2020年贵州省黔西南州中考数学试卷【含答案及详细解释】

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2020年贵州省黔西南州中考数学试卷【含答案及详细解释】

1 / 15 2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷 一、选择题(本题 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1. 2的倒数是( ) A.−2 B.2 C.− 1 2 D.1 2 2. 某市为做好“稳就业、保民生”工作,将新建保障性住房360000套,缓解中低收 入人群和新参加工作大学生的住房需求.把360000用科学记数法表示应是( ) A.0.36 × 106 B.3.6 × 105 C.3.6 × 106 D.36 × 105 3. 如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( ) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是( ) A.푎3 + 푎2=푎5 B.푎3 ÷ 푎=푎3 C.푎2 ⋅ 푎3=푎5 D.(푎2)4=푎6 5. 某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计 如下:4,3,5,5,2,5,3,4,1,这组数据的中位数、众数分别为( ) A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5 6. 如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37∘时,∠1的度数为 ( ) A.37∘ B.43∘ C.53∘ D.54∘ 7. 如图,某停车场入口的栏杆퐴퐵,从水平位置绕点푂旋转到퐴′퐵′的位置,已知퐴푂的 长为4米.若栏杆的旋转角∠퐴푂퐴′=훼,则栏杆퐴端升高的高度为( ) A. 4 sin훼 米 B.4sin훼米 C. 4 cos훼 米 D.4cos훼米 8. 已知关于푥的一元二次方程(푚 − 1)푥2 + 2푥 + 1=0有实数根,则푚的取值范围是 ( ) A.푚 < 2 B.푚 ≤ 2 C.푚 < 2且푚 ≠ 1 D.푚 ≤ 2且푚 ≠ 1 9. 如图,在菱形퐴퐵푂퐶中,퐴퐵=2,∠퐴=60∘,菱形的一个顶点퐶在反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象上,则反比例函数的解析式为( ) A.푦 = − 3√3 푥 B.푦 = − √3 푥 C.푦 = − 3 푥 D.푦 = √3 푥 10. 如图,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 4交푦轴于点퐴,交过点퐴且平行于푥轴的直线于另一 点퐵,交푥轴于퐶,퐷两点(点퐶在点퐷右边),对称轴为直线푥 = 5 2 ,连接퐴퐶,퐴퐷, 퐵퐶.若点퐵关于直线퐴퐶的对称点恰好落在线段푂퐶上,下列结论中错误的是( ) 2 / 15 A.点퐵坐标为(5,  4) B.퐴퐵=퐴퐷 C.푎 = − 1 6 D.푂퐶 ⋅ 푂퐷=16 二、填空题(本题 10 小题,每题 3 分,共 30 分) 11. 把多项式푎3 − 4푎分解因式,结果是________. 12. 若7푎푥푏2与−푎3푏푦的和为单项式,则푦푥=________. 13. 不等式组{ 2푥 − 6 < 3푥 푥+2 5 − 푥−1 4 ≥ 0 的解集为________. 14. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐶=90∘,点퐷在线段퐵퐶上,且∠퐵=30∘,∠퐴퐷퐶=60∘, 퐵퐶=3√3,则퐵퐷的长度为________. 15. 如图,正比例函数的图象与一次函数푦=−푥 + 1的图象相交于点푃,点푃到푥轴的 距离是2,则这个正比例函数的解析式是________. 