列{an}的各项均为正数，Sn 为其前 n 项和，对于任意 n ∈ N*，总有 an， Sn，an2 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证： ． 分析：（1）根据 an=Sn﹣Sn﹣1，整理得 an﹣an﹣1=1（n≥2）进而可判断出数列{an} 是公差为 1 的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案． （2）由（1）知 ，因为 ，所以 ，从而 得证． 解答：（1）由已知：对于 n ∈ N*，总有 2Sn=an+an2①成立 ∴ （n≥2）② ①﹣②得 2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1） ∵an，an﹣1 均为正数，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时，2S1=a1+a12，解得 a1=1，∴an=n．（n ∈ N*） （2）解：由（1）可知 ∵ ∴ 【解题方法点拨】 （1）放缩的方向要一致． （2）放与缩要适度． （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或 后几项）． （4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不 慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入． 12．向量的模 【知识点的知识】 1、向量的模： 的大小，也就是 的长度（或称模），记作| |． 2、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为 0，方向不确 定． 3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 共线的单位向 量是 ）． 4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． 13．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 14．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 15．模拟方法估计概率 【知识点的知识】 1、模拟方法﹣﹣概率的应用 在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概 率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力， 并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概 率． 2、定义：向平面上有限区域（集合）G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 ⊊ G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P（点 M 落在 G1）= ，则称这种模型为几何概型． 说明：几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体 积之比或长度之比． 【解题方法点拨】 1、几何概型与古典概型的比较： 几何概型 古典概型 类 型 比 较 区 别 试验中所有可能出现的结果（基 本事件）有无限多个 试验的所有可能结果只有有限个，每次试 验只出现其中的一个结果 联 系 每个基本事件（每一个试验结果）出现的可能性相等 2、求解几何概型的步骤： （1）适当选择观察角度（一定要注意观察角度的等可能性）； （2）把基本事件转化为与之对应的区域； （3）把随机事件 A 转化为与之对应的区域； （4）利用概率公式计算． 3、如果事件 A 对应的区域不易处理，可以用其对立事件逆向求解．同时要注意 判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际 背景去判断． 16．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 17．排列、组合及简单计数问题 【知识点的知识】 1、排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类， 二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下 三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2、排列、组合问题几大解题方法： （1）直接法； （2）排除法； （3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待 整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”； （4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的 空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”； （5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再 排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后 再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则； （6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法； （7）平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 ； （8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题； （9）定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元 素都包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有 ； （10）指定元素排列组合问题： ①从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合），规定某 r 个元 素都包含在内．先 C 后 A 策略，排列 ；组合 ； ②从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定某 r 个元素 都不包含在内．先 C 后 A 策略，排列 ；组合 ； ③从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或 组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素．先 C 后 A 策略，排列 ；组 合 ． 18．二项式定理的应用 【知识点的知识】 二项式定理的应用： （1）求特征项：先求通项公式，再求满足条件的 r； （2）求二项式系数及项的系数的问题： ①二次项系数：每项中的组合数 ②项的系数：除去变量以外的部分 （3）证明组合恒等式问题：熟记组合数的各个性质； （4）整除、余数的问题：通常把底数适当地拆成两项之和或之差，再按二项式 定理展开推得所求结论； （5）近似计算的问题：一般地，当 a 较小时，（1+a）n≈1+na *记清二项展开式的特点，熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的 关键． 19．三角函数的化简求值 【知识点的知识】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 （1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合 理的拆分，从而正确使用公式． （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的 有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的 有“遇到分式要通分”等． 20．三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数 f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f（x）的最小正周期． ③函数 y=Asin（ωx+φ），x ∈ R 及函数 y=Acos（ωx+φ）；x ∈ R（其中 A、ω、φ为常 数，且 A≠0，ω＞0）的周期 T= ． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数 y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0 时，才能 把ωx+φ看作一个整体，代入 y=sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y=sin x，x ∈ [0，2π]，y=cos x，x ∈ [0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x） ②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和 y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为 ，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为 ． ③利用图象．图象重复的 x 的长度． 21．正弦函数的单调性 【知识点的知识】 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判 定． 2．求形如 y=Asin（ωx+φ）或 y=Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要 视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导 公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 22．三角形中的几何计算 【知识点的知识】 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和 角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角， 求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）三角形常用面积公式 ①S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； ②S= absinC= acsinB= bcsinA． ③S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形 把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求 解． 3、几何计算最值问题： （1）常见的求函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 y 来表示 x，再由 x 的取值范围，通过解不等 式，得出 y 的取值范围； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域． ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域． （2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况： ①当角度在 0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0． ②当角度在 90°～180°间变化时， 正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0． 23．椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段 A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和 2b， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用 e 表示，即：e= ， 且 0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e 越大越接近 1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近 0，椭圆越圆．当且仅当 a=b 时，c=0，椭圆变为圆，方程为 x2+y2=a2． 5．椭圆中的关系：a2=b2+c2． 24．直线与抛物线的位置关系 v． 25．圆锥曲线的最值问题 v． 26．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 27．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 28．直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影 所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为 90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为 0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜 线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体 的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影 所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各 线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合 的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线 就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有 无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交 直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯 一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定 义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角． 29．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等．