2020年高中数学第一章y=Asin（ωx+ψ）第1课时y＝Asin（ωx＋φ）图象的变换优化练习

2020年高中数学第一章y=Asin（ωx+ψ）第1课时y＝Asin（ωx＋φ）图象的变换优化练习

第1课时 y＝Asin（ωx＋φ）图象的变换 ‎ [课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将y＝cos 的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：设y＝cos 2x的图象平移φ个单位长度，得到y＝cos 2(x＋φ)＝cos(2x＋2φ)的图象，令φ＝，即可得到y＝cos ，故y＝cos 2x的图象向左平移φ＝个单位长度得到y＝cos 的图象，因此，要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将y＝cos 的图象向右平移个单位长度．‎ 答案：B ‎2．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为(　　)‎ A．2π　　　　　　　　 B．π C. D. 解析：由题意知g(x)＝sin(2×x)＋1＝sin x＋1.故T＝2π.‎ 答案：A ‎3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到的解析式为y＝cos ωx，则ω＝(　　)‎ A．2 B． C．4 D. 解析：将y＝cos x图象上各点横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝cos x，故ω＝.‎ 答案：B 6‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B． C．0 D．－ 解析：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数 y＝sin ＝sin ，因为此时函数为偶函数，‎ 所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，验证知选B.‎ 答案：B ‎5．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A．(kπ－，kπ＋)k∈Z B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z C．(k－，k＋)，k∈Z D．(2k－，2k＋)，k∈Z 解析：由五点作图知，，解得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos(πx＋)，令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z，故选D.‎ 答案：D ‎6．将函数y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位，所得函数图象的解析式为________．‎ 解析：将y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位，得函数y＝sin[－2(x－)]＝‎ sin(－2x＋π)的图象．‎ 答案：y＝sin(－2x＋π)‎ ‎7．把函数y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ 6‎ 解析：将y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cos 的图象，‎ ‎∵y＝cos 的图象关于y轴对称，‎ ‎∴cos ＝±1.∴φ－＝kπ，k∈Z.‎ 当k＝－1时，φ取得最小正值.‎ 答案： ‎8．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sin x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．‎ 解析：根据题意，y＝sin x的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin (x－)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到 y＝sin(2x－)，此即y＝f(x)的解析式．‎ 答案：y＝sin(2x－)‎ ‎9．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的解析式．‎ 解析：由题意将y＝sin 2x的图象向右平移个单位得函数 y＝sin 2＝sin 的图象，再将所得函数的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到函数y＝sin 的图象，故f(x)＝sin .‎ ‎10．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．‎ 解析：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移 6‎ 个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin ＝3sin .‎ 因为图象平移后关于y轴对称，‎ 所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为φ∈，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝3sin .‎ ‎(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin ，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin 的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin 的图象．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D．3‎ 解析：y＝sin(ωx＋)＋2 ‎ y1＝sin[ω(x－)＋]＋2＝sin(ωx＋－ω)＋2.‎ ‎∵y与y1的图象重合，‎ ‎∴－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－k.‎ 又∵ω＞0，k∈Z，‎ ‎∴k＝－1时，ω取最小值为.‎ 答案：C ‎2．将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)‎ 6‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 解析：平移后的函数为y＝3sin ＝‎ ‎3sin ＝3sin ，增区间：－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，当k＝0时，≤x≤π，故选B.‎ 答案：B ‎3．给出下列图象变换方法：‎ ‎①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；‎ ‎②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；‎ ‎③图象向右平移个单位；‎ ‎④图象向左平移个单位；‎ ‎⑤图象向右平移个单位；‎ ‎⑥图象向左平移个单位．‎ 请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．‎ 解析：可以先平移，再伸缩，故可将y＝sin x的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，故变换序号为④②.也可先伸缩再平移，即先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位，故变换序号为②⑥.‎ 答案：④②或②⑥‎ ‎4．说明y＝－2sin ＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．‎ 6‎ 解析：y＝sin x的图象 y＝－2sin x的图象 y＝－2sin 2x的图象 y＝－2sin 的图象 y＝－2sin ＋1的图象．‎ ‎5．将函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度， 可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．‎ ‎(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；‎ ‎(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．‎ 解析：函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，‎ 可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos 2x的图象，即图象C2.‎ ‎(1)画出图象C1和C2的图象如图 ‎ (2)由图象可知：两个图象共有5个交点．‎ 即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.‎ 6‎