上海市中考数学试卷

上海市中考数学试卷

‎2004年上海市中考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题2分，满分28分）‎ ‎1．（2分）计算：（a﹣2b）（a+2b）=　　．‎ ‎2．（2分）不等式组整数解是　　．‎ ‎3．（2分）函数的定义域是　　．‎ ‎4．（2分）方程=x﹣1的根是　　．‎ ‎5．（2分）用换元法解方程：x2++x+=0时，如果设y=x+，那么原方程可化为　　．‎ ‎6．（2分）一个射击运动员连续射靶5次所得环数分别为8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的方差为　　．‎ ‎7．（2分）已知a＜b＜0，则点A（a﹣b，b）在第　　象限．‎ ‎8．（2分）正六边形是轴对称图形，它有　　条对称轴．‎ ‎9．（2分）在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为　　．‎ ‎10．（2分）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=　　（用b和θ的三角比表示）．‎ ‎11．（2分）某山路坡面坡度i=1：，沿此山路向上前进200米，升高了　　米．‎ ‎12．（2分）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为　　．‎ ‎13．（2分）已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为　　cm．‎ ‎14．（2分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎15．（3分）下列运算，计算结果正确的是（　　）‎ A．a4•a3=a12 B．a6÷a3=a2 C．（a3）2=a5 D．a3•b3=（a•b）3‎ ‎16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（　　）‎ A．△DBE B．△ADB C．△ABD D．△BDC ‎17．（3分）下列命题中，不正确的是（　　）‎ A．一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外 B．一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线 C．两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线 D．圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点 ‎18．（3分）在函数y=（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（　　）‎ A．y1＜0＜y2 B．y3＜0＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分80分）‎ ‎19．（7分）化简：．‎ ‎20．（7分）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．‎ ‎21．（7分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8．‎ ‎（1）求BE的长；‎ ‎（2）求∠CDE的正切值．‎ ‎22．（7分）某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得表一；随后汇总成样本数据，得到部分结果，如表二．‎ 表一：‎ 人数/人 平均分/分 甲组 ‎100‎ ‎94‎ 乙组 ‎80‎ ‎90‎ 表二 分数段 频数 等级 ‎0≤x＜60‎ ‎3‎ C ‎60≤x＜72‎ ‎6‎ ‎72≤x＜84‎ ‎36‎ B ‎84≤x＜96‎ ‎96≤x＜108‎ ‎50‎ A ‎108≤x＜120‎ ‎13‎ 请根据表一、表二所示的信息回答下列问题：‎ ‎（1）样本中，学生的数学成绩的平均分数约为　　分（结果精确到0.1分）；‎ ‎（2）样本中，数学成绩在（84，96）分数段的频数　　，等级为A的人数占抽样学生总数的百分比为　　，中位数所在的分数段为　　；‎ ‎（3）估计这8000名学生成绩的平均分数约为　　分．（结果精确到0.1分）‎ ‎23．（10分）在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．‎ ‎（1）求证：DF=BE；‎ ‎（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．‎ ‎25．（10分）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？‎ ‎26．（10分）附加题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，⊙A的半径为1，如图所示．若点O在BC上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．‎ ‎（1）求关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相外切时，△AOC的面积．‎ ‎27．（12分）数学课上，老师提出：‎ 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．‎ 同学发现两个结论：‎ ‎①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：xC•xD=﹣yH ‎（1）请你验证结论①和结论②成立；‎ ‎（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；‎ ‎（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）‎ ‎　‎ ‎2004年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题2分，满分28分）‎ ‎1．（2分）（2004•上海）计算：（a﹣2b）（a+2b）=　a2﹣4b2　．‎ ‎【考点】4F：平方差公式．菁优网版权所有 ‎【分析】本题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，a是相同的项，互为相反项是2b与﹣2b．所以可利用平方差公式计算．‎ ‎【解答】解：（a﹣2b）（a+2b）=a2﹣4b2．‎ 故答案为：a2﹣4b2．‎ ‎【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）（2004•上海）不等式组整数解是　0，1　．‎ ‎【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到整数解．‎ ‎【解答】解：由（1）得x，‎ 由（2）得x＞﹣，‎ 所以解集为﹣＜x＜，‎ 则整数解是0，1．‎ ‎【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）（2004•上海）函数的定义域是　x＞﹣1　．‎ ‎【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有 ‎【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+1＞0，‎ 解得：x＞﹣1．‎ ‎【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）（2004•上海）方程=x﹣1的根是　x=3　．‎ ‎【考点】AG：无理方程．菁优网版权所有 ‎【分析】把方程两边平方去根号后求解，注意检验．‎ ‎【解答】解：两边平方得7﹣x=（x﹣1）2，‎ 即（x+2）（x﹣3）=0，‎ 解得：x=﹣2或x=3，‎ 代入原方程，当x=﹣2时，左边==3，右边=﹣3，原方成不成立．‎ 当x=3时，左边=，右边=2，原方程成立．‎ 故方程=x﹣1的根是x=3，‎ 故本题答案为：x=3．‎ ‎【点评】在解无理方程时最常用的方法是换元法或两边平方法，用此类方法解得答案时要验根．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）（2004•上海）用换元法解方程：x2++x+=0时，如果设y=x+，那么原方程可化为　y2+y﹣2=0　．