高考数学大一轮复习集合与函数
第1讲 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
知 识 梳 理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁U
A
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)任何集合都有两个子集．( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
解析 (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．
(3)错误．当x＝1，不满足互异性．
(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解析 由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2，知a∉ A.
答案 D
3．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________．
A. B. C. D.
解析 易知A＝(1，3)，B＝，所以A∩B＝.
答案 D
4．(2017·济南模拟)设全集U＝{x|x∈N＋，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，5} D．{2，4}
解析 由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}．又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}．
答案 D
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．
答案 2
考点一 集合的基本概念
例1 (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B. C．0 D．0或
解析 (1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；
当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.
根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个．
(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．
(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
【训练1】 (1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．
解析 (1)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，且b＝1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(2)由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－.
答案 (1)2 (2)
考点二 集合间的基本关系
例2 (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
0}，且B⊆A，则集合B可能是( )
A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R
(2)(2016·郑州调研)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D.或2
解析 (1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．
(2)由＝，得x＝2，则A＝{2}．
因为B＝{1，m}且A⊆B，
所以m＝2.
答案 (1)A (2)A
考点三 集合的基本运算
例3 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析 (1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．
∴∁RQ＝{x|－20}，B＝{x|x≤1}，则( )
A．A∩B≠∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
解析 由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
答案 B
4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，
得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]．
答案 C
5．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞)．
又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1)．
因此A∪B＝(－1，＋∞)．
答案 C
6．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝( )
A．{1} B．{3，5}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
解析 ∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．
答案 C
7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
解析 具有伙伴关系的元素组是－1，
，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
答案 B
8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案 (－∞，1]
10．(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________．
解析 由A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此A∩B＝{1，3}．
答案 {1，3}
11．集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________．
解析 由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1，0)．
答案 [－1，0)
12．(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x2 017，则m>2 016.
答案 (2 016，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁RS)∩T＝( )
A．[2，3] B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)
C．(2，3) D．(0，＋∞)
解析 易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，
因此(∁RS)∩T＝(2，3)．
答案 C
14．(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|00，知B＝{x|x>3或x<0}，
∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素．
答案 1
16．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________．
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－56或5>2”是假命题．( )
(3)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( )
(4)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( )
(5)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )
解析 (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．
(2)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(3)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(4)错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
答案 B
3．(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析 命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n.
答案 C
4．(2017·济南调研)下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0
C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0
解析 当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.
答案 C
5．(2015·山东卷)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1 设a，b，c是非零向量．已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)
解析 取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵綈p为真命题，綈q为假命题．
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题．
答案 A
规律方法 (1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．
(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．
【训练1】 (2017·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( )
A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q
解析 由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，
∴命题p是假命题．
由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．
答案 B
考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定
例2 (1)(2016·东北师大附中质检)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是( )
A．∀x∈R，ex－x－1<0 B．∃x∈R，ex－x－1≤0
C．∃x∈R，ex－x－1<0 D．∀x∈R，ex－x－1≤0
(2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组的解集为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A.p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3
解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p：∀x∈R，ex－x－1>0的否定为綈p：∃x∈R，ex－x－1≤0.
(2)画出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知，当目标函数z＝x＋2y，经过可行域的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0.
因此p1，p2是真命题．
答案 (1)B (2)B
规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．
(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立．
【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考)命题p：存在x∈，使sin x＋cos x>；命题q：“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 因为sin x＋cos x＝sin≤，所以命题p
是假命题；又存在性命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题．
∴四个命题中正确的有2个命题．
答案 B
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，3) C．(－3，＋∞) D．(－3，1)
(2)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]
解析 (1)原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，
则－20)，q：实数x满足20，∴A＝{x|a5，解得x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确．
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确．
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确．
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
答案 D
6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4]
B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题綈p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
答案 D
7．(2017·衡阳模拟)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是( )
A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析 对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，
所以命题p为真命题；
对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．
答案 A
8．(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－1，2]
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.
答案 B
二、填空题
9．命题“∃x∈，tan x>sin x”的否定是________．
答案 ∀x∈，tan x≤sin x
10．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，
∴a＞3或a＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
11．(2017·大连调研)已知下列四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”
②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
③命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0
④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
其中真命题的是________(填序号)．
解析 显然①③正确．
②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确．
④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误．
答案 ①②③
12．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.
