高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题

高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题

微专题 83 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变 量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项 式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设 ， ①令 ，可得： ②令 ，可得： ，即： （假设 为偶数），再结合①可得： （2）设 ① 令 ，则有： ，即展开式系数和 ② 令 ，则有： ，即常数项 ③ 令 ，设 为偶数，则有： ， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出 和 的值 二、典型例题： 例 1：已知 ，则 的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的 指数幂为奇数，所以考虑令 ，则偶数项 相同，奇数项相反，两式相减即可得到 的值 解：令 可得： ①   0 1 1 2 2 2n n n n r n r r n n n n n n na b C a C a b C a b C a b C b           1a b  0 12n n n n nC C C    1, 1a b    0 1 2 30 1 n n n n n n nC C C C C      0 2 1 3 1n n n n n n n nC C C C C C         n 0 2 1 3 1 12n n n n n n n n nC C C C C C               2 0 1 22 1 n n nf x x a a x a x a x       1x     0 1 2 2 1 1 1n na a a a f        0x     0 2 0 1 0na f    1x   n    0 1 2 3 1 2 1 1n na a a a a f                0 2 1 3 1 1n na a a a a a f            0 2 na a a    1 3 1na a a     8 2 8 0 1 2 83 1x a a x a x a x      1 3 5 7a a a a   x 1, 1x x   1 3 5 7a a a a   1x  8 0 1 82 a a a    令 可得： ② ① ②可得： 答案： 例 2 ： 已 知 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求 式 子 特 点 可 令 ， 得 到 ， 只 需 再 求 出 即 可 。 令 可 得 ，所以 答案：B 例 3：设 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 思路：所求 ，在 恒 等 式 中 令 可 得 ： ， 令 时 ， 所 以 答案：A 例 4：若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 思路：虽然 展开式的系数有正有负，但 与 对应系数的绝对值相同， 且 均为正数。所以只需计算 展开的系数和即可。令 ，可得系数和为 1x   8 0 1 2 84 a a a a       8 8 1 3 5 72 4 2 a a a a      8 8 1 3 5 7 1 2 42a a a a       8 81 2 42          9 2 112 0 1 2 111 2 1 1 1x x a a x a x a x          1 2 11a a a   0 2 255 2 x 2x  0 1 11 0a a a    0a 1x  0 2a   1 2 11 2a a a     4 2 3 4 0 1 2 3 42 2x a a x a x a x a x         2 2 0 2 4 1 3a a a a a    16 16 1 1       2 2 0 2 4 1 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4a a a a a a a a a a a a a a a             1x   4 0 1 2 3 4 2 2a a a a a      1x    4 0 1 2 3 4 2 2a a a a a             4 42 2 0 2 4 1 3 2 2 2 2 16a a a a a         5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 52 3x a a x a x a x a x a x       0 1 2 3 4 5a a a a a a     55 1 52 52  52 3x  52 3x  52 3x  52 3x  52 3x 1x  ，所以 答案：A 例 5：若 ，则 __________ 思路：所求表达式可变形为： ，从而只需求出 和系数和即可。 令 可 得 ： ， 令 可 得 ： ， 所 以 答案：2014 例 6 ： 若 ， 且 ， 则 等于（ ） A. B. C. D. 思路：由 可得 或 ，解得 ，所求表达 式只需令 ，可得 答案：A 例 7 ： 若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 思路：所求表达式中的项呈现 2 的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令 ，可得： ，令 可得： ，所以 ，所 以所求表达式变形为： ，而 ，所以 ，从而表达式的值为 答案：D 例 8 ： 已 知 ， 若 55 5 0 1 2 3 4 5 5a a a a a a       2014 2014 0 1 20141 2x a a x a x          0 1 0 2 0 2014a a a a a a        0 0 1 20142013a a a a    0a 0x  0 1a  1x  0 1 2014 1a a a     0 0 1 20142013 2014a a a a      2 6 2 20 20 n nC C n N     2 0 1 22 n n nx a a x a x a x       0 1 2 1 n na a a a     81 27 243 729 2 6 2 20 20 n nC C  2 6 2n n      2 6 2 20n n    4n  1x       44 0 1 2 41 2 1 81a a a a              2013 2 2013 0 1 2 20132 1x a a x a x a x x R       2 3 2013 2 3 2013 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a a a a     1 2013 1 2013 1 4026 1 4026 1 2x  2 2013 0 1 2 2013 1 02 2 2 a aa a     0x  0 1a   2 2013 1 2 2013 12 2 2 a a a    1 1 1 1 1 112 2 a a a          20121 1 2013 2 1 4026a x C x x     1 4026a  1 4026      2 0 11 1 1 n n nx x x a a x a x           ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 思路：在恒等式中令 可得系数和 ，与条 件联系可考虑先求出 ，令 ，可得 ，展开式中 为最高次项系数，所以 ， ， 所 以 ， 即 ，解得 答案：B 例 9：若 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 思路：观察所求式子中 项的系数刚好与二项展开式中 所在项的次数一致，可联想到幂函 数 求 导 ： ， 从 而 设 ， 恒 等 式 两 边 求 导 再 令 可 解 得 的值，再在原恒等式中令 计算出 即可 解：设 令 可得： 而在 中，令 可得： 答案：D 例 10：若等式 对于一切实数 都成立，则 （ ） A. B. C. D. 思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积 1 2 1 29na a a n     n 3 4 5 6 1x   2 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 n n na a a            0, na a 0x  0a n na 1na  1 1 2 1 2 2 1n na a a n         12 2 1 29n n n      12 32n  4n   5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 52 3x a a x a x a x a x a x       0 1 2 3 4 52 3 4 5a a a a a a     10 20 233 233 ia ia  ' 1n nx nx     52 3f x x  1x  1 2 3 4 52 3 4 5a a a a a    0x  0a    5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 52 3f x x a a x a x a x a x a x           4' 2 3 4 1 2 3 4 55 2 3 2 2 3 4 5f x x a a x a x a x a x         1x  1 2 3 4 510 2 3 4 5a a a a a      5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 52 3x a a x a x a x a x a x       0x  5 0 3 243a     0 1 2 3 4 52 3 4 5 233a a a a a a         2014 2 2014 0 1 2 20142 1x a a x a x a x      x 0 1 2 2014 1 1 1 2 3 2015a a a a     1 4030 1 2015 2 2015 0 分。例如： ，再利用赋值法令 即可得到所求表达式的值 解： ，两边同取不定积分可得： 令 可得： 令 可得： 答案：B 小 炼 有 话 说 ： （1）本题可与例 9 作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定 积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。 （2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找 的原函数，要注意其原 函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通 过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数 “C”，再利用赋值法求出 的值即可 ' ' ' 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1, , ,2 3 1 n n n na x a x a x a x a x a xn                   1x   2014 2 2014 0 1 2 20142 1x a a x a x a x       2015 2 3 2015 0 1 2 2014 1 1 1 12 14030 2 3 2015x C a x a x a x a x       1x  0 1 2 2014 1 1 1 1 4030 2 3 2015C a a a a      0x  1 104030 4030C C     0 1 2 2014 1 1 1 1 2 3 2015 2015a a a a       20142 1y x  C