全国各地中考平面几何题目汇编

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‎ 2017中考平面几何题目 ‎（北京）28.在等腰直角中，，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点.‎ ‎（1）若，求的大小（用含的式子表示）.‎ ‎（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.( ) ‎ ‎ ‎ ‎（成都）20. 如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点.2‎ ‎（1）求证：是圆的切线；‎ ‎（2）若为的中点，求的值； ‎ ‎（3）若，求圆的半径.( ) , ‎ ‎21世纪教育网 ‎（安徽）23.已知正方形，点为边的中点.‎ ‎（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.‎ ② 证：；‎ ‎②求证：.()‎ ‎（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值. ()‎ ‎ ‎ ‎ H ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（CH=BE,CH/AM=CG/GM=FC/MB,FC=CH=BE,设BC=1,BE=x,得,）‎ ‎（福州）24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，P，Q分为线段AC、BC上一点，且四边形PDRQ是矩形，‎ ‎（1）若为等腰三角形，求AP；(三种情况，PD=DC时，取PC的中垂线较好。)‎ ‎（2）若AP= ，求线段RC的长。（△PND∽△QMP→△PQR∽△ABC∽△PMC，→PRCQ共圆，∠PCR=90°，△KRC∽△PMC，三边符合3：4：5，算出RC= ）‎ ‎ ‎ ‎ N ‎ ‎ ‎ K ‎[中国教育&出^*@版网#]‎ ‎ M ‎（白银）27．如图，是的直径，轴，交于点． ‎ ‎（1）若点，求点的坐标；( ,2)‎ ‎（2）若为线段的中点，求证：直线是的切线．‎ ‎（天水）‎ ‎（BC= ）‎ ‎（广东）25．如题25图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0，2）‎和C（2‎3‎，0）‎，点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.‎ ‎（1）填空：点B的坐标为 ；‎ ‎（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(若D是AC之中点时，△DEC是等腰△，DE=EC, 若DC=EC，∠ABD=∠ADB=75°，∴AD=AB= ) ‎ ‎（3）①求证：DEDB‎=‎‎3‎‎3‎；(ME=CN，MC=EN，DM=MC/√3。DE/EB=DM/EN=‎3‎‎3‎)‎ ‎ ②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值21‎ ‎ M N ‎（百色）25.已知的内切圆与分别相切于点，若，如图1.‎ (1) 判断的形状，并证明你的结论；‎ (2) 设与相交于点，如图2，求的长. ‎ ‎（河池）25. 如图，为⊙的直径，分别切⊙于点交的延长线于点，的延长线交⊙于点于点.‎ ⑵ 证；‎ ‎⑵若，求的长.(△BCE是3、4、5比例，∴△EDO也是这样的。OD=3,ED=5,OC=3√5,EF=2√5)‎ ‎ ‎ ‎（南宁）25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．‎ ‎（1）求证：△ECF∽△GCE；（∠G=∠ACG=∠AEC）‎ ‎（2）求证：EG是⊙O的切线；‎ ‎（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，求EM的值．（ ）‎ ‎（广州）24．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）连接，若，． ‎ ‎①求的值；‎ ‎②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．‎ ‎(安顺)25. 如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接 .[来*@#&源^:中教网]‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）设交于点 ，若，求阴影部分的面积. ‎ ‎（六盘水）25.如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.‎ ‎(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).‎ ‎(2)求的最小值.（ ）‎ ‎（海南）23.如图11，四边形是边长为1的正方形，点 在 边上运动，且不与点 和点 重合，连结 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的长；‎ ‎（3）连结 ，在点 运动过程中，四边形 能否为平行四边形？若能，求出此时的长；若不能，说明理由。(不能。AF=CG,DE=BG=BF，△GFB是等腰直角△，∠BFC=45°+45°=90°，矛盾)‎ ‎（杭州）21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG。‎ ‎（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（）‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长。 ‎ ‎（杭州）23．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，[来~源#:*中&教网%]‎ ‎（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：( )‎ ‎（2）若γ=135°， CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长。‎ ‎ ‎ ‎（河北）25.平面内，如图，在中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．‎ ‎(1)当时，求的大小；（100°）‎ ‎(2)当时，求点与点间的距离(结果保留根号)；（ ）‎ ‎(3)若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积(结果保留)．‎ ‎（当BP=8时，面积=16，当BP=时，面积=20）‎ ‎（大庆）27.如图，四边形内接于圆，，为直径，过点作圆的切线交的延长线于点，过的三等分点（靠近点）作的平行线交于点，连结.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；[来^源~:中国*教育出版网#%]‎ ‎（3）当，时，求的长.‎ ‎[来#源~@^*:中教网]‎ ‎28.如图，直角中，为直角，.点分别在边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点由点出发以每秒3个单位的速度向点运动，点由点出发以每秒5个单位的速度向点运动，点由点出发以每秒4个单位的速度向点运动，在运动过程中：‎ ‎（1）求证：，，的面积相等； ‎ ‎（2）求面积的最小值； ‎ ‎（3）用（秒）（）表示运动时间，是否存在，使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由. 存在 ‎[中~&国^教育%出版网@]‎ ‎（哈尔滨）24．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．‎ ‎（1）如图1，求证：AE=BD；‎ ‎（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． △ACB和△DCE，△ACE和△BCD，△ABO和△DEO，△ECM和△BCN ‎（绥化市）28．如图，在矩形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点． ‎ ‎[来%#源:@中教&^网]‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：； ‎ ‎（3）当时，请直接写出的长．‎ ‎ 23.（恩施）如图11，、是的直径，是的弦，且，过点的切线与的延长线交于点，连接.‎ ‎(1)求证：平分；∠OCB=∠OBC,[来源∠OCB=∠CBP #^:中 ‎ (2)求证：；(△BCP~△CBP) ‎ ‎(3)若，求的半径. ‎ M ‎（黄冈）24.