答案 [e，4]
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
答案 ①②
16．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；
当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减．
由f(x)的图象及单调性知当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；
命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0，1]．
答案 [0，1]
第3讲 充分条件、必要条件与命题的四种形式
最新考纲 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
知 识 梳 理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )
解析 (1)错误．否命题既否定条件，又否定结论．
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案 C
3．(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 x>y x>|y|(如x＝1，y＝－2)．
但x>|y|时，能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
答案 C
4．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此四个命题中有2个假命题．
答案 B
5．(2017·大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x∈R，f(x)＝f(－x)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以p.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件．
答案 A
考点一 四种命题的关系及其真假判断
例1 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真、假、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假
解析 (1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．
答案 (1)C (2)B
规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”
的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【训练1】 已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析 由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
答案 D
考点二 充分条件与必要条件的判定
例2 (1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件
(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 (1)由极值的定义，q⇒p，但q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
因此p是q的必要不充分条件．
(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．
答案 (1)C (2)B
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
【训练2】 (2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．
因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
答案 A
考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
例3 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
迁移探究1 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴这样的m不存在．
迁移探究2 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，
∴P⇒S且SP.
∴[－2，10][1－m，1＋m]．
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞)．
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验．
【训练3】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________．
解析 当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有即0＜a≤1.
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
答案 0≤a≤1
[思想方法]
1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．充要条件的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．
[易错防范]
1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．
2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．
3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
对应学生用书P231
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案 D
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
答案 A
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 m⊂α，m∥β α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
答案 B
4．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.
又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．
答案 C
5．下列结论错误的是( )
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．
答案 C
6．设x∈R，则“1”是“ln a>ln b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立．
当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．
答案 B
二、填空题
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案 2
10．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．
解析 cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－20”是“x>1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”；
③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
解析 ①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误．
对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”，故②正确．
对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误．
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，
∴log32与log23不互为相反数，故④错误．
答案 ②
第1讲 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分
段不超过三段)．
知 识 梳 理
1．函数与映射的概念
函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
设A，B是两个
非空集合
对应关系
f：A→B
对A中的任意x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应
如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应
名称
这种对应关系叫做集合A上的一个函数
称f是集合A到集合B的映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )
(3)函数y＝－1的值域是{y|y≥1}．( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．
(3)由于x2＋1≥1，故y＝－1≥0，故函数y＝－1的值域是{y|y≥0}．
(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]．
答案 B
3．(2017·青岛一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1，1]
C．[1，2)∪(2，＋∞) D.∪
解析 由题意，得
解之得－1≤x≤1且x≠－.
答案 D
4．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))等于( )
A．－1 B. C. D.
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
答案 C
5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．
解析 由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.
答案 －2
考点一 求函数的定义域
例1 (1)(2017·沈阳调研)函数f(x)＝ln ＋x的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 017]，则函数g(x)＝的定义域是____________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 017]，
∴g(x)有意义，应满足
∴0≤x≤2 016，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}．
答案 (1)B (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
训练1 (1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析 (1)要使函数f(x)有意义，应满足
∴则21)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由
解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
训练2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________．
解析 (1)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
(3)当x∈(－1，1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)(－11，
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
命题角度二 求参数的值或取值范围
例3－2 (1)(2015·山东卷)设函数f(x)＝
若f＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析 (1)f＝3×－b＝－b，
若－b<1，即b>时，
则f＝f＝3－b＝4，
解之得b＝，不合题意舍去．
若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
(2)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，所以x<1.
当x≥1时，x≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.
综上可知x的取值范围是(－∞，8]．
答案 (1)D (2)(－∞，8]
规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝
且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝
则不等式f(x)≥－1的解集是________．
解析 (1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，
即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，
此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.故选A.
(2)当x≤0时，由题意得＋1≥－1，
解之得－4≤x≤0.
当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，
解之得00，解得x>1或x<－3，
所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案 D
2．(2017·石家庄一模)已知f(x)为偶函数，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)等于( )
A．－＋2 B．1 C．3 D.＋2
解析 因为f＝f＝2sin＝，f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2.
答案 D
3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．2x－1 C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2，
得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.
∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1.
答案 A
4．(2017·湖南衡阳八中一模)f(x)＝则f＝( )
A．－2 B．－3 C．9 D．－9
解析 ∵f＝log3＝－2，
∴f＝f(－2)＝＝9.
答案 C
5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数
x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
解析 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
答案 B
6．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
解析 函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，故选D.
答案 D
7．(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.
若f＝f，则f(5a)的值是( )
A. B. C．－ D.
解析 由题意f＝f＝－＋a，
f＝f＝＝，
∴－＋a＝，则a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案 C
8．(2017·烟台调研)设P(x0，y0)是函数f(x)图象上任意一点，且y≥x，则f(x
)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝tan x
解析 对于A项，当x＝1，f(1)＝0，此时02≥12不成立．对于B项，取x＝－1，f(－1)＝－1，此时≥(－1)2不成立．在D项中，f＝tanπ＝1，此时12≥不成立．
∴A，B，D均不正确．选C.事实上，在C项中，对∀x0∈R，
y＝有y－x＝＋8>0，有y≥x成立．
答案 C
二、填空题
9．(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
解析 要使函数有意义，则3－2x－x2≥0，
∴x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1.
