2014山东高考数学理科21题思考

2014山东高考数学理科21题思考

‎2014山东高考数学题思考 ‎ 2014年山东高考数学个人感觉“四平八稳，平淡无奇”。除了22题外没有其他题目使人愿意研究。由于连夜赶制有些数据仅仅靠这个人记忆不敢保证没有错误。下面研究22题。‎ ‎（2014山东高考数学理科21题）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.‎ 解析（Ⅰ）的方程：；（略）‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）（法一）答案标准解法：‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）（法二）导数法（与2013年山东理科22题（3）问导数法一样）：‎ E F D B G A H W ‎（由对称性及特殊情况“通径”在解答之前就已经知道答案是（1,0）！‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）（法三）光学性质+几何法（与2013年山东理科22题光学法类似）： ‎ 做，由抛物线的光学入射及反射原理知：‎ ‎（Ⅱ）（ⅱ）（法一）标准答案，略，太繁琐了。‎ ‎（Ⅱ）（ⅱ）（法二）巧用切线转化三角形面积，与2014青岛二模20题类似。‎ E F D B G A H W 如图：结合等，不难求得：‎ 定值问题共计21次：2005理科22（2）、2005文科22（2）、2006理科21（2）、2007理科22（2）、2007文科22（2）、2008理科22（3）、2009文科22（2）、2009理科22（2）、2010理科21（2）与（3）、2010文科22题（2）与（3）、2011理科22（1）（3）、2011文科22（2）（3）、2012理科21（2）、2013文科22（2）、2013理科22（3）、2014理科21（2）、2014文科21（2）；其中直线过定点问题7次，定圆问题3次，求点问题3次，求定值7次，判定三角形形状1次。‎ 最值问题共计11次：2006文科21（2）、2008文科22（3）、2009理科22（3）、2009文科22（3）、2011理科22（2）、2011文科22（1）、2012理科22（3）、2012文科22（2）、2013理科22（2）、2014理科21（3）、2014文科21（3）；其中三角形面积问题5---7次（含一次四边形面积最值，另2011理科22与2013文科22尽管未求面积最值但是以三角形面积为条件），长度问题5次，向量数量积1次。‎ 附：2013山东理科22题涉及光学问题、导数问题对比，及2014青岛二模面积转化问题对比。‎ ‎（2013山东高考数学理科22题）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.  　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；  答案： 　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；  　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.‎ ‎（Ⅱ）方式三：（光学原理+第三问结论）如图结合物理光学知识不难发现：‎ 光线从出发到点经过椭圆（相当于入射过点与椭圆相切的直线上）反射经过点，由入射角等于反射角原理可知：；在第（3）问中我们可以推出：，，‎ 注意1：此法前提为第三问要能够推导出来。‎ 注意2：这个光学原理我没有证明，但是我很有信心它是正确的。‎ ‎（Ⅲ）（法二：方程法）‎ 导数方式一：，以下略。‎ 结论法：椭圆的在点处的切线方程为：，所以，以下略。‎ ‎（Ⅲ）(法三：光学原理+第（2）问结论)如图结合物理光学知识不难发现：‎ 光线从出发到点经过椭圆（相当于入射过点与椭圆相切的直线上）反射经过点，由入射角等于反射角原理可知：；在第（2）问中我们可以推出：；又，‎ ‎，以下略。‎ ‎（2014青岛二模20题）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.‎ 解：‎ ‎（III），的面积的面积，‎ 到直线的距离 ‎ …………………………11分 令，则 ‎（当且仅当，即，亦即时取等号）‎ 当时，取最大值……………………………………………………13分