数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期末数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期末数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．①平中高二年级住宿生有521人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；‎ ‎②平中高二的一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；‎ ‎③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．‎ 就这三件事，恰当的抽样方法分别为（　　）‎ A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样 B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样 C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样 D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样 ‎2．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．A，C为对立事件 B．A，B为对立事件 C．A，C为互斥事件，但不是对立事件 D．A，B为互斥事件，但不是对立事件 ‎3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎5．已知x，y之间的一组数据如右表，则y与x的回归方程必经过（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A．（1.5，4） B．（1，3） C．（2，2） D．（2，5）‎ ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．‎ B．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 C．p∨q为真命题，则命题p与q均为真命题 D．命题“的命题的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ ‎7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎8．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．＞，乙比甲成绩稳定 B．＞，甲比乙成绩稳定 C．＜，乙比甲成绩稳定 D．＜，甲比乙成绩稳定 ‎9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1‎ C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1‎ ‎11．如图，是一程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．已知x，y满足条件，则z=的最小值（　　）‎ A．﹣ B． C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎14．如图中程序执行后输出的结果是　　．‎ ‎15．若三进制数10k2（3）（k为正整数）化为十进制数为35，则k=　　．‎ ‎16．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为　　．‎ ‎17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞‎ ‎0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其它各小题12分，共计70分）‎ ‎18．如表提供平罗中学某班研究性课题小组在技术改造后制作一玩具模型过程中记录的产量x（个）与相应的花费资y（百元）的几组对照数据 x ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ y ‎2.5 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎4.5 ‎ ‎（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）问该小组技术改造后制作10个这种玩具模型估计需要多少资金？‎ ‎（附： =， =﹣b，其中，为样本平均值）‎ ‎19．平罗中学从高二年级参加生物考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．‎ ‎20．已知命题p：A={a|∀x∈R，x2﹣ax+2a≥0}，命题q：B={a|∀x∈[﹣1，4]，2x﹣a+1≥0}，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．‎ ‎（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}‎ ‎，求方程有两个不相等实根的概率；‎ ‎（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．‎ ‎22．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．‎ ‎（1）求证：PA∥平面MBD；‎ ‎（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1．①平中高二年级住宿生有521人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；‎ ‎②平中高二的一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；‎ ‎③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．‎ 就这三件事，恰当的抽样方法分别为（　　）‎ A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样 B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样 C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样 D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样 ‎【考点】分层抽样方法；简单随机抽样．‎ ‎【分析】调查①的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围；抽查②的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；抽查③的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．‎ ‎【解答】解：①平中高二年级住宿生有521人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调，‎ 此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围．‎ ‎②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，‎ 此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围．‎ ‎③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．A，C为对立事件 B．A，B为对立事件 C．A，C为互斥事件，但不是对立事件 D．A，B为互斥事件，但不是对立事件 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】结合已知中基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．‎ 事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，‎ 当掷出的点数3时，A，B同时发生，‎ 故A，B不是互斥事件，‎ 故A，B也不是对立事件；‎ 即B，D错误；‎ A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，‎ 但A∪B={1，2，3，4，6}≠Ω，‎ 故A，C不是对立事件，‎ 故A错误，C正确，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】‎ 列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：‎ ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，‎ 其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，‎ 由古典概型的概率公式可知，‎ 从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．