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，.动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点、点的运动时间为.‎ ‎（1）当时，求经过点 三点的抛物线的解析式； ‎ ‎（2）当时，求的值；=2/3‎ ‎（3）当线段与线段相交于点，且时，求的值；t=3‎ ‎（4）连接，当点在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．‎ 重合面积时间为 ‎ ‎ , ,‎ ‎ ‎ ‎ (黄石)24.（9分）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形成为“标准矩形”.在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如下图所示.‎ ‎（1）如图①，求证：BA=BP；‎ ‎（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；‎ ‎（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值.‎ ‎(2)CQ= AQ=, ‎ ‎(3 ) ‎ 湖北荆门 ‎24.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，.若点是边上的一个动点（与点不重合），过点作交于点.‎ ‎（1）求点的坐标；(16,-12)‎ ‎（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；X=120/7‎ ‎（3）在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由. ‎ ‎(3)M、N是直角时：MN=300/37，Q是直角时：MN=600/49‎ 湖北十堰 ‎23.已知为的直径，于，且，为半圆上的一点，连接并延长交半圆的切线于．‎ ‎（1）如图1，若，求证：是的切线；‎ ‎（2）如图2，若点在上，且，求的值．‎ ‎ ‎ ‎24.已知为直线上一点，，在等腰中，，交于，为的中点，交于．‎ ‎（1）如图1，若点在上，则① = （填“”，“”或“”）；②线段、、满足的等量关系式是 ； ‎ ‎（2）将图1中的等腰绕点顺时针旋转（），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；不成立(A、D、O、C四点共圆，OA是直径，CD是弦)‎ ‎（3）将图1中的等腰绕点顺时针旋转（），请你在图3中画出图形，并直接写出线段、、满足的等量关系式 .‎ ‎ ‎ 湖北随州 ‎24．如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．‎ ‎（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路：‎ 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；‎ 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…(中位线方法)‎ 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；‎ ‎（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求AM/NE的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AF/AB =k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示AM/MF的值．‎ ‎（2）AM/HE= AD/HD= 1/2，HE=√2 NE，∴AM/HE=AM/√2NE=1/2，∴AM/NE=√2/2‎ ‎（3）‎ AF/AB =（AC+2MF）/AC/√2= √2（AC+2MF）/AC =k MF/AC=(√2k-2)/4, AC / MF= 4/(√2k-2)‎ AM/MF=（AC+CM）/ MF= AC/ MF+1‎ ‎=4/(√2k-2)+1=(√2k+2)/(√2k-2)‎ ‎ H ‎ ‎ 湖北天水25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．21*cnjy*com ‎△BPE∽△CEQ (∠B=∠C=45°，∠BEP=∠CQE=45°-∠PEQ)‎ BC=6√2‎ 湖北聊城 ‎24.如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，过点作的平行线，与的延长线相交于点.[w#ww.zz@s^te%p~.com]‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；(∠DAC=∠BDP，∠ADC=∠P)‎ ‎（3）当时，求线段的长.‎ ‎. ‎ ‎[w~‎ 湖北孝感 ‎23. 如图，的直径 弦的平分线交于 过点作交延长线于点，连接 ‎（1）由，，围成的曲边三角形的面积是 ；‎ ‎（2）求证：是的切线；‎ ‎（3）求线段的长。 ‎ ‎△CBD∽△DAE，先算出AE=25/4, ‎ ‎△DEA∽△CED,DE =35/4‎ 湖北宜宾 ‎23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．‎ ‎（1）求证：直线CE是⊙O的切线．‎ ‎（2）若BC=3，CD=，求弦AD的长．AE=2，R=3/2，ED= AD= ‎ 湖北宜昌23. 正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作. ‎ ‎(1)当经过点时，[来%源:@~z&zste#p.com]‎ ‎①请直接填空： （可能，不可能）过点；（图1仅供分析）‎ ‎②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，且于，求证：四边形为正方形.[来源:zzs#%te&*p.~com]‎ ‎（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.‎ ‎ ‎ OG=1,则OP=2，BO=x，BG=√(1-X^2)， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 湖南常德 ‎26．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． ‎ ‎（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； ‎ ‎（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG^2=AF•AC． ‎ ‎ N ‎ M ‎2GN=BD，2GN=4DC， GN=2DC，GM=2MC 湖南郴州 ‎23. 如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.‎ ‎ （1）求证：是等边三角形；‎ ‎ （2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？‎ 若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.‎ 湖南怀化23.如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：是的切线.‎ 湖南益阳20．（本小题满分10分）‎ 第20题图 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，‎ 且∠BCD=∠A．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长． ‎ 湖南岳阳 湖南张家界 ‎21. （本小题满分7分）‎ 在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.‎ ‎(1)求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积.‎ ‎ ‎ 湖南株洲 ‎25(10分)如图示AB为的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，‎ 点F在AE的延长线上，且，线段CE交弦AB于点D；‎ ‎①求证：； ②若，且，‎ 求的面积(注：根据圆的对称性可知)[来~源&:中国%教育^*出版网]‎ 吉林长春23. 如图①，在中，，点从点出发，沿折线向终点 运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点停止时，点也随之停止.