高中数学人教a版选修4-4阶段质量检测（二）b卷word版含解析

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阶段质量检测（二）B 卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．方程 x＝sin θ， y＝cos 2θ (θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ) A．(2，－7) B．(1,0) C. 1 2 ，1 2 D. 1 3 ，2 3 解析：选 C 由 y＝cos 2θ得 y＝1－2sin2θ， ∴参数方程化为普通方程是 y＝1－2x2(－1≤x≤1)， 当 x＝1 2 时，y＝1－2× 1 2 2＝1 2 ，故选 C. 2．直线 x＋y＝0 被圆 x＝3cos θ， y＝3sin θ (θ为参数)截得的弦长是( ) A．3 B．6 C．2 3 D. 3 解析：选 B 圆的普通方程为 x2＋y2＝9，半径为 3，直线 x＋y＝0 过圆心，故所得弦 长为 6. 3．过点(3，－2)且与曲线 x＝3cos θ， y＝2sin θ (θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( ) A.x2 15 ＋y2 10 ＝1 B. x2 152 ＋ y2 102 ＝1 C.x2 10 ＋y2 15 ＝1 D. x2 102 ＋ y2 152 ＝1 解析：选 A 化为普通方程是：x2 9 ＋y2 4 ＝1，焦点坐标为(－ 5，0)，( 5，0)，排除 B、 C、D. 4．直线 x＝1－ 1 5 t， y＝－1＋ 2 5 t (t 为参数)的斜率是( ) A．2 B.1 2 C．－2 D．－1 2 解析：选 C 由 x＝1－ 1 5 t， ① y＝－1＋ 2 5 t ② ①×2＋②得 2x＋y－1＝0，∴k＝－2. 5．参数方程 x＝cos2θ， y＝sin θ (θ为参数)所表示的曲线为( ) A．抛物线的一部分 B．一条抛物线 C．双曲线的一部分 D．一条双曲线 解析：选 A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即 y2＝－x＋1. 又 x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分． 6．当参数θ变化时，动点 P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A．点(2,3) B．点(2,0) C．点(1,3) D．点 0，π 2 解析：选 B 令 x＝2cos θ，y＝3sin θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：x2 4 ＋y2 9 ＝1，∴曲线 过点(2,0)． 7．若 P(x，y)是椭圆 2x2＋3y2＝12 上的一个动点，则 x＋ 2 2 y 的最大值为( ) A．2 6 B．4 C. 2＋ 6 D．2 2 解析：选 D 椭圆为x2 6 ＋y2 4 ＝1，设 P( 6cos θ，2sin θ)， x＋ 2 2 y＝ 6cos θ＋ 2sin θ＝2 2sin θ＋π 3 ≤2 2. 8．若直线 x＝tcos α， y＝tsin α (t 为参数)与圆 x＝4＋2cos φ， y＝2sin φ (φ为参数)相切，那么直线倾 斜角α为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 6 或5π 6 解析：选 D 直线化为y x ＝tan α，即 y＝tan α·x， 圆方程化为(x－4)2＋y2＝4， ∴由 |4tan α| tan2α＋1 ＝2⇒tan2α＝1 3 ， ∴tan α＝± 3 3 ，又α∈[0，π)，∴α＝π 6 或5π 6 . 9．点 P(x，y)在椭圆x－22 4 ＋(y－1)2＝1 上，则 x＋y 的最大值为( ) A．3＋ 5 B．5＋ 5 C．5 D．6 解析：选 A 椭圆的参数方程为 x＝2＋2cos θ， y＝1＋sin θ (θ为参数)， x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋ 5sin (θ＋φ)， ∴(x＋y)max＝3＋ 5. 10．曲线 x＝asin θ＋acos θ， y＝acos θ＋asin θ (θ为参数)的图形是( ) A．第一、三象限的平分线 B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段 C．以(－ 2a，－ 2a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、( 2a， 2a)为端点的线段 D．以(－ 2a，－ 2a)、( 2a， 2a)为端点的线段 解析：选 D 显然 y＝x，而 x＝asin θ＋acos θ＝ 2asinθ＋π 4 ，－ 2|a|≤x≤ 2|a|. 故图形是以(－ 2a，－ 2a)、( 2a， 2a)为端点的线段． 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分．把答案填写在题中的横线上) 11．双曲线 x＝tan θ， y＝2sec θ (θ为参数)的渐近线方程为______________． 解析：双曲线的普通方程为y2 4 －x2＝1， 由y2 4 －x2＝0，得 y＝±2x，即为渐近线方程． 答案：y＝±2x 12．圆的参数方程为 x＝3sin θ＋4cos θ， y＝4sin θ－3cos θ (θ为参数)，则此圆的半径为________． 解析：平方相加得 x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋ 9cos 2θ＝25，所以圆的半径为 5. 答案：5 13．在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l： x＝1＋s， y＝1－s (s 为参数)和 C： x＝t＋2， y＝t2 (t 为参数)，若 l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝________. 解析：直线 l 可化为 x＋y－2＝0，① 曲线 C 可化为 y＝(x－2)2，② 联立①②消去 y，得 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋－12· x1－x22 ＝ 2|x1－x2|＝ 2. 