‎ ‎【考点】B4：换元法解分式方程．菁优网版权所有 ‎【专题】43 ：换元法．‎ ‎【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是利用平方关系寻找x2+与y的关系．‎ ‎【解答】解：因为y=x+，所以y2=2，‎ 整理得x2++2=y2，即：x2+=y2﹣2．‎ 所以原方程可化为y2+y﹣2=0．‎ ‎【点评】用换元法解分式方程时一种常用的方法，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）（2004•上海）一个射击运动员连续射靶5次所得环数分别为8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的方差为　2　．‎ ‎【考点】W7：方差．菁优网版权所有 ‎【专题】21 ：阅读型．‎ ‎【分析】先求出数据的平均数，再根据方差的公式求方差．‎ ‎【解答】解：数据8，6，10，7，9，的平均数=（8+6+10+7+9）=8，‎ 方差=[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=2．‎ 故填2．‎ ‎【点评】本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎　‎ ‎7．（2分）（2004•上海）已知a＜b＜0，则点A（a﹣b，b）在第　三　象限．‎ ‎【考点】D1：点的坐标．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据a＜b＜0判断出a﹣b＜‎ ‎0，再根据点在坐标系中各象限的坐标特点解答．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴a﹣b＜0，‎ ‎∴点A（a﹣b，b）的横坐标小于0，纵坐标小于0，符合点在第三象限的条件，‎ 故答案填：三．‎ ‎【点评】本题主要考查了点在第三象限内坐标的符号特征，比较简单．‎ ‎　‎ ‎8．（2分）（2004•上海）正六边形是轴对称图形，它有　6　条对称轴．‎ ‎【考点】P2：轴对称的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据轴对称图形的特点可直接求解．‎ ‎【解答】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．‎ ‎∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．‎ ‎【点评】轴对称图形具有以下的性质：‎ ‎（1）轴对称图形的两部分是全等的；‎ ‎（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．‎ ‎　‎ ‎9．（2分）（2005•资阳）在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为　1：9　．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由已知可证△ADE∽△ABC，可求相似比为1：3，所以△ADE与△ABC的面积比为1：9．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC．‎ ‎∴△ADE∽△ABC．‎ ‎∵AD=1，DB=2‎ ‎∴AD：AB=1：3‎ ‎∴△ADE与△ABC的面积比为1：9．‎ ‎【点评】此题主要考查相似三角形的面积的比等于相似比的平方的运用．‎ ‎　‎ ‎10．（2分）（2004•上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=　b•cotθ　（用b和θ的三角比表示）．‎ ‎【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】根据三角函数定义求解．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠A=90°，BC为斜边，‎ ‎∴AB=AC•cot∠B=b•cotθ．‎ ‎【点评】本题考查三角函数定义的应用．‎ ‎　‎ ‎11．（2分）（2004•上海）某山路坡面坡度i=1：，沿此山路向上前进200米，升高了　10　米．‎ ‎【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】根据垂直高度与水平宽度的比得到垂直高度与斜坡的比，代入相应的数值计算求解．‎ ‎【解答】解：∵坡面坡度i=1：，‎ ‎∴山坡的垂直距离：山坡的水平距离=1：．‎ 设斜面高为t，长为t，‎ 由勾股定理的：=20t ‎∴山坡的坡长：山坡的垂直距离=20：1．‎ 沿山路行进200米，坡长=200米．‎ ‎∴山坡的垂直距离应为10米，即升高了10米．‎ ‎【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中进行解决．要注意的是坡度是坡角的正切函数．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）（2004•上海）在△ABC中，点G是重心，若BC边上的高为6，则点G到BC的距离为　2　．‎ ‎【考点】K5：三角形的重心．菁优网版权所有 ‎【分析】根据重心的性质，可知AG=2GN，即则=，可求则=‎ ‎，则点G到BC的距离是GM．‎ ‎【解答】解：连接AG并延长交BC与N，过G作GM⊥BC于M，‎ 根据点G是重心，则AG=2GN，‎ 则=，‎ 因而GM=2，‎ 则点G到BC的距离为2．‎ ‎【点评】正确理解重心的性质，转化为三角形相似问题是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2分）（2004•上海）已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为　5　cm．‎ ‎【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KQ：勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．‎ ‎【解答】解：∵直角边长分别为6cm和8cm，‎ ‎∴斜边是10，‎ ‎∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm．‎ ‎【点评】熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边．注意：直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）（2009•毕节地区）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　　．‎ ‎【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．‎ ‎【解答】解：连接CH．‎ ‎∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，‎ ‎∴∠F=∠D=90°，‎ ‎∴△CFH与△CDH都是直角三角形，‎ 在Rt△CFH与Rt△CDH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CFH≌△CDH（HL）．‎ ‎∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．‎ 在Rt△CDH中，CD=3，‎ ‎∴DH=tan∠DCH×CD=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎15．（3分）（2004•上海）下列运算，计算结果正确的是（　　）‎ A．a4•a3=a12 B．a6÷a3=a2 C．（a3）2=a5 D．a3•b3=（a•b）3‎ ‎【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 ‎【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、应为a4•3=a7，故本选项错误；‎ B、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；‎ C、应为（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误；‎ D、a3•b3=（a•b）3，正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】要正确把本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2004•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（　　）‎ A．