2007年上海市数学中考

2007年上海市数学中考

2007 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷 考生注意： 1．本卷含四大题，共 25 题； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、填空题：（本大题共 12 题，满分 36 分）[只要求直接写出结果，每个空格填对得 3 分， 否则得零分] 1．计算： 2( 3)  ． 2．分解因式： 222a ab ． 3．化简： 11 1xx ． 4．已知函数 3() 2fx x  ，则 (1)f  ． 5．函数 2yx的定义域是 ． 6．若方程 2 2 1 0xx   的两个实数根为 1x ， 2x ，则 12xx ． 7．方程 12x的根是 ． 8．如图 1，正比例函数图象经过点 A ，该函数解析式是 ． 9．如图 2，E 为平行四边形 ABCD的边 BC 延长线上一点，连结 AE ，交边CD 于点 F ．在 不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ． 10．如果两个圆的一条外公切线长等于 5，另一条外公切线长等于 23a  ，那么 a  ． 11．如图 3，在直角坐标平面内，线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，且 2AB  ，如果将线 段 AB 沿 y 轴翻折，点 A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是 ． 图 1 x y A O 1 3 图 2 B C D E F 图 3 x y B A O 图 4 12．图 4 是 44 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图 4 中黑色 部分是一个中心对称图形． 二、选择题：（本大题共 4 题，满分 16 分） 【下列各题的四个结论中，有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆 括号内，选对得 4 分；不选、错选或者多选得零分】 13．在下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是（ ） A． 2a B． 23a C． 3a D． 4a 14．如果一次函数 y kx b的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（ ） A． 0k  ， 0b  B． 0k  ， 0b  C． 0k  ， 0b  D． 0k  ， 0b  15．已知四边形 ABCD中， 90A B C  ∠ ∠ ∠ ，如果添加一个条件，即可推出该四边 形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A． 90D ∠ B． AB CD C． AD BC D． BC CD 16．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图 5 所示，为配到与原来大小一样 的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 三、（本大题共 5 题，满分 48 分） 17．（本题满分 9 分） 解不等式组： 30 43 3 2 6 x xx     ， ，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本题满分 9 分） 解方程： 2 2 3 2 1 011 x x x xx  ． 19．（ 本题满分 10 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 4 分） 如图 6，在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为(10 0)， ，点 B 在第一象限内， 5BO  ， 3sin 5BOA ∠ ． 求：（1）点 B 的坐标；（2）cos BAO∠ 的值． 20．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 4 分，第（2），（ 3）小题满分各 3 分） 5 1 4 3 2 0 1 2 3 4 5 图 6 x O B y 图 5 初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．小 丽调查了初二电脑爱好者中 40 名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为 2.5 小时；小杰从全体初二学生名单中随机抽取了 40 名学生，调查了他们每周上网的时间， 算得这些学生平均每周上网时间为 1.2 小时．小丽与小杰整理各自样数据，如表一所示．请 根据上述信息，回答下列问题： （1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？答： ； 估计该校全体初二学生平均每周上网时间为 小时； （2）根据具体代表性的样本，把图 7 中的频数分布直方图补画完整； （3）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是 小时/周． 时间段 （小时／周） 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数 0～1 6 22 1～2 10 10 2～3 16 6 3～4 8 2 （每组可含最低值，不含最高值） 表一 21．（本题满分 10 分） 2001 年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为 269 亿元，五次药品降价的 年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了 2003 年、2007 年相关数据．已知 2007 年药 品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 2003 年和 2007 年的药品降 价金额． 年份 2001 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元） 54 35 40 表二 四、（本大题共 4 题，满分 50 分） 22．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 (1 4)A ， ，且过点 (3 0)B ， ． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写 出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 图 7 （每组可含最低值，不含最高值） 0 1 2 3 4 小时/周 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 人数 23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 如图 8，在梯形 ABCD中， AD BC∥ ，CA 平分 BCD∠ ， DE AC∥ ，交 BC 的延长线 于点 E ， 2BE∠ ∠ ． （1）求证： AB DC ； （2）若 tg 2B  ， 5AB  ，求边 BC 的长． 24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分） 如图 9，在直角坐标平面内，函数 my x （ 0x  ，m 是常数）的图象经过 (14)A ， ， ()B a b， ， 其中 1a  ．过点 A 作 x 轴垂线，垂足为C ，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D ，连结 AD ，DC ， CB ． （1）若 ABD△ 的面积为 4，求点 B 的坐标； （2）求证： DC AB∥ ； （3）当 AD BC 时，求直线 AB 的函数解析式． 25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2），（ 3）小题满分各 5 分） 已知： 60MAN ∠ ，点 B 在射线 AM 上， 4AB  （如图 10）． P 为直线 AN 上一动点， 以 BP 为边作等边三角形 BPQ （点 BPQ， ， 按顺时针排列），O 是 BPQ△ 的外心． （1）当点 P 在射线 AN 上运动时，求证：点O 在 MAN∠ 的平分线上； （2）当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合）时，AO 与 BP 交于点C ，设 AP x ， AC AO y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）若点 D 在射线 AN 上， 2AD  ，圆 I 为 ABD△ 的内切圆．