‎ ‎【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，‎ 因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．已知x，y之间的一组数据如右表，则y与x的回归方程必经过（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A．（1.5，4） B．（1，3） C．（2，2） D．（2，5）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据线性回归方程必过样本数据的中心点，计算这组数据的样本中心点，即求出x和y的平均数即可．‎ ‎【解答】解：设y与x的线性回归方程为=x+，且 ‎=×（0+1+2+3）=1.5，‎ ‎=×（1+3+5+7）=4，‎ 所以线性回归方程必过样本中心点（1.5，4）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．‎ B．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 C．p∨q为真命题，则命题p与q均为真命题 D．命题“的命题的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，因为当x≤﹣1时，；‎ B，小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生．大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，；‎ C，p∨q为真命题，则命题p与q中至少有一个为真命；‎ D，根据含有量词的命题的否命规则判定；‎ ‎【解答】解：对于A，因为当x≤﹣1时，，故错；‎ 对于B，小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生．大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴错；‎ 对于C，p∨q为真命题，则命题p与q中至少有一个为真命，故错；‎ 对于D，命题“的命题的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．‎ ‎【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．‎ 所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．‎ 故：B．‎ ‎　‎ ‎8．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．＞，乙比甲成绩稳定 B．＞，甲比乙成绩稳定 C．＜，乙比甲成绩稳定 D．＜，甲比乙成绩稳定 ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：甲的平均成绩=（73+78+79+87+93）=82，‎ 甲的成绩的方差= [（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，‎ 乙的平均成绩=（79+89+89+92+91）=88，‎ 乙的成绩的方差= [（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，‎ ‎∴＜，乙比甲成绩稳定．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．‎ ‎【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，‎ ‎∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切 若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则 ‎∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4‎ 故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1‎ C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1“，‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．如图，是一程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，本程序框图为求和运算 第1次循环：S=0+ K=3‎ 第2次循环：S= K=5‎ 第3次循环：S= K=7‎ 第4次循环：S= K=9‎ 第5次循环：S= K=11‎ 此时，K＞10‎ 输出S=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】首先确定点M的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率．‎ ‎【解答】解：分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，‎ 并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，‎ 并连结EF、FG、GE，则平面EFG∥平面ABC．‎ 当点M在正四面体DEFG内部运动时，满足“”，‎ 故P（X）=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎13．已知x，y满足条件，则z=的最小值（　　）‎ A．﹣ B． C． D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：因为z===1+，即为求的最大值问题，等价于求可行域中的点与定点B（﹣3，1）的斜率的最小值，‎ 根据可行域可知，点C与点（﹣3，1）的斜率最小，‎ 由，解得，即C（3，﹣3），‎ 此时k==﹣，‎ 则z的最小值为1﹣=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎14．如图中程序执行后输出的结果是　2　．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】该程序是一个当型循环结构，模拟循环过程，即可得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：该程序是一个当型循环结构．‎ 第一步：S=0+5=5，n=5﹣1=4，满足条件S＜10；‎ 第二步：S=5+4=9，n=4﹣1=3，满足条件S＜10；‎ 第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2，不满足条件S＜10；‎ 结束循环，输出n=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．若三进制数10k2（3）（k为正整数）化为十进制数为35，则k=　2　．‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】化简三进制数为十进制数，从而求得．‎ ‎【解答】解：10k2（3）=1×33+k×3+2=35，‎ 故29+3k=35，‎ 故k=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于2的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积，利用几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都小于2的地方的概率．‎ ‎【解答】解：昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，‎ ‎∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为π×22=4π×，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为=．