- 2021-04-25 发布 |
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文档介绍
高考中的抽象函数专题练习
高考中的抽象函数专题练习 1、下列结论:①函数和是同一函数;②函数的定义域为,则函数的定义域为;③函数的递增区间为;④若函数的最大值为,那么的最小值就是 其中正确的个数为 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.定义在上的函数满足,且当时,,则等于( ) A. B. C. D. 3.已知是定义在上的函数,且,,则值为( ) A. B. C. D. 4.已知,方程在内有且只有一个根,则在区间内根的个数为( ) A. B. C. D. 5.已知函数对任意实数,满足,且.若存在整数,使得 ,则取值的集合为______. 6.定义在上的函数满足:,且函数为奇函数,对于下列命题: ①函数满足;②函数图象关于点对称;③函数的图象关于直线对称;④函数的最大值为;⑤. 其中正确的序号为_________. 7.已知函数定义在上,对于任意的,有,且当时,. 验证函数是否满足这些条件; 若,且,求的值. 若,试解关于的方程. 8.已知函数满足:对于任意实数,都有恒成立,且当时,恒成立; 求的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数; 判定函数在上的单调性,并加以证明; 若函数(其中)有三个零点,求的取值范围. 9.已知函数满足对任意实数都有成立,且当时,,. 求的值; 判断在上的单调性,并证明; 若对于任意给定的正实数,总能找到一个正实数,使得当时,,则称函数在处连续. 试证明:在处连续. 10.已知函数满足对一切都有,且,当时有. 求的值; 判断并证明函数在上的单调性; 解不等式:. 11.定义在上的函数,,当时,,且对任意实数,有,求证: 证明:是上的增函数; 若,求的取值范围. 12.已知函数 对任意实数,都有,且当时,,,求在上的值域. 13.已知是定义在上的增函数,且满足 , 求证: 求不等式的解集. 答案和解析 1.答案:A 分析:因为函数的定义域为,的定义域为所以①不成立. 由函数的定义域为,所以所以函数要满足,所以函数的定义域为故②不成立,因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确,所以③不成立.因为函数与函数的图像关于轴对称,所以④不正确.故选 2.答案:C 分析:由,得,,又,,,又时,,所以若,,,则在区间上,又,. 3.答案:A 分析:∵,,令代入上式得, ,令代入上式得,,函数 的周期,,故选. 4.答案:C 分析: ∴是一个周期为的函数; ∴是一个偶函数;∵在内有且只有一个根, 则在内有且只有一个根 又∵周期为,∴在内有且只有一个根 为的一个周期函数,有根; 等价于也只有根;故内根的个数为个 5.答案: 分析: 6.答案:①②③⑤ 分析:由得,则,所以的周期为,则①对,由为奇函数得的图像关于点对称,则②对,由为奇函数得,令得,又,,则③对,由得,故. 7.答案:见解析 分析:由可得,即其定义域为 又 又当时,,∴,∴ 故满足这些条件. 令,∴,令,有, ∴为奇函数 由条件得,解得. 设,则, 则, ∴在上是减函数 ∵,∴ 原方程即为, ∴ 又∵,∴ 故原方程的解为. 8.答案:;函数在R上单调递增; 分析:取代入题设中的式得: 特例: (验证) 判定:在上单调递增 证明:任取且,则 ∵,∴ ∴,所以函数在上单调递增 由 又由知在上单调递增, 所以 . 构造由 或,∴,于是,题意等价于: 与的图象有三个不同的交点(如上图,不妨设这三个零点),则 为的两根,即是一元二次方程的两根,∴, ∴,(变量归一法), 由在上单调递减,于是可得:. 9.答案:见解析 分析:, ; 设,则 ,. 在上单调递增; 令,得 ,,对任意, , ,, 又,, 要证,对任意, 当时,取,则当即时,由单增可得 即; 当时,必存在使得,取,则当 即时,有, 而, ,综上,在处连续. 10.答案:;见解析;,或 分析:令,得,, 再令,得, 即,从而. 任取, . ∵,,即. 在上是减函数. 由条件知,, 设,则,即, 整理,得,, 而,不等式即为, 又因为在上是减函数,,即, ,从而所求不等式的解集为,或. 11.答案:见解析 分析:令则∵∴ 任取,则∴ ∴ ∴在上是增函数 又,在上递增 ∴ 由得: 12.答案:见解析 分析:设 ,且 ,则 ,由条件当时, ,所以 又 ,所以为增函数. 令,则 又令 得 ,所以.即为奇函数. 所以 所以在上的值域为. 13.答案:见解析 分析:由题意得,进一步得到. 不等式化为∵∴ ∵是上的增函数∴解得查看更多