16. 如图,对折矩形纸片퐴퐵퐶퐷,使퐴퐵与퐷퐶重合得到折痕퐸퐹,将纸片展平,再一次 折叠,使点퐷落到퐸퐹上点퐺处,并使折痕经过点퐴,已知퐵퐶=2,则线段퐸퐺的长度为 ________. 17. 如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入푥的值为625,则第2020次输出的 结果为________. 18. 有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人 传染了________个人. 19. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一 共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按 此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为________. 20. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,퐴퐵=2,点퐷为퐴퐵的中点,以点퐷 为圆心作圆心角为90∘的扇形퐷퐸퐹,点퐶恰在弧퐸퐹上,则图中阴影部分的面积为 ________. 3 / 15 三、解答题(本题 6 小题,共 80 分) 21. (1)计算(−2)2 − | − √2| − 2cos45∘ + (2020 − 휋)0; (2)先化简,再求值:( 2 푎+1 + 푎+2 푎2−1) ÷ 푎 푎−1 ,其中푎 = √5 − 1. 22. 规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度훼(0∘ < 훼 ≤ 180∘)后 能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度훼称为这个图形 的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点푂旋转90∘或180∘后,能与自身重 合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角. 根据以上规定,回答问题: (1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________; 퐴.矩形 퐵.正五边形 퐶.菱形 퐷.正六边形 (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:________(填序 号); (3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图 形;③圆是旋转对称图形. 其中真命题的个数有________个; 퐴.0 퐵.1 퐶.2 4 / 15 퐷.3 (4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45∘,90∘,135∘, 180∘,将图形补充完整. 23. 新学期,某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程.为了解学生对新开设课 程的掌握情况,从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果 分为四个等级:퐴级为优秀,퐵级为良好,퐶级为及格,퐷级为不及格.将测试结果绘 制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题: (1)本次抽样测试的学生人数是________名; (2)扇形统计图中表示퐴级的扇形圆心角훼的度数是________,并把条形统计图补充 完整; (3)该校八年级共有学生500名,如果全部参加这次测试,估计优秀的人数为 ________; (4)某班有4名优秀的同学(分别记为퐸、퐹、퐺、퐻,其中퐸为小明),班主任要从中 随机选择两名同学进行经验分享.利用列表法或画树状图法,求小明被选中的概率. 