当 BPQ△ 的边 BP 或 BQ 与圆 I 相切时，请直接写出点 A 与点O 的距离． A B C D E 图 8 图 9 x C O D B A y A B M Q N P O 图 10 备用图 2007 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷答案要点与评分标准 说明： 1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评 分标准相应评分． 2．第一大题只要求直接写出结果，每个空格填对得 3 分，否则得零分；第二大题每题选对 得 4 分，不选、错选或者多选得零分；17 题至 25 题中右端所注的分数，表示考生正确做对 这一步应得分数，评分时，给分或扣分均以 1 分为单位． 答案要点与评分标准 一、填空题（本大题共 12 题，满分 36 分） 1．3 2． 2 ( )a a b 3． 1 ( 1)xx 4．1 5． 2x≥ 6．2 7． 3x  8． 3yx 9． AFD EFC△ ∽△ （或 EFC EAB△ ∽△ ，或 EAB AFD△ ∽△ ） 10．1 11． 2 12．答案见图 1 二、选择题（本大题共 4 题，满分 16 分） 13． C 14．B 15．D 16．B 三、（本大题共 5 题，满分 48 分） 17．解：由30x，解得 3x  ． ··································································· 3 分 由 43 3 2 6 xx   ，解得 1x  ． ······································································· 3 分 不等式组的解集是 13x   ． ······································································ 1 分 解集在数轴上表示正确． ················································································· 2 分 18．解：去分母，得 2 3 (2 1)( 1) 0x x x x     ， ··············································· 3 分 整理，得 23 2 1 0xx   ， ·············································································· 2 分 解方程，得 12 11 3xx  ， ． ·········································································· 2 分 经检验， 1 1x  是增根， 2 1 3x  是原方程的根，原方程的根是 1 3x  ． ·············· 2 分 19．解：（1）如图 2，作 BH OA ，垂足为 H ， ················································· 1 分 在 Rt OHB△ 中， 5BO  ， 3sin 5BOA， 3BH． ·································································································· 2 分 图 1 4OH．……………………………… 1 分 点 B 的坐标为(4 3)， ．……………………2 分 （2） 10OA  ， 4OH  ， 6AH．………………1 分 在 Rt AHB△ 中， 3BH  ， 35AB ．………… 1 分 25cos 5 AHBAO AB    ．………………………………2 分 20．（ 1）小杰；1.2． ·············································································· 2 分，2 分 （2）直方图正确． ························································································· 3 分 （3）0~1． ··································································································· 3 分 21．解：[解法一]设 2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 x 亿元、 y 亿元． ·········· 1 分 根据题意，得 2 2 6 54 35 40 269 yx xy        ……………………………………………………………… 分 ……………………………………………… 分 解方程组，得 2 2 20 120 x y    ……………………………………………………………………… 分 ……………………………………………………………………… 分 答：2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 20 亿元和 120 亿元． ·························· 1 分 [解法二]设 2003 年的药品降价金额为 x 亿元， ······················································ 1 分 则 2007 年的药品降价金额为 6x 亿元． ······························································· 2 分 根据题意，得54 35 40 6 269xx     ． ························································ 2 分 解方程，得 20x  ， 6 120x ． ···································································· 4 分 答：2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 20 亿元和 120 亿元． ·························· 1 分 四、（本大题共 4 题，满分 50 分） 22．解：（1）设二次函数解析式为 2( 1) 4y a x   ， ··········································· 2 分 二次函数图象过点 (3 0)B ， ， 0 4 4a   ，得 1a  ． ········································· 3 分 二次函数解析式为 2( 1) 4yx   ，即 2 23y x x   ． ···································· 1 分 （2）令 0y  ，得 2 2 3 0xx   ，解方程，得 1 3x  ， 2 1x  ． ·························· 2 分 二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别为(3 0)， 和( 1 0) ， ． 二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点． ············································· 2 分 平移后所得图象与 x 轴的另一个交点坐标为(4 0)， ． ··············································· 2 分 23．