设点运动的时间为秒. ‎ ‎（1）求线段的长；（用含的代数式表示）‎ ‎（2）连结，当与的一边平行时，求的值；‎ ‎（3）如图②，过点作于点，以为邻边作矩形，点为的中点，连结 .设矩形与 重叠部分图形的面积为.①当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式；②直接写出将矩形分成两部分的面积比为时的值.‎ ‎22. （本小题10分）‎ 已知正方形的对角线，相交于点．‎ ‎（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；[www.zz#%&step*@.com]‎ ‎（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，‎ ‎①求证：；‎ ‎②当时，求的长．‎ 江苏泰州 ‎24.如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作弦，连接.‎ ‎(1)求证：点为的中点；‎ ‎(2)若，求四边形的面积.‎ 江苏无锡 ‎28．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．‎ ‎（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．‎ ‎（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．‎ 江苏扬州 ‎23．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．‎ 特例感知：‎ ‎（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．‎ ‎①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=　　BC；‎ ‎②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为　4　．‎ 猜想论证：‎ ‎（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．‎ 拓展应用 ‎（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．‎ ‎27.如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.‎ ‎(1)求证：是的切线；‎ ‎(2)若的半径为5，，求的长.‎ 内江市 ‎27.如图，在中，直径垂直于不过圆心的弦，垂足为点，连接，点在上，且.[来源@:zzs*te#%^p.com]‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）过点作的切线交的延长线于点，试判断与是否相等，并说明理由；‎ ‎（3）设半径为，点为中点，点在上，求线段的最小值.‎ ‎[来源#^:中教网~@*]‎ 南京27. 折纸的思考.‎ ‎【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形.‎ 第一步，对折矩形纸片（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）.‎ 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，得到.2-1-c-n-j-y ‎（1）说明是等边三角形.‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图④.小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.‎ ‎（3）已知矩形一边长为3，另一边长为.对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围.‎ 赤峰 ‎25．和分别是以为直角边的等腰直角三角形，点分别是的中点．‎ ‎（1）当时如图1，连接，直接写出与的大小关系；[来#源:中国教~^育出版*网@]‎ ‎（2）将绕点逆时针方向旋转，当是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．‎ ‎（3）仍将绕点旋转，当为钝角时，延长交于点，使为等边三角形如图3，求的度数．[来源&:中*~#^教网]‎ 内蒙呼和浩特24.如图，点，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求证：是正三角形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．‎ 青海西宁26.如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点.‎ ‎2017内蒙呼市 ‎24.如图，点，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求证：是正三角形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．‎ ‎2017青海西宁 ‎26.如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎2017山东滨州 ‎23．（2017山东滨州）（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．2·1·c·n·j·y ‎ （1）求证：直线DM是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证：DE2＝DF·DA．‎ A ‎2017山东德州 ‎23.如图1，在在矩形纸片中，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为.过点作交于，连接,‎ ‎(1)求证：四边形为菱形；‎ ‎（2）当在边上移动时，折痕的端点也随着移动.‎ ①当点与点重合时，（如图2），求菱形的边长；‎ ②如限定分别在上移动，求出点在边上移动的最大距离.‎ ‎2017山东济宁1‎ ‎20.实验探究：‎ ‎（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， 得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN,MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．‎ ‎（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2． 折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案， 并结合方案证明你的结论． ‎ ‎ ‎ ‎2017山东临沂 ‎25．数学课上，张老师出示了问题：如图1，、是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？‎ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得，从而容易证明是等边三角形，故，所以.‎ 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等比三角形，故，所以.‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.‎ ‎（2）小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.‎ ‎2017山东青岛 ‎24．（本小题满分12分） [来源:中国#%&教育出*@版网]‎ 已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：‎ ‎（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？‎ ‎（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？‎ ‎ 若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；‎ （4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？‎ ‎ 若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2017山东潍坊 ‎24.（本题满分12分）  边长为6的等边中，点、分别在、边上, , .  （l）如图1，将沿射线方向平移，得到，边与的交点为,边与的角平分线交于点.当多大时，四边形为菱形?并说明理由.  （2）如图2，将绕点旋转（），得到,连接、，边的中点为.  ①在旋转过程中，和有怎样的数量关系?并说明理由.【版权所有：21教育】‎ ‎ ②连接,当最大时，求的值.（结果保留根号） ‎