24. 随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行, 也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的퐴型自行车去年销售总额为8万元.今年该 型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年 的销售总额将比去年减少10%,求: (1)퐴型自行车去年每辆售价多少元? (2)该车行今年计划新进一批퐴型车和新款퐵型车共60辆,且퐵型车的进货数量不超过퐴 型车数量的两倍.已知,퐴型车和퐵型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划퐵型 车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多? 25. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美 5 / 15 丽的圆.如图,线段퐴퐵是⊙ 푂的直径,延长퐴퐵至点퐶,使퐵퐶=푂퐵,点퐸是线段푂퐵的 中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷,点푃是⊙ 푂上一动点(不与点퐴,퐵重合),连接퐶퐷, 푃퐸,푃퐶. (1)求证:퐶퐷是⊙ 푂的切线; (2)小明在研究的过程中发现푃퐸 푃퐶 是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对 小明发现的结论加以证明. 26. 已知抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6(푎 ≠ 0)交푥轴于点퐴(6,  0)和点퐵(−1,  0),交푦轴于点퐶. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)如图(1),点푃是抛物线上位于直线퐴퐶上方的动点,过点푃分别作푥轴,푦轴的平 行线,交直线퐴퐶于点퐷,퐸,当푃퐷 + 푃퐸取最大值时,求点푃的坐标; (3)如图(2),点푀为抛物线对称轴푙上一点,点푁为抛物线上一点,当直线퐴퐶垂直平 分△ 퐴푀푁的边푀푁时,求点푁的坐标. 6 / 15 参考答案与试题解析 2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷 一、选择题(本题 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1.【答案】 D 【解答】 2的倒数是1 2 , 2.【答案】 B 【解答】 360000=3.6 × 105, 3.【答案】 【解答】 从上面看可得四个并排的正方形,如图所示: 故选:퐷. 4.【答案】 C 【解答】 퐴、푎3 + 푎2,不是同类项,无法合并,故此选项错误; 퐵、푎3 ÷ 푎=푎2,故此选项错误; 퐶、푎2 ⋅ 푎3=푎5,正确; 퐷、(푎2)4=푎8,故此选项错误; 5.【答案】 A 【解答】 将数据从小到大排列为:1,2,3,3,4,4,5,5,5, 这组数据的中位数为4;众数为5. 6.【答案】 C 【解答】 ∵ 퐴퐵 // 퐶퐷,∠2=37∘, ∴ ∠2=∠3=37∘, ∵ ∠1 + ∠3=90∘, ∴ ∠1=53∘, 7.【答案】 B 【解答】 过点퐴′作퐴′퐶 ⊥ 퐴퐵于点퐶, 由题意可知:퐴′푂=퐴푂=4, ∴ sin훼 = 퐴′퐶 퐴′푂 , ∴ 퐴′퐶=4sin훼, 8.【答案】 D 【解答】 ∵ 关于푥的一元二次方程(푚 − 1)푥2 − 2푥 + 1=0有实数根, ∴ { 푚 − 1 ≠ 0 △=22 − 4 × 1 × (푚 − 1) ≥ 0 , 解得:푚 ≤ 2且푚 ≠ 1. 9.【答案】 B 【解答】 7 / 15 ∵ 在菱形퐴퐵푂퐶中,∠퐴=60∘,菱形边长为2, ∴ 푂퐶=2,∠퐶푂퐵=60∘, ∴ 点퐶的坐标为(−1, √3), ∵ 顶点퐶在反比例函数푦 = 푘 푥 的图象上, ∴ √3 = 푘 −1 ,得푘 = −√3, 即푦 = − √3 푥 , 10.