‎ 故答案为：；‎ ‎　‎ ‎17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由||=，‎ 得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，‎ ‎∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，‎ 由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，‎ 即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），‎ ‎∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），‎ ‎∵￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即，且等号不能同时取，‎ ‎∴，解得m≥9．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其它各小题12分，共计70分）‎ ‎18．如表提供平罗中学某班研究性课题小组在技术改造后制作一玩具模型过程中记录的产量x（个）与相应的花费资y（百元）的几组对照数据 x ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ y ‎2.5 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎4.5 ‎ ‎（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（2）问该小组技术改造后制作10个这种玩具模型估计需要多少资金？‎ ‎（附： =， =﹣b，其中，为样本平均值）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）由题意计算、，求出回归直线方程的系数和，即可写出线性回归方程；‎ ‎（2）利用回归直线方程计算x=10时的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，计算 ‎=×（3+4+5+6）=4.5，‎ ‎=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，‎ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，‎ ‎=32+42+52+62=86，‎ 则回归直线方程的系数为 ‎===0.7，‎ ‎=﹣b=3.5﹣0.7×4.5=0.35，‎ 所以y关于x的线性回归方程是=0.7x+0.35；‎ ‎（2）利用回归直线方程，计算x=10时， =0.7×10+0.35=7.35；‎ 所以技术改造后制作10个这种玩具模型估计需要7.35百元，即735元．‎ ‎　‎ ‎19．平罗中学从高二年级参加生物考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）由频率分布图中小矩形的面积和为1，能求出得成绩落在[70，80）上的频率，由此能补全这个频率分布直方图．‎ ‎（2）由频率分布直方图能估计这次考试的及格率和平均分．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布图得成绩落在[70，80）上的频率为：‎ ‎1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3．‎ 补全这个频率分布直方图，如下图：‎ ‎（2）由频率分布直方图估计这次考试的及格率为：‎ ‎（0.015+0.030+0.025+0.005）×10×100%=75%．‎ 平均分为：0.01×10×45+0.015×10×55+0.015×10×65+0.030×10×75+0.025×10×85+0.005×10×95=71．‎ ‎　‎ ‎20．已知命题p：A={a|∀x∈R，x2﹣ax+2a≥0}，命题q：B={a|∀x∈[﹣1，4]，2x﹣a+1≥0}，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：∀x∈R，x2﹣ax+2a≥0，‎ 则△=a2﹣8a≤0，解得：a∈[0，8]，‎ 故p：A=[0，8]，‎ ‎∀x∈[﹣1，4]，2x﹣a+1≥0}，‎ 则a≤（2x+1）min=，‎ 故q：B=（﹣∞，]，‎ 若p∧q为假，p∨q为真，‎ 则p，q一真一假，‎ 则或，‎ 解得：a＜0或＜a≤8，‎ 即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，8]．‎ ‎　‎ ‎21．已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n2﹣4（m，n∈R）．‎ ‎（1）若m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}，求方程有两个不相等实根的概率；‎ ‎（2）若m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，求方程有实数根的概率．‎ ‎【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9，△＞0，m2+n2＞4，求出满足条件的（m，n）的个数，即可求出方程有两个不相等实根的概率；‎ ‎（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，△≥‎ ‎0，m2+n2≥4，对应区域的面积为6﹣=6﹣π，即可求出方程有实数根的概率．‎ ‎【解答】解：方程的△=36m2+36（n2﹣4）．‎ ‎（1）m∈{x|0≤x≤3，x∈N*}={1，2，3}，n∈{x|0≤x≤2，x∈Z}={0，1，2}，基本事件总数为9‎ ‎△＞0，m2+n2＞4，满足条件的（m，n）为（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），共6个，‎ ‎∴方程有两个不相等实根的概率为=；‎ ‎（2）m∈{x|0≤x≤3，x∈R}，n∈{x|0≤x≤2，x∈R}，对应区域的面积为6，‎ ‎△≥0，m2+n2≥4，对应区域的面积为6﹣=6﹣π，‎ ‎∴方程有实数根的概率为=1﹣．‎ ‎　‎ ‎22．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．‎ ‎（1）求证：PA∥平面MBD；‎ ‎（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AC、BD交于点O，连接OM，推导出PA∥OM，由此能证明PA∥平面BMD．‎ ‎（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．‎ 则AO=OC，又PM=MC，‎ ‎∴PA∥OM．‎ ‎∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，‎ ‎∴PA∥平面BMD．‎ 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，2，2），B（4，0，0），D（0，4，0），‎ ‎=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），‎ 设平面BPD的法向量=（x，y，z），‎ 则，‎ 取x=1，得=（1，1，），‎ 平面ABD的法向量=（0，0，1），‎ 设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+‎ ‎32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，‎ ‎（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）=﹣3（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）‎ 且斜率为k的直线方程为y=kx+2．‎ 代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，‎ 整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0． ①‎ 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，‎ 解得，即k的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ 由方程①，②‎ 又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③‎ 而．‎ 所以与共线等价于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．‎ ‎　‎ ‎2017年2月12日