△DBE B．△ADB C．△ABD D．△BDC ‎【考点】S8：相似三角形的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．‎ ‎【解答】解：因为DE∥BC，直接得出△ABC∽△AED，易得各个角的度数，‎ 发现△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等，所以它们相似．‎ ‎∴相似的有△ADE、△BDC．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2004•上海）下列命题中，不正确的是（　　）‎ A．一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外 B．一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线 C．两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线 D．圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点 ‎【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】根据圆的有关性质即可作出判断．‎ ‎【解答】解：因为半径等于圆心到圆的距离，如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外，A正确；‎ 一条直线垂直于圆的半径，这条直线可能是圆的割线，B不正确；‎ 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆相切，有三条公切线，C正确；‎ 因为半径等于圆心到圆的距离，圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线一定经过园内，与圆有两个交点，D正确；‎ 故选B．‎ ‎【点评】要注意半径等于圆心到圆的距离，由此来判断点或直线与圆的位置关系．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2004•上海）在函数y=（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（　　）‎ A．y1＜0＜y2 B．y3＜0＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2‎ ‎【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可．‎ ‎【解答】解：∵k＞0，函数图象如图，‎ ‎∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，‎ ‎∵x1＜x2＜0＜x3，‎ ‎∴y2＜y1＜y3．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了由反比例函数的性质确定函数图象上点的坐标特征，综合性较强．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分80分）‎ ‎19．（7分）（2004•上海）化简：．‎ ‎【考点】2C：实数的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11 ：计算题．‎ ‎【分析】先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求解．‎ ‎【解答】解：原式=（2分）‎ ‎=（2分），‎ ‎=3（4分）．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数的运算，其中二次根式的加减，实质就是合并同类二次根式，与合并同类项类似，被开方数及根指数不变，只把它们的系数相加减．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）（2004•上海）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．‎ ‎【考点】‎ AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．‎ ‎【解答】解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）=1‎ ‎∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3=0，‎ 解得，x1=1，x2=3/2．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2004•上海）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8．‎ ‎（1）求BE的长；‎ ‎（2）求∠CDE的正切值．‎ ‎【考点】LJ：等腰梯形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】152：几何综合题．‎ ‎【分析】（1）由题意得△BFE≌△DFE从而得到DE=BE，由已知可求得EC的值，从而可得到BE的长；‎ ‎（2）已知DE=BE，则根据正切公式即可求得其值．‎ ‎【解答】解：（1）∵△DFE是△BFE翻折而成，‎ ‎∴△BFE≌△DFE，‎ ‎∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，‎ ‎∴∠BDE=∠DBE=45°‎ ‎∴∠DEB=90度．即DE⊥BC．（1分）‎ 在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，‎ ‎∴EC=（BC﹣AD）=3．‎ ‎∴BE=BC﹣EC=5；（3分）‎ ‎（2）由（1）得，DE=BE=5．‎ 在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，‎ 所以tan∠CDE=．（5分）‎ ‎【点评】此题主要考查学生对等腰梯形的性质的理解及运用．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2010•呼和浩特）某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得表一；随后汇总成样本数据，得到部分结果，如表二．‎ 表一：‎ 人数/人 平均分/分 甲组 ‎100‎ ‎94‎ 乙组 ‎80‎ ‎90‎ 表二 分数段 频数 等级 ‎0≤x＜60‎ ‎3‎ C ‎60≤x＜72‎ ‎6‎ ‎72≤x＜84‎ ‎36‎ B ‎84≤x＜96‎ ‎96≤x＜108‎ ‎50‎ A ‎108≤x＜120‎ ‎13‎ 请根据表一、表二所示的信息回答下列问题：‎ ‎（1）样本中，学生的数学成绩的平均分数约为　92.2　分（结果精确到0.1分）；‎ ‎（2）样本中，数学成绩在（84，96）分数段的频数　72　，等级为A的人数占抽样学生总数的百分比为　35%　，中位数所在的分数段为　（84，96）　；‎ ‎（3）估计这8000名学生成绩的平均分数约为　92.2　分．（结果精确到0.1分）‎ ‎【考点】V7：频数（率）分布表；V5：用样本估计总体；V6：频数与频率；W1：算术平均数；W4：中位数．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）样本中，学生的数学成绩的平均分数可以用（100×94+80×90）÷（100+80）计算得到；‎ ‎（2）用40%×180就可以得到数学成绩在84﹣96分数段的频数，等级为A的人数为63，而总人数为180，所以等级为A的人数占抽样学生总数的百分比可以用63÷180计算得到；‎ ‎（3）用样本去估计总体的思想就可以得到8000名学生成绩的平均分数．