答案： 2 14．(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 x＝t， y＝ t (t 为参数)和 x＝ 2cos θ， y＝ 2sin θ (θ为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________． 解析：由 x＝t， y＝ t， 得 y＝ x，又由 x＝ 2cos θ， y＝ 2sin θ， 得 x2＋y2＝2. 由 y＝ x， x2＋y2＝2， 得 x＝1， y＝1， 即曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1) 三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15．(本小题满分 10 分)半径为 r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当 M 转 过5π 3 和7π 2 时，求点 M 的坐标． 解：由摆线方程 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ 可知： φ＝5π 3 时，xM＝10π＋3 3 6 r，yM＝1 2r， ∴M 点坐标为 10π＋3 3r 6 ，r 2 . φ＝7π 2 时，xM＝1 2r(7π＋2)，yM＝r， ∴点 M 坐标为 7π＋2r 2 ，r . 16．(本小题满分 12 分)求直线 x＝1＋4 5 t， y＝－1－3 5t (t 为参数)被曲线ρ＝ 2cos θ＋π 4 所截的 弦长． 解：将方程 x＝1＋4 5 t， y＝－1－3 5t， ρ＝ 2cos θ＋π 4 分别化为普通方程 3x＋4y＋1＝0，x2＋ y2－x＋y＝0， 圆心 C 1 2 ，－1 2 ， 半径为 2 2 ，圆心到直线的距离 d＝ 1 10 ， 弦长＝2 r2－d2＝2 1 2 － 1 100 ＝7 5. 17．(本小题满分 12 分)已知某曲线 C 的参数方程为 x＝1＋2t y＝at2 ，(其中 t 是参数，a∈ R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通方程． 解：(1)由题意可知有 1＋2t＝3， at2＝1 故 t＝1， a＝1， ∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为 x＝1＋2t， y＝t2. 由第一个方程得 t＝x－1 2 代入第二个方程得 y＝(x－1 2 )2， 即(x－1)2＝4y 为所求方程． 18．(本小题满分 12 分)已知经过 A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－3 5 的直线，直线与圆 x2＋y2＝25 交于 B、C 两点． (1)求 BC 中点坐标； (2)求过点 A 与圆相切的切线方程及切点坐标． 解：(1)直线参数方程为 x＝5－3 5t， y＝－3＋4 5t (t 为参数)， 代入圆的方程得 t2－54 5 t＋9＝0，∴tM＝t1＋t2 2 ＝27 5 ， 则 xM＝44 25 ，yM＝33 25 ，中点坐标为 M 44 25 ，33 25 . (2)设切线方程为 x＝5＋tcos α， y＝－3＋tsin α (t 为参数)， 代入圆的方程得 t2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0， 整理得 cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0 或 tan α＝ 8 15. ∴过 A 点切线方程为 x＝5,8x－15y－85＝0. 又 t 切＝－ b 2a ＝3sin α－5cos α， 由 cos α＝0 得 t1＝3，由 8cos α－15sin α＝0， 解得 sin α＝ 8 17 ， cos α＝15 17 ， 可得 t2＝－3. 将 t1，t2 代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)， 40 17 ，－75 17 . 19．(本小题满分 12 分)在双曲线 x2－2y2＝2 上求一点 P，使它到直线 x＋y＝0 的距离 最短，并求这个最短距离． 解：设双曲线x2 2 －y2＝1 上一点 P( 2sec α，tan α)0≤α＜2π，且α≠π 2 ，α≠3π 2 ， 则它到直线 x＋y＝0 的距离为 d＝| 2sec α＋tan α| 2 ＝| 2＋sin α| 2|cos α| . 于是 d2＝2＋2 2sin α＋sin2α 2cos2α ，化简得， (1＋2d2)sin2α＋2 2sin α＋2(1－d2)＝0. ∵sin α是实数， ∴Δ＝(2 2)2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，∴d≥ 2 2 . 当 d＝ 2 2 时，sin α＝－ 2 2 ， ∴α＝5π 4 或7π 4 ，这时 x0＝ 2sec5π 4 ＝－2，y0＝tan5π 4 ＝1. 或 x0＝ 2sec7π 4 ＝2，y0＝tan 7π 4 ＝－1. 故当双曲线上的点 P 为(－2,1)或(2，－1)时， 它到直线 x＋y＝0 的距离最小，这个最小值为 2 2 . 20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分 12 分)已知曲线 C1 的参数方程为 x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将 x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t 消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 将 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由 x2＋y2－8x－10y＋16＝0， x2＋y2－2y＝0， 得相交弦方程 x＋y－2＝0， 联立 x2＋y2－2y＝0， x＋y－2＝0， 得 y1＝1， y2＝2， 解得 x＝1， y＝1， 或 x＝0， y＝2. 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2，π 4 ， 2，π 2 .