【答案】 D 【解答】 ∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 4交푦轴于点퐴, ∴ 퐴(0,  4), ∵ 对称轴为直线푥 = 5 2 ,퐴퐵 // 푥轴, ∴ 퐵(5,  4). 故퐴无误; 如图,过点퐵作퐵퐸 ⊥ 푥轴于点퐸, 则퐵퐸=4,퐴퐵=5, ∵ 퐴퐵 // 푥轴, ∴ ∠퐵퐴퐶=∠퐴퐶푂, ∵ 点퐵关于直线퐴퐶的对称点恰好落在线段푂퐶上, ∴ ∠퐴퐶푂=∠퐴퐶퐵, ∴ ∠퐵퐴퐶=∠퐴퐶퐵, ∴ 퐵퐶=퐴퐵=5, ∴ 在푅푡 △ 퐵퐶퐸中,由勾股定理得:퐸퐶=3, ∴ 퐶(8,  0), ∵ 对称轴为直线푥 = 5 2 , ∴ 퐷(−3,  0) ∵ 在푅푡 △ 퐴퐷푂中,푂퐴=4,푂퐷=3, ∴ 퐴퐷=5, ∴ 퐴퐵=퐴퐷, 故퐵无误; 设푦=푎푥2 + 푏푥 + 4=푎(푥 + 3)(푥 − 8), 将퐴(0,  4)代入得:4=푎(0 + 3)(0 − 8), ∴ 푎 = − 1 6 , 故퐶无误; ∵ 푂퐶=8,푂퐷=3, ∴ 푂퐶 ⋅ 푂퐷=24, 故퐷错误. 综上,错误的只有퐷. 二、填空题(本题 10 小题,每题 3 分,共 30 分) 11.【答案】 푎(푎 + 2)(푎 − 2) 【解答】 原式=푎(푎2 − 4)=푎(푎 + 2)(푎 − 2). 12.【答案】 8 【解答】 8 / 15 ∵ 7푎푥푏2与−푎3푏푦的和为单项式, ∴ 7푎푥푏2与−푎3푏푦是同类项, ∴ 푥=3,푦=2, ∴ 푦푥=23=8. 13.【答案】 −6 < 푥 ≤ 13 【解答】 { 2푥 − 6 < 3푥 푥+2 5 − 푥−1 4 ≥ 0 , 解①得:푥 > −6, 解②得:푥 ≤ 13, 不等式组的解集为:−6 < 푥 ≤ 13, 14.【答案】 2√3 【解答】 ∵ ∠퐶=90∘,∠퐴퐷퐶=60∘, ∴ ∠퐷퐴퐶=30∘, ∴ 퐶퐷 = 1 2 퐴퐷, ∵ ∠퐵=30∘,∠퐴퐷퐶=60∘, ∴ ∠퐵퐴퐷=30∘, ∴ 퐵퐷=퐴퐷, ∴ 퐵퐷=2퐶퐷, ∵ 퐵퐶=3√3, ∴ 퐶퐷 + 2퐶퐷=3√3, ∴ 퐶퐷 = √3, ∴ 퐷퐵=2√3, 15.【答案】 푦=−2푥 【解答】 ∵ 点푃到푥轴的距离为2, ∴ 点푃的纵坐标为2, ∵ 点푃在一次函数푦=−푥 + 1上, ∴ 2=−푥 + 1,得푥=−1, ∴ 点跑的坐标为(−1,  2), 设正比例函数解析式为푦=푘푥, 则2=−푘,得푘=−2, ∴ 正比例函数解析式为푦=−2푥, 16.【答案】 √3 【解答】 如图所示: 由题意可得:∠1=∠2,퐴푁=푀푁,∠푀퐺퐴=90∘, 则푁퐺 = 1 2 퐴푀,故퐴푁=푁퐺, ∴ ∠2=∠4, ∵ 퐸퐹 // 퐴퐵, ∴ ∠4=∠3, ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4 = 1 3 × 90∘=30∘, ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是矩形,对折矩形纸片퐴퐵퐶퐷,使퐴퐵与퐷퐶重合得到折痕퐸퐹, ∴ 퐴퐸 = 1 2 퐴퐷 = 1 2 퐵퐶=1, ∴ 퐴퐺=2, ∴ 퐸퐺 = √22 − 12 = √3, 9 / 15 故答案为:√3. 17.【答案】 1 【解答】 当푥=625时,1 5 푥=125, 当푥=125时,1 5 푥=25, 当푥=25时,1 5 푥=5, 当푥=5时,1 5 푥=1, 当푥=1时,푥 + 4=5, 当푥=5时,1 5 푥=1, … 依此类推,以5,1循环, (2020 − 2) ÷ 2=1010, 即输出的结果是1, 18.【答案】 10 【解答】 设每轮传染中平均每人传染了푥人. 依题意,得1 + 푥 + 푥(1 + 푥)=121, 即(1 + 푥)2=121, 解方程,得푥1=10,푥2=−12(舍去). 19.