‎ ‎【解答】解：（1）学生的数学成绩的平均分数为：（100×94+80×90）÷（100+80）=92.2；‎ ‎（2）数学成绩在84﹣96分数段的频数为180﹣（3+6+36+50+13）=72，‎ 等级为A的人数占抽样学生总数的百分比为63÷180=35%；‎ 第90个数和第91个数都在（84，96）分数段，所以中位数所在的分数段为（84，96）．‎ ‎（3）8000名学生成绩的平均分数为92.2分．‎ 故填92.2；72，35%，（84，96）；92.2．‎ ‎【点评】此题考查了平均数、中位数、频率、频数的定义，也考查了用样本去估计总体的思想．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2004•上海）在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+‎ ‎（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．‎ ‎【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）把（x1+1）（x2+1）=﹣8展开即可得到与根与系数有关的式子，让二次函数的函数值为0，结合求值即可；‎ ‎（2）可根据顶点式得到平移后的解析式，求得P，C坐标，S△POC=×|OC|×P的横坐标的绝对值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知x1，x2是x2+（k﹣5）x﹣（k+4）=0的两根，‎ ‎∴‎ 又∵（x1+1）（x2+1）=﹣8‎ ‎∴x1x2+（x1+x2）+9=0‎ ‎∴﹣（k+4）﹣（k﹣5）+9=0‎ ‎∴k=5‎ ‎∴y=x2﹣9为所求；‎ ‎（2）由已知平移后的函数解析式为：‎ y=（x﹣2）2﹣9，且x=0时y=﹣5‎ ‎∴C（0，﹣5），P（2，﹣9）‎ ‎∴S△POC=×5×2=5．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数值为0时，与一元二次方程根与系数的关系．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2004•上海）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．‎ ‎（1）求证：DF=BE；‎ ‎（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．‎ ‎【考点】KX：三角形中位线定理；KG：线段垂直平分线的性质；L7：平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】14 ：证明题．‎ ‎【分析】（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HAEF是平行四边形，有HF=BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF=FD，故有FD=BE；‎ ‎（2）由于四边形DAEF是等腰梯形，有∠B=∠D，而AG∥BC有∠B=∠DAG，故有∠D=∠DAG⇒AG=DG．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，‎ ‎∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，‎ ‎∴AH=BH=AB，EF∥AB．‎ ‎∵AD=AB，‎ ‎∴AD=AH．‎ ‎∵CA⊥AB，‎ ‎∴CA是DH的中垂线．‎ ‎∴DF=FH．‎ ‎∵FH∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴四边形HFEB是平行四边形．‎ ‎∴FH=BE．‎ ‎∴BE=FD．‎ ‎（2）由（1）知BE=FD，‎ 又∵EF∥AD，‎ ‎∵EF＜BD，‎ ‎∴四边形DBEF是等腰梯形．‎ ‎∴∠B=∠D．‎ ‎∵AG∥BC，∠B=∠DAG，‎ ‎∴∠D=∠DAG．‎ ‎∴AG=DG．‎ ‎【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，中垂线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边对等角求解．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2004•上海）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有 ‎【分析】此题的关键是未知数的设置，读懂题意，应该设原计划每天加固的长度x米，然后根据“每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．”列出方程．‎ ‎【解答】解：设原计划每天加固的长度x米．‎ 由题意可得：．‎ 解之得：x=140或x=﹣160．（不合题意舍去）‎ 经检验：x=140是原方程的解．‎ 如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加224﹣140﹣20=64米．‎ 答：每天加固的长度还要再增加64米．‎ ‎【点评】利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2004•上海）附加题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，⊙A的半径为1，如图所示．若点O在BC上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．‎ ‎（1）求关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相外切时，△AOC的面积．‎ ‎【考点】MC：切线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题；25 ：动点型．‎ ‎【分析】（1）作AD⊥BC．根据y=S△ABC﹣S△ABO，建立y与x的函数关系式；‎ ‎（2）作AD⊥BC．根据两圆外切的定义，AO=2+x，应用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值，进而可得△AOC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）作AD⊥BC．‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=AC=，‎ ‎∴AD=2sin45°=2．‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△ABO=×2×2﹣×2x=4﹣x（0＜x＜4）；‎ ‎（2）当⊙O与⊙A相外切时，‎ 在等腰Rt△ABC中，AD=2，BD=2，则OD=2﹣x．‎ 在Rt△AOD中，（x+1）2=22+（2﹣x）2，解得x=，‎ 则△AOC的面积为OC•AD=×（OD+DC）×AD=×（2+2﹣）×2=．‎ ‎【点评】此题结合圆的相关概念，考查了利用面积关系建立函数关系式的能力．此类题目主要运用了转化思想和数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎27．（12分）（2004•上海）数学课上，老师提出：‎ 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．‎ 同学发现两个结论：‎ ‎①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：xC•xD=﹣yH ‎（1）请你验证结论①和结论②成立；‎ ‎（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；‎ ‎（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】16 ：压轴题．‎ ‎【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；‎ ‎（2）（3）的解法同（1）完全一样．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），‎ 由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，‎ 故点M的坐标为（2，2），‎ 所以S△CMD=1，S梯形ABMC=‎ 所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，‎ 即结论①成立．