答案 [－3，1]
10．已知函数f(x)＝则f＝________．
解析 ∵f＝－tan＝－1.
∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案 －2
11．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________．
解析 根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2 x
12．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－，故x的集合为.
答案
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析 当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x.
答案 D
14．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0，1] C. D．[1，＋∞)
解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
答案 C
15．函数f(x)＝ln＋的定义域为________．
解析 要使函数f(x)有意义，则⇒⇒00，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．( )
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
答案 2
考点一 确定函数的单调性(区间)
例1 (1)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
(1)解析 由x2－4>0，得x>2或x<－2.
∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
令t＝x2－4，则y＝logt(t>0)．
∵t＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，且y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即f(x)单调递增区间为(－∞，－2)．
答案 D
(2)解 法一 设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.
规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．
(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【训练1】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．
解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明如下：
法一 设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数．
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数．
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，
解得x>或x<－(舍)．
令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00恒成立，试求实数a的取值范围．
(1)解析 ①由于f(x)＝
所以f(3)＝log3＝－1，
则f(f(3))＝f(－1)＝－3，
②当x>1时，f(x)＝logx是减函数，得f(x)<0.
当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.
答案 －3 1
(2)解 ①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，
∴0＜＜，1－＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．
则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立．
即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，
∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.
又a≤1，
∴当－30在x∈[1，＋∞)上恒成立．
故实数a的取值范围是(－3，1]．
规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为
f(b)．
【训练2】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，
则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)
＝log28＋log22＝4.
答案 C
考点三 函数单调性的应用(典例迁移)
例3 (1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
(2)(2017·丹东模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
解析 (1)对任意x1≠x2，都有>0.
所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f(logx)>f，
∴logx>或－0的解集是________．
解析 因为f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
所以f＞0等价于f＞f，
又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以＜，
即－＜logx＜，解得＜x＜3.
答案
规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
【训练3】 (2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
因此2|a－1|<＝2，又y＝2x是增函数，
∴|a－1|<，解得0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解 ∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－
eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x1)－f(1,x2)))
＝(x1－x2).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( )
A．4 B．2 C. D.
解析 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，
此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．
当0－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，
所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x)min＝f(2)＝ln.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
第3讲 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
知 识 梳 理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T
为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝ex C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析 A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数．
D中函数定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数．
答案 D
3．(2017·潍坊月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.
答案 B
4．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析 ∵f(x)的周期为2，∴f＝f，
又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，
∴f＝f＝－4×＋2＝1.
答案 1
5．(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.
答案 3
考点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
【训练1】 (1)(2017·烟台质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；
|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．
答案 (1)D (2)C
考点二 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
答案 (1)C (2)1
规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．
【训练2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．
解析 (1)易知f(－x)＝＝，
由f(－x)＝－f(x)，得＝－，
即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，
f(x)＝，由f(x)>3，得00，∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
则f(x)＝－x2－4x(x<0)，
∴f(x)＝
答案 (1)C (2)
考点三 函数的周期性及其应用
例3 (2016·四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0时，f＝f.则f(6)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1，2] B. C. D．(0，2]
解析 (1)当x>时，由f(x＋)＝f(x－)，
得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，
又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.
因此f(6)＝－f(－1)＝2.
(2)由y＝f(x)为偶函数，且f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)．
∴f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，
又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴|log2a|≤1⇔－1≤log2a≤1.解得≤a≤2.
答案 (1)D (2)C
规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
训练4 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x
)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.
则M＋m＝________．
解析 (1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
(2)f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
故M＋m＝2.
答案 (1)C (2)2
[思想方法]
1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．
3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
[易错防范]
1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．
2．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x
)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin x为偶函数．
答案 B
2．(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)内是增函数
B．奇函数，且在(0，1)内是减函数
C．偶函数，且在(0，1)内是增函数
D．偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，
所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数．
答案 A
3．(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为( )
A．5 B．1 C．－1 D．－3
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5.
答案 A
4．已知函数f(x)＝x，若f(x1)x2 B．x1＋x2＝0 C．x10时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
由f(x1)0的x的集合为________．
解析 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，
∴f(x)>0时，x>或－0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以10)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( ) 解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错．
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．ba>b.
答案 A
3．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5 C．6 D．－6
解析 由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，
∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.