（ 1）证明： DE AC∥ ， BCA E   ． ·························································································· 1 分 CA平分 BCD ， 2BCD BCA   ， ···················································································· 1 分 2BCD E   ， ························································································ 1 分 A y H O 图 2 x B 又 2BE   ， B BCD   ． ·························································································· 1 分 梯形 ABCD是等腰梯形，即 AB DC ． ························································· 2 分 （2）解：如图 3，作 AF BC ， DG BC ， 垂足分别为 FG， ，则 AF DG∥ ． 在 Rt AFB△ 中， tg 2B  ， 2AF BF ．…………1 分 又 5AB  ，且 2 2 2AB AF BF， 2254BF BF   ，得 1BF  ．……………………1 分 同理可知，在 Rt DGC△ 中， 1CG  ．……………1 分 AD BC∥ ， DAC ACB   ． 又 ACB ACD   ， DAC ACD   ， AD DC． 5DC AB， 5AD． ···································································· 1 分 AD BC∥ ， AF DG∥ ，四边形 AFGD 是平行四边形， 5FG AD   ． ···· 1 分 25BC BF FG GC      ．··································································· 1 分 24．（ 1）解： 函数 (0myxx， m 是常数）图象经过 (14)A ， ， 4m． ··········· 1 分 设 BD AC， 交于点 E ，据题意，可得 B 点的坐标为 4a a   ， ， D 点的坐标为 40 a   ， ， E 点的坐标为 41 a   ， ， ···················································································· 1 分 1a  ， DB a， 44AE a ． 由 ABD△ 的面积为 4，即 14442 a a  ， ······················································· 1 分 得 3a  ，点 B 的坐标为 43 3   ， ． ··································································· 1 分 （2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)， ， 1DE  ， 1a  ，易得 4EC a ， 1BE a， 1 11 BE a aDE     ， 44 14 AE a aCE a     ． ····················································· 2 分 A B C F G E D 图 3 BE AE DE CE． ······························································································ 1 分 DC AB ∥ ． ······························································································ 1 分 （3）解： DC AB∥ ，当 AD BC 时，有两种情况： ①当 AD BC∥ 时，四边形 ADCB是平行四边形， 由（2）得， 1BE AE aDE CE   ， 11a   ，得 2a  ． 点 B 的坐标是（2，2）． ··············································································· 1 分 设直线 AB 的函数解析式为 y kx b，把点 AB， 的坐标代入， 得 4 22 kb kb    ， 解得 2 6. k b    ， 直线 AB 的函数解析式是 26yx   ． ··························································· 1 分 ②当 AD 与 BC 所在直线不平行时，四边形 ADCB是等腰梯形， 则 BD AC ， 4a，点 B 的坐标是（4，1）． ············································· 1 分 设直线 AB 的函数解析式为 y kx b，把点 AB， 的坐标代入， 得 4 1 4 . kb kb    ， 解得 1 5 k b    ， 直线 AB 的函数解析式是 5yx   ． ····························································· 1 分 综上所述，所求直线 AB 的函数解析式是 26yx   或 5yx   ． 25．（ 1）证明：如图 4，连结OB OP， ， O 是等边三角形 BPQ 的外心， OB OP， ··················································· 1 分 圆心角 360 1203BOP   ． 当OB 不垂直于 AM 时，作OH AM ，OT AN ，垂足分别为 HT， ． 由 360HOT A AHO ATO        ，且 60A ， 90AHO ATO    ， 120HOT  ． BOH POT   ． ····················································································· 1 分 Rt RtBOH POT △ ≌ △ ． ··········································································· 1 分 OH OT．点O 在 MAN 的平分线上． ···················································· 1 分 当OB AM 时， 360 90APO A BOP OBA      ． 即OP AN ，点O 在 MAN 的平分线上． 综上所述，当点 P 在射线 AN 上运动时，点O 在 MAN 的平分线上． （2）解：如图 5， AO 平分 MAN ，且 60MAN， 30BAO PAO    ． ·············································································· 1 分 由（1）知，OB OP ， 120BOP， 30CBO  ， CBO PAC   ． BCO PCA   ， AOB APC   ． ························································· 1 分 ABO ACP△ ∽△ ． AB AO AC AP． AC AO AB AP． 4yx ． ·············································· 1 分 定义域为： 0x  ．························································································· 1 分 （3）解：①如图 6，当 BP 与圆 I 相切时， 23AO  ； ······································· 2 分 ②如图 7，当 BP 与圆 I 相切时， 4 33AO  ； ··················································· 1 分 ③如图 8，当 BQ 与圆 I 相切时， 0AO  ． ························································ 2 分 A B M Q N P ()D I O 图 6 ()PA D 图 7 P ()A 图 8 H 图 4 T C 图 5