‎ 设直线CD的函数解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得 所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．‎ 由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2‎ 因为xC•xD=2，‎ 所以xC•xD=﹣yH，‎ 即结论②成立；‎ ‎（2）（1）的结论仍然成立．‎ 理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），‎ 由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，‎ 故点M的坐标为（2t，2t2），‎ 所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．‎ 所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，‎ 即结论①成立．‎ 设直线CD的函数解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得 所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；‎ 由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t2‎ 因为xC•xD=2t2，‎ 所以xC•xD=﹣yH，‎ 即结论②成立；‎ ‎（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），‎ 设直线CD的解析式为y=kx+b，‎ 则：，‎ 解得 所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），yH=﹣2at2．‎ 因为xC•xD=2t2，‎ 所以xC•xD=﹣yH．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：117173；wdxwwzy；蓝月梦；CJX；zhjh；MMCH；郝老师；zhangCF；yu123；自由人；py168；yingzi；ln_86；leikun；lanchong；bjf；心若在；mmll852；ljj；算术；智波；HLing；hnaylzhyk；wdxwzk；zcx；HJJ；lf2﹣9；Liuzhx；未来；王岑；438011（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月2日 考点卡片 ‎　‎ ‎1．实数的运算 ‎（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．‎ ‎（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．‎ 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．‎ ‎【规律方法】实数运算的“三个关键”‎ ‎1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．‎ ‎2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．‎ ‎3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．‎ ‎　‎ ‎2．同底数幂的乘法 ‎（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．‎ am•an=a m+n（m，n是正整数）‎ ‎（2）推广：am•an•ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）‎ 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．‎ ‎（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．‎ ‎　‎ ‎3．幂的乘方与积的乘方 ‎（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．‎ ‎（am）n=amn（m，n是正整数）‎ 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．‎ ‎（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．‎ ‎（ab）n=anbn（n是正整数）‎ 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．‎ ‎　‎ ‎4．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．‎ am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）‎ ‎①底数a≠0，因为0不能做除数；‎ ‎②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；‎ ‎③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．‎ ‎　‎ ‎5．平方差公式 ‎（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．‎ ‎（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2‎ ‎（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：‎ ‎①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；‎ ‎②右边是相同项的平方减去相反项的平方；‎ ‎③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；‎ ‎④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．‎ ‎　‎ ‎6．一元二次方程的定义 ‎（1）一元二次方程的定义：‎ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．‎ ‎（2）概念解析：‎ 一元二次方程必须同时满足三个条件：‎ ‎①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；‎ ‎②只含有一个未知数；‎ ‎③未知数的最高次数是2．‎ ‎（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．‎ ‎　‎ ‎7．解一元二次方程-因式分解法 ‎（1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．‎ 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．‎ ‎（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：‎ ‎①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．‎ ‎　‎ ‎8．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：‎ ‎①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；‎ ‎②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；‎ ‎③当△＜0时，方程无实数根．‎ 上面的结论反过来也成立．‎ ‎　‎ ‎9．无理方程 ‎（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．‎ ‎（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．‎ ‎　‎ ‎10．