【答案】 57 【解答】 第①个图形中一共有3个菱形,即2 + 1 × 1=3; 第②个图形中一共有7个菱形,即3 + 2 × 2=7; 第③个图形中一共有13个菱形,即4 + 3 × 3=13; …, 按此规律排列下去, 所以第⑦个图形中菱形的个数为:8 + 7 × 7=57. 20.【答案】 휋 4 − 1 2 【解答】 连接퐶퐷,作퐷푀 ⊥ 퐵퐶,퐷푁 ⊥ 퐴퐶. ∵ 퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,点퐷为퐴퐵的中点, ∴ 퐷퐶 = 1 2 퐴퐵=1,四边形퐷푀퐶푁是正方形,퐷푀 = √2 2 . 则扇形퐹퐷퐸的面积是:90휋×12 360 = 휋 4 . ∵ 퐶퐴=퐶퐵,∠퐴퐶퐵=90∘,点퐷为퐴퐵的中点, ∴ 퐶퐷平分∠퐵퐶퐴, 又∵ 퐷푀 ⊥ 퐵퐶,퐷푁 ⊥ 퐴퐶, ∴ 퐷푀=퐷푁, ∵ ∠퐺퐷퐻=∠푀퐷푁=90∘, ∴ ∠퐺퐷푀=∠퐻퐷푁, 在△ 퐷푀퐺和△ 퐷푁퐻中, { ∠퐷푀퐺 = ∠퐷푁퐻 ∠퐺퐷푀 = ∠퐻퐷푁 퐷푀 = 퐷푁 , ∴ △ 퐷푀퐺 ≅△ 퐷푁퐻(퐴퐴푆), 10 / 15 ∴ 푆四边形퐷퐺퐶퐻=푆四边形퐷푀퐶푁 = 1 2 . 则阴影部分的面积是:휋 4 − 1 2 . 三、解答题(本题 6 小题,共 80 分) 21.【答案】 原式=4 − √2 − 2 × √2 2 + 1 =4 − √2 − √2 + 1 =5 − 2√2; 原式=[ 2(푎−1) (푎−1)(푎+1) + 푎+2 (푎−1)(푎+1)]•푎−1 푎 = 3푎 (푎 − 1)(푎 + 1) ⋅ 푎 − 1 푎 = 3 푎+1 , 当푎 = √5 − 1时,原式= 3 √5−1+1 = 3√5 5 . 【解答】 原式=4 − √2 − 2 × √2 2 + 1 =4 − √2 − √2 + 1 =5 − 2√2; 原式=[ 2(푎−1) (푎−1)(푎+1) + 푎+2 (푎−1)(푎+1)]•푎−1 푎 = 3푎 (푎 − 1)(푎 + 1) ⋅ 푎 − 1 푎 = 3 푎+1 , 当푎 = √5 − 1时,原式= 3 √5−1+1 = 3√5 5 . 22.【答案】 퐵 (1)( 3)( 5) 퐶 【解答】 是旋转图形,不是中心对称图形是正五边形, 故选퐵. 是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有(1)( 3)( 5). 故答案为(1)( 3)( 5). 命题中①③正确, 故选퐶. 图形如图所示: 23.【答案】 40 54∘ 75人 画树状图得: 11 / 15 ∵ 共有12种等可能的结果,选中小明的有6种情况, ∴ 选中小明的概率为1 2 . 故答案为:40;54∘;75人. 【解答】 本次抽样测试的学生人数是:12 ÷ 30%=40(人); ∵ 퐴级的百分比为: 6 40 × 100%=15%, ∴ ∠훼=360∘ × 15%=54∘; 퐶级人数为:40 − 6 − 12 − 8=14(人). 如图所示: 500 × 15%=75(人). 故估计优秀的人数为 75人; 画树状图得: ∵ 共有12种等可能的结果,选中小明的有6种情况, ∴ 选中小明的概率为1 2 . 故答案为:40;54∘;75人. 24.【答案】 解:(1)设去年퐴型车每辆售价푥元, 则今年售价每辆为(푥 − 200)元,由题意得, 80000 푥 = 80000(1−10%) 푥−200 , 解得:푥 = 2000. 经检验,푥 = 2000是原方程的根. 答:퐴型自行车去年每辆售价为2000元. (2)设今年新进퐴型车푎辆,则퐵型车(60 − 푎)辆,获利푦元,由题意得, 푦 = (1800 − 1500)푎 + (2400 − 1800)(60 − 푎), 푦 = −300푎 + 36000. ∵ 퐵型车的进货数量不超过퐴型车数量的两倍, ∴ 60 − 푎 ≤ 2푎, 12 / 15 ∴ 푎 ≥ 20. ∵ 푦 = −300푎 + 36000, ∴ 푘 = −300 < 0, ∴ 푦随푎的增大而减小, ∴ 当푎 = 20时,푦有最大值, ∴ 获利最大时퐵型车的数量为:60 − 20 = 40(辆). ∴ 当新进퐴型车20辆,퐵型车40辆时,这批车获利最大. 