高考中的抽象函数专题练习

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高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习 ‎1、下列结论:①函数和是同一函数;②函数的定义域为,则函数的定义域为;③函数的递增区间为;④若函数的最大值为,那么的最小值就是 其中正确的个数为 (         )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎2.定义在上的函数满足,且当时,,则等于(       )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知是定义在上的函数,且,,则值为(        )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知,方程在内有且只有一个根,则在区间内根的个数为(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数对任意实数,满足,且.若存在整数,使得 ,则取值的集合为______.‎ ‎6.定义在上的函数满足:,且函数为奇函数,对于下列命题:‎ ‎①函数满足;②函数图象关于点对称;③函数的图象关于直线对称;④函数的最大值为;⑤.‎ 其中正确的序号为_________.‎ ‎7.已知函数定义在上,对于任意的,有,且当时,.‎ 验证函数是否满足这些条件;‎ 若,且,求的值.‎ 若,试解关于的方程.‎ ‎8.已知函数满足:对于任意实数,都有恒成立,且当时,恒成立;‎ 求的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数;‎ 判定函数在上的单调性,并加以证明;‎ 若函数(其中)有三个零点,求的取值范围.‎ ‎9.已知函数满足对任意实数都有成立,且当时,,.‎ 求的值;‎ 判断在上的单调性,并证明;‎ 若对于任意给定的正实数,总能找到一个正实数,使得当时,,则称函数在处连续.‎ 试证明:在处连续.‎ ‎10.已知函数满足对一切都有,且,当时有.‎ 求的值;‎ 判断并证明函数在上的单调性;‎ 解不等式:.‎ ‎11.定义在上的函数,,当时,,且对任意实数,有,求证:‎ 证明:是上的增函数;‎ 若,求的取值范围.‎ ‎12.已知函数 对任意实数,都有,且当时,,,求在上的值域.‎ ‎13.已知是定义在上的增函数,且满足 ,  ‎ 求证:  ‎ 求不等式的解集.‎ 答案和解析 ‎ ‎1.答案:A 分析:因为函数的定义域为,的定义域为所以①不成立. 由函数的定义域为,所以所以函数要满足,所以函数的定义域为故②不成立,因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确,所以③不成立.因为函数与函数的图像关于轴对称,所以④不正确.故选 ‎2.答案:C 分析:由,得,,又,,,又时,,所以若,,,则在区间上,又,.‎ ‎3.答案:A 分析:∵,,令代入上式得,‎ ‎,令代入上式得,,函数 的周期,,故选.‎ ‎4.答案:C 分析:‎ ‎∴是一个周期为的函数;‎ ‎∴是一个偶函数;∵在内有且只有一个根,‎ 则在内有且只有一个根 又∵周期为,∴在内有且只有一个根 为的一个周期函数,有根;‎ 等价于也只有根;故内根的个数为个 ‎5.答案:‎ 分析:‎ ‎6.答案:①②③⑤‎ 分析:由得,则,所以的周期为,则①对,由为奇函数得的图像关于点对称,则②对,由为奇函数得,令得,又,,则③对,由得,故.‎ ‎7.答案:见解析 分析:由可得,即其定义域为 又 又当时,,∴,∴‎ 故满足这些条件.‎ 令,∴,令,有,‎ ‎∴为奇函数 由条件得,解得.‎ 设,则,‎ 则,‎ ‎∴在上是减函数 ‎∵,∴‎ 原方程即为,‎ ‎∴‎ 又∵,∴   故原方程的解为.‎ ‎8.答案:;函数在R上单调递增;‎ 分析:取代入题设中的‚式得: ‎ 特例: ‎ ‎ (验证)‎ 判定:在上单调递增 证明:任取且,则 ‎ ‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,所以函数在上单调递增 由 又由知在上单调递增,‎ 所以 ‎.‎ 构造由 或,∴,于是,题意等价于:‎ 与的图象有三个不同的交点(如上图,不妨设这三个零点),则  为的两根,即是一元二次方程的两根,∴,‎ ‎∴,(变量归一法),‎ 由在上单调递减,于是可得:.‎ ‎9.答案:见解析 分析:, ;‎ 设,则 ,.‎ 在上单调递增;‎ 令,得 ,,对任意,‎ ‎,‎ ‎,,        ‎ 又,,   ‎ 要证,对任意,‎ 当时,取,则当即时,由单增可得 即;‎ 当时,必存在使得,取,则当 即时,有,‎ 而,‎ ‎,综上,在处连续.‎ ‎10.答案:;见解析;,或 分析:令,得,,‎ 再令,得,‎ 即,从而. ‎ 任取,‎ ‎.   ‎ ‎∵,,即.‎ 在上是减函数. ‎ 由条件知,,    ‎ 设,则,即,‎ 整理,得,,‎ 而,不等式即为,‎ 又因为在上是减函数,,即,‎ ‎,从而所求不等式的解集为,或.‎ ‎11.答案:见解析 分析:令则∵∴ ‎ 任取,则∴  ∴ ‎ ‎∴在上是增函数 又,在上递增 ‎∴ 由得:‎ ‎12.答案:见解析 分析:设 ,且 ,则 ,由条件当时, ,所以 又 ,所以为增函数.‎ 令,则 又令 得 ,所以.即为奇函数.‎ 所以 所以在上的值域为.‎ ‎13.答案:见解析 分析:由题意得,进一步得到.‎ 不等式化为∵∴‎ ‎∵是上的增函数∴解得
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