换元法解分式方程 ‎1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．‎ 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．‎ ‎2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．‎ ‎　‎ ‎11．分式方程的应用 ‎1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．‎ 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．‎ ‎2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等．‎ 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．‎ ‎　‎ ‎12．一元一次不等式组的整数解 ‎（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．‎ 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．‎ ‎（2）已知解集（整数解）求字母的取值．‎ 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．‎ ‎　‎ ‎13．点的坐标 ‎（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．‎ ‎（2）平面直角坐标系的相关概念 ‎①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．‎ ‎②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．‎ ‎（3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．‎ ‎（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．‎ ‎　‎ ‎14．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．‎ ‎①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．‎ ‎②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．‎ ‎③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．‎ ‎④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎15．反比例函数的性质 反比例函数的性质 ‎（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；‎ ‎（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；‎ ‎（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．‎ 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，‎ ‎①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；‎ ‎②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；‎ ‎③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．‎ ‎　‎ ‎17．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎　‎ ‎18．待定系数法求二次函数解析式 ‎（1）二次函数的解析式有三种常见形式：‎ ‎①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；‎ ‎（2）用待定系数法求二次函数的解析式．‎ 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．‎ ‎　‎ ‎19．抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．‎ ‎（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．‎ ‎△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．‎ ‎△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．‎ ‎　‎ ‎20．二次函数综合题 ‎（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．‎ ‎（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．‎ ‎（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎21．三角形的重心 ‎（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．‎ ‎（2）重心的性质：‎ ‎①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ‎ ‎②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．‎ ‎③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）‎ ‎　‎ ‎22．全等三角形的判定与性质 ‎（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ ‎（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．‎ ‎　‎ ‎23．线段垂直平分线的性质 ‎（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．‎ ‎（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．‎ ‎　‎ ‎24．勾股定理 ‎（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．‎ ‎（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．‎ ‎（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．‎ ‎　‎ ‎25．三角形中位线定理 ‎（1）三角形中位线定理：‎ ‎ 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎（2）几何语言：‎ 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC．‎ ‎　‎ ‎26．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．‎ 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．‎ 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．‎ ‎　‎ ‎27．正方形的性质 ‎（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎（2）正方形的性质 ‎①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；‎ ‎②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；‎ ‎③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．‎ ‎④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．‎ ‎　‎ ‎28．