【解答】 解:(1)设去年퐴型车每辆售价푥元, 则今年售价每辆为(푥 − 200)元,由题意得, 80000 푥 = 80000(1−10%) 푥−200 , 解得:푥 = 2000. 经检验,푥 = 2000是原方程的根. 答:퐴型自行车去年每辆售价为2000元. (2)设今年新进퐴型车푎辆,则퐵型车(60 − 푎)辆,获利푦元,由题意得, 푦 = (1800 − 1500)푎 + (2400 − 1800)(60 − 푎), 푦 = −300푎 + 36000. ∵ 퐵型车的进货数量不超过퐴型车数量的两倍, ∴ 60 − 푎 ≤ 2푎, ∴ 푎 ≥ 20. ∵ 푦 = −300푎 + 36000, ∴ 푘 = −300 < 0, ∴ 푦随푎的增大而减小, ∴ 当푎 = 20时,푦有最大值, ∴ 获利最大时퐵型车的数量为:60 − 20 = 40(辆). ∴ 当新进퐴型车20辆,퐵型车40辆时,这批车获利最大. 25.【答案】 连接푂퐷、퐷퐵, ∵ 点퐸是线段푂퐵的中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷, ∴ 퐷퐸垂直平分푂퐵, ∴ 퐷퐵=퐷푂. ∵ 在⊙ 푂中,퐷푂=푂퐵, ∴ 퐷퐵=퐷푂=푂퐵, ∴ △ 푂퐷퐵是等边三角形, ∴ ∠퐵퐷푂=∠퐷퐵푂=60∘, ∵ 퐵퐶=푂퐵=퐵퐷,且∠퐷퐵퐸为△ 퐵퐷퐶的外角, ∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐵퐷퐶 = 1 2 ∠퐷퐵푂. ∵ ∠퐷퐵푂=60∘, ∴ ∠퐶퐷퐵=30∘. ∴ ∠푂퐷퐶=∠퐵퐷푂 + ∠퐵퐷퐶=60∘ + 30∘=90∘, ∴ 퐶퐷是⊙ 푂的切线; 答:这个确定的值是1 2 . 连接푂푃,如图: 13 / 15 由已知可得:푂푃=푂퐵=퐵퐶=2푂퐸. ∴ 푂퐸 푂푃 = 푂푃 푂퐶 = 1 2 , 又∵ ∠퐶푂푃=∠푃푂퐸, ∴ △ 푂퐸푃 ∽△ 푂푃퐶, ∴ 푃퐸 푃퐶 = 푂푃 푂퐶 = 1 2 . 【解答】 连接푂퐷、퐷퐵, ∵ 点퐸是线段푂퐵的中点,퐷퐸 ⊥ 퐴퐵交⊙ 푂于点퐷, ∴ 퐷퐸垂直平分푂퐵, ∴ 퐷퐵=퐷푂. ∵ 在⊙ 푂中,퐷푂=푂퐵, ∴ 퐷퐵=퐷푂=푂퐵, ∴ △ 푂퐷퐵是等边三角形, ∴ ∠퐵퐷푂=∠퐷퐵푂=60∘, ∵ 퐵퐶=푂퐵=퐵퐷,且∠퐷퐵퐸为△ 퐵퐷퐶的外角, ∴ ∠퐵퐶퐷=∠퐵퐷퐶 = 1 2 ∠퐷퐵푂. ∵ ∠퐷퐵푂=60∘, ∴ ∠퐶퐷퐵=30∘. ∴ ∠푂퐷퐶=∠퐵퐷푂 + ∠퐵퐷퐶=60∘ + 30∘=90∘, ∴ 퐶퐷是⊙ 푂的切线; 答:这个确定的值是1 2 . 连接푂푃,如图: 由已知可得:푂푃=푂퐵=퐵퐶=2푂퐸. ∴ 푂퐸 푂푃 = 푂푃 푂퐶 = 1 2 , 又∵ ∠퐶푂푃=∠푃푂퐸, ∴ △ 푂퐸푃 ∽△ 푂푃퐶, ∴ 푃퐸 푃퐶 = 푂푃 푂퐶 = 1 2 . 26.【答案】 ∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6经过点퐴(6,  0),퐵(−1,  0), ∴ { 푎 − 푏 + 6 = 0 36푎 + 6푏 + 6 = 0 , ∴ {푎 = −1 푏 = 5 , ∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6=−(푥 − 5 2)2 + 49 4 , ∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,顶点坐标为(5 2 , 49 4 ); 由(1)知,抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6, ∴ 퐶(0,  6), ∴ 푂퐶=6, ∵ 퐴(6,  0), ∴ 푂퐴=6, ∴ 푂퐴=푂퐶, ∴ ∠푂퐴퐶=45∘, ∵ 푃퐷平行于푥轴,푃퐸平行于푦轴, 14 / 15 ∴ ∠퐷푃퐸=90∘,∠푃퐷퐸=∠퐷퐴푂=45∘, ∴ ∠푃퐸퐷=45∘, ∴ ∠푃퐷퐸=∠푃퐸퐷, ∴ 