答案 C
4．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
答案 1或2
5．(教材改编)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
考点一 幂函数的图象和性质
例1 (1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1，2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解得
即≤m<2.
答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn 2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
解析 (1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，
∴α＝，因此f(x)＝x，根据图象的特征，C正确．
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
答案 (1)C (2)B
考点二 二次函数的图象与性质
例2 (2017·沈阳调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝
其图象如图所示，
又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
【训练2】 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)(2017·丹东模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析 (1)由A，C，D知，f(0)＝c<0，
从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，
所以ab>0，所以x＝－<0，B错误．
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.
答案 (1)D (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的应用(多维探究)命题角度一 二次函数的恒成立问题
例3－1 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．
解 (1)由题意知
解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α
<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．
2．求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值．应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值．
3．二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题．
4．二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定．
[易错防范]
1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( )
A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.
答案 A
2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象可能是( )
解析 若a<0，由y＝xa的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋的图象知应选B；若a>0，y＝xa的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋的图象均不适合，综上选B.
答案 B
4．(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a在(－∞，1)上有最小值，且f(x)关于x＝a对称，∴a<1，则g(x)＝x＋－2a(x>1)．
若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
若00在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)>，得>>，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，
∴由g(x)＝在[1，2]上是减函数可得a>0，
故00时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 幂函数f(x)的图象经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝x，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 ∵f(x)＝x2＋bx＝－，当x＝－时，f(x)min＝－.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．
答案 A
12．(2017·大连期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
解析 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数．
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______．
解析 作出函数y＝f(x)的图象如图．则当00，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0].
第5讲 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
知 识 梳 理
1．根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1
00时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，01)的值域是(0，＋∞)．( ) 解析 (1)由于＝＝4，故(1)错．
(2)(－1)＝＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错．
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7 C．－10 D．9
解析 原式＝(26)－1＝8－1＝7.
答案 B
3．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.
答案 D
4．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a1，∴b0，b>0)；
(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
解 (1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【训练1】 化简求值：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2).
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a－－－·b＋－＝.
考点二 指数函数的图象及应用
例2 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析 (1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除B、C、D，只有A满足．
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
答案 (1)A (2)[－1，1]
规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．
解析 (1)因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1.
则f(x)＝1⊕2x＝图象A满足．
(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
答案 (1)A (2)1
考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
例3 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)已知函数f(x)＝.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
(1)解析 A中，
∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.
答案 B
(2)解 ①当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．
【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0时，f(x)为增函数，
log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，
所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)，
故b＞a＞c，选B.
(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27]．
答案 (1)B (2)(－∞，27]
[思想方法]
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论．
[易错防范]
1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．
2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·衡水中学模拟)若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( )
A．c1时，01，c＝logx<0，所以c1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0，∴b，
∴a>c，∴b0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )
A．1 B．a C．2 D．a2
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，
∴x1＋x2＝0.
又∵f(x)＝ax，
∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.
答案 A
5．(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案 B
二、填空题
6.×＋8×－＝________．
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
答案 2
7．(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________．
解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
三、解答题
9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此a>1时，f(x)>0.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－，
令f(x)＝x－，
则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)>f(0)＝0－＝－1，
所以a>－1.
答案 D
12．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
解析 ∵x∈(0，4)，∴x＋1>1，∴f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取等号．∴a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知A正确．
答案 A
13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________．
解析 依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－＝－2x.
答案 －2x(x<0)
14．(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(x)＝ex－，
∴f′(x)＝ex＋，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，
又≥0，
∴＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.
第6讲 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知 识 梳 理
1．对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1)
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
3．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，a≠1，x＞0)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
a>1
01时，y>0；
当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，01 D．00，即logac>0，所以0b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
答案 D
4．(2015·浙江卷)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
解析 ∵a＝log43＝log2，∴2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋＝.
答案
5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析 当01时，loga1.
答案 ∪(1，＋∞)
考点一 对数的运算
例1 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
(2)计算：÷100－＝________．
解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案 (1)A (2)－20
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A．24 B．16 C．12 D．8
(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－＝________．
解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
(2)lg＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点二 对数函数的图象及应用
例2 (1)(2017·青岛一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a
表示直线在y轴上截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
答案 (1)B (2)a>1
规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案 (1)C (2)B
考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度一 比较对数值的大小
例3－1 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb
解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确．
∵y＝logcx是减函数，得logca0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.
答案 C
命题角度三 对数型函数的性质
例3－3 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)a＝log32log22＝1，所以，c最大．
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解之得11在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)D (2)
[思想方法]
1．对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．
4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[易错防范]
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋
∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论．
2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2．(2017·济南模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc C．ab>c
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log320，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B.