等腰梯形的性质 ‎（1）性质：‎ ‎①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；‎ ‎②等腰梯形同一底上的两个角相等；‎ ‎③等腰梯形的两条对角线相等．‎ ‎（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．‎ ‎　‎ ‎29．三角形的外接圆与外心 ‎（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．‎ ‎（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．‎ ‎（3）概念说明：‎ ‎①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．‎ ‎②‎ 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．‎ ‎③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．‎ ‎　‎ ‎30．切线的性质 ‎（1）切线的性质 ‎①圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ ‎③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎（2）切线的性质可总结如下：‎ 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．‎ ‎（3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．‎ ‎　‎ ‎31．命题与定理 ‎1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．‎ ‎2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．‎ ‎3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．‎ ‎4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．‎ ‎5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．‎ ‎　‎ ‎32．轴对称的性质 ‎（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．‎ 由轴对称的性质得到一下结论：‎ ‎①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；‎ ‎②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．‎ ‎（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．‎ ‎　‎ ‎33．旋转的性质 ‎（1）旋转的性质：‎ ‎　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．‎ ‎　‎ ‎34．相似三角形的判定 ‎（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；‎ 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．‎ ‎（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；‎ ‎（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；‎ ‎（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎35．相似三角形的判定与性质 ‎（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．‎ ‎（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．‎ ‎　‎ ‎36．解直角三角形 ‎（1）解直角三角形的定义 ‎ 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．‎ ‎（2）解直角三角形要用到的关系 ‎①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；‎ ‎②三边之间的关系：a2+b2=c2；‎ ‎③边角之间的关系：‎ sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．‎ ‎（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）‎ ‎　‎ ‎37．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 ‎（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．‎ ‎（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．‎ ‎（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．‎ 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．‎ ‎　‎ ‎38．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． ‎ ‎1、用样本的频率分布估计总体分布：‎ 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． ‎ ‎2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．‎ 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎　‎ ‎39．频数与频率 ‎（1）频数是指每个对象出现的次数．‎ ‎（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率=频数数据总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．‎ ‎　‎ ‎40．频数（率）分布表 ‎1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．‎ ‎2、列频率分布表的步骤：‎ ‎　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． ‎ ‎　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． ‎ ‎　　（3）将数据分组． ‎ ‎　　（4）列频率分布表．‎ ‎　‎ ‎41．算术平均数 ‎（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．‎ ‎（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x¯=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．‎ ‎（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．‎ ‎　‎ ‎42．中位数 ‎（1）中位数：‎ 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．‎ 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．‎ ‎（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．‎ ‎　‎ ‎43．方差 ‎（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．‎ ‎（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：‎ s2=1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）‎ ‎（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎　‎