푃퐷=푃퐸, ∴ 푃퐷 + 푃퐸=2푃퐸, ∴ 当푃퐸的长度最大时,푃퐸 + 푃퐷取最大值, ∵ 퐴(6,  0),퐶(0,  6), ∴ 直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6, 设퐸(푡, −푡 + 6)(0 < 푡 < 6),则푃(푡, −푡2 + 5푡 + 6), ∴ 푃퐸=−푡2 + 5푡 + 6 − (−푡 + 6)=−푡2 + 6푡=−(푡 − 3)2 + 9, 当푡=3时,푃퐸最大,此时,−푡2 + 5푡 + 6=12, ∴ 푃(3,  12); 如图(2),设直线퐴퐶与抛物线的对称轴푙的交点为퐹,连接푁퐹, ∵ 点퐹在线段푀푁的垂直平分线퐴퐶上, ∴ 퐹푀=퐹푁,∠푁퐹퐶=∠푀퐹퐶, ∵ 푙 // 푦轴, ∴ ∠푀퐹퐶=∠푂퐶퐴=45∘, ∴ ∠푀퐹푁=∠푁퐹퐶 + ∠푀퐹퐶=90∘, ∴ 푁퐹 // 푥轴, 由(2)知,直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6, 当푥 = 5 2 时,푦 = 7 2 , ∴ 퐹(5 2 , 7 2), ∴ 点푁的纵坐标为7 2 , 设푁的坐标为(푚, −푚2 + 5푚 + 6), ∴ −푚2 + 5푚 + 6 = 7 2 ,解得,푚 = 5+√35 2 或푚 = 5−√35 2 , ∴ 点푁的坐标为(5+√35 2 , 7 2)或(5−√35 2 , 7 2). 【解答】 ∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 6经过点퐴(6,  0),퐵(−1,  0), ∴ { 푎 − 푏 + 6 = 0 36푎 + 6푏 + 6 = 0 , ∴ {푎 = −1 푏 = 5 , ∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6=−(푥 − 5 2)2 + 49 4 , ∴ 抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6,顶点坐标为(5 2 , 49 4 ); 由(1)知,抛物线的解析式为푦=−푥2 + 5푥 + 6, ∴ 퐶(0,  6), ∴ 푂퐶=6, ∵ 퐴(6,  0), ∴ 푂퐴=6, 15 / 15 ∴ 푂퐴=푂퐶, ∴ ∠푂퐴퐶=45∘, ∵ 푃퐷平行于푥轴,푃퐸平行于푦轴, ∴ ∠퐷푃퐸=90∘,∠푃퐷퐸=∠퐷퐴푂=45∘, ∴ ∠푃퐸퐷=45∘, ∴ ∠푃퐷퐸=∠푃퐸퐷, ∴ 푃퐷=푃퐸, ∴ 푃퐷 + 푃퐸=2푃퐸, ∴ 当푃퐸的长度最大时,푃퐸 + 푃퐷取最大值, ∵ 퐴(6,  0),퐶(0,  6), ∴ 直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6, 设퐸(푡, −푡 + 6)(0 < 푡 < 6),则푃(푡, −푡2 + 5푡 + 6), ∴ 푃퐸=−푡2 + 5푡 + 6 − (−푡 + 6)=−푡2 + 6푡=−(푡 − 3)2 + 9, 当푡=3时,푃퐸最大,此时,−푡2 + 5푡 + 6=12, ∴ 푃(3,  12); 如图(2),设直线퐴퐶与抛物线的对称轴푙的交点为퐹,连接푁퐹, ∵ 点퐹在线段푀푁的垂直平分线퐴퐶上, ∴ 퐹푀=퐹푁,∠푁퐹퐶=∠푀퐹퐶, ∵ 푙 // 푦轴, ∴ ∠푀퐹퐶=∠푂퐶퐴=45∘, ∴ ∠푀퐹푁=∠푁퐹퐶 + ∠푀퐹퐶=90∘, ∴ 푁퐹 // 푥轴, 由(2)知,直线퐴퐶的解析式为푦=−푥 + 6, 当푥 = 5 2 时,푦 = 7 2 , ∴ 퐹(5 2 , 7 2), ∴ 点푁的纵坐标为7 2 , 设푁的坐标为(푚, −푚2 + 5푚 + 6), ∴ −푚2 + 5푚 + 6 = 7 2 ,解得,푚 = 5+√35 2 或푚 = 5−√35 2 , ∴ 点푁的坐标为(5+√35 2 , 7 2)或(5−√35 2 , 7 2).
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