答案 B
4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )
A．5 B．3 C．－1 D.
解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋f＝5.
答案 A
5．(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由logab>1得loga>0.
∴a>1，且>1或0a>1或00.
答案 D
二、填空题
6．设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________．
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]．
答案 (1，2]
三、解答题
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b
解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2b>a.
答案 B
12．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．
解析 由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜，故0＜－＋＜.
答案
13．(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝∉[2，8]，舍去．
若－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2，8]，
符合题意，∴a＝.
第7讲 函数的图象
最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．
知 识 梳 理
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax)．
y＝f(x)y＝Af(x)．
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y
轴对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( ) 解析 (1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错．
(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错．
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1
解析 依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 D
3．(2016·浙江卷)函数y＝sin x2的图象是( )
解析 ∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝时，sin x2
＝sin≠1，排除B项，只有D满足．
答案 D
4.若函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－
x)＝________．
解析 由于y＝f(x)的图象关于原点对称∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
答案 0
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解．
答案 (0，＋∞)
考点一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
规律方法 画函数图象的一般方法
(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【训练1】 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解 (1)∵y＝|lg x|＝
∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二 函数图象的辨识
例2 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析 (1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B.
设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，
∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
(2)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2<1＋，
∴f0，∴a>1.
则函数g(x)＝|ax－2|的图象是由函数y＝ax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，故选D.
答案 (1)B (2)D
考点三 函数图象的应用(多维探究)
命题角度一 研究函数的零点
例3－1 已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析
由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1
作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
答案 5
命题角度二 求不等式的解集
例3－2 函
数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．
解析 当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1＜x<时，<0.
又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
答案 ∪
命题角度三 求参数的取值或范围
例3－3 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；
②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0，1) C. D．(0，＋∞)
解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，
使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．
当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，
又y＝ln x的导数为y′＝，
则km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，
可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，
结合图象可知k∈(0，1)时两函数图象有两个交点．
答案 B
规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．4
(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
解析 (1)设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.
(2)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，]．
答案 (1)C (2)(－1，0)∪(1，]
[思想方法]
1．识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
2．用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等．
[易错防范]
1．图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错．
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．
3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x图象上所有的点( )
A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
解析 因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x
的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．
答案 B
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.
答案 C
3．(2015·浙江卷)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
解析 (1)因为f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B.当x＝π时，f(x)＝cos π<0，排除C，故选D.
答案 D
4．(2017·桂林一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )
解析 由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称．当01时，y>0.
排除选项A，C，D，选B.
答案 B
5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( )
A．(－1，0) B．[－1，0) C．(－2，0) D．[－2，0)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析 当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2，8]．
答案 (2，8]
7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0)．
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案 f(x)＝
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解 (1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
10．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解 (1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f(x)的图象知，当00 C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
解析 函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 D
12.(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
解析 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，
∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
答案 C
13．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
解析 对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 ∪
14．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(－x，2－y)在h(x)的图象上，
∴2－y＝－x＋＋2，
∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0，2]．
∵x∈(0，2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7.
故实数a的取值范围是[7，＋∞).
第8讲 函数与方程、函数的应用
最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
知 识 梳 理
1．函数的零点
(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
(2)变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴
，则称这样的零点为变号零点．
(3)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(4)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，
(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)．
4．指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案 B
3．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点．
答案 A
4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B．200只 C．300只 D．400只
解析 由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.
答案 B
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x
)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【训练1】 已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
解析 ∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，
f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.
故f(x)的零点x0∈(2，3)．
答案 C
考点二 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍)．所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)令f(x)＝2x|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．
答案 (1)2 (2)B
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (2015·湖北卷)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．
答案 2
考点三 函数零点的应用
例3 (2017·济南调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
解 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.
又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称．
又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.
要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根．
由函数的图象(如图)，必须有即解之得0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
答案 (1)D (2)(3，＋∞)
考点四 构建函数模型解决实际问题(易错警示)
例4 (1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过
200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
(2)(2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
①求k的值及f(x)的表达式；
②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
(1)解析 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.
依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3
∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
答案 B
(2)解 ①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．
②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，
当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；
当200，y＝2t＋－10为增函数．
∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，
因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法 (1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
③构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用均值不等式、导数等知识求解．
(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
【训练4】 (1)(2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
(1)解析 由已知条件，得192＝eb
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2
∴e11k＝＝＝，
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
(2)解 ①当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．
②第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
(ⅰ)当1≤x≤6，且x∈N＋时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，
当50，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点．
答案 D
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2，0 C. D．0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以01时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
答案 D
12．(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
答案 B
13．(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当00)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0
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