2004年上海市初中数学中考试卷及答案

2004年上海市初中数学中考试卷及答案

2004 年全国各地中考试卷汇编 上海市 一. 填空题：（28 分） 1. 计算： ( )( )a b a b  2 2 ______________。 2. 不等式组 2 3 0 3 2 0 x x        的整数解是_______________。 3. 函数 y x x  1 的定义域是________________。 4. 方程 7 1  x x 的根是_______________。 5. 用换元法解方程 x x x x 2 2 1 1 4    ，可设 y x x  1 ，则原方程化为关于 y 的整式 方程是_______________。 6. 一个射箭运动员连续射靶 5 次，所得环数分别是 8，6，7，10，9，则这个运动员所得 环数的标准差为_______________。 7. 已知 a b  0，则点 A a b b( ) ， 在第____________象限。 8. 正六边形是轴对称图形，它有_____________条对称轴。 9. 在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE//BC，AD=1，BD=2，则 S SADE ABC ： =_____________。 10. 在△ABC 中，     A B AC b AB90°，设 ， ，则 ___________（用 b 和θ 的三角比表示）。 11. 某山路的路面坡度 I  1 399： ，沿此山路向上前进 200 米，升高了__________米。 12. 在△ABC 中，点 G 为重心，若 BC 边上的高为 6，则点 G 到 BC 边的距离为______。 13. 直角三角形的两条边长分别为 6 和 8，那么这个三角形的外接圆半径等于_________。 14. 如图 1 所示，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°后得到正方形 EFCG，EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长为______________。 图 1 二. 多项选择题：（12 分） 15. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. a a a4 3 7  B. a a a6 3 2  C.  a a3 2 5 D.  a b a b3 3 3   16. 如图 2 所示，在△ABC 中，AB=AC，  A 36°， BD 平分 ABC DE BC， / / ， 那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是（ ） A. △DBE B. △ADE C. △ABD D. △BDC 图 2 17. 下列命题中，正确的是（ ） A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外； B. 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线； C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线； D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。 18. 在函数 y k x k ( )0 的图象上有三点 A x y1 1 1( )， 、 A x y A x y2 2 2 3 3 3( ) ( )， 、 ， ，已 知 x x x1 2 30   ，则下列各式中，正确的是（ ） A. y y1 30  B. y y3 10  C. y y y2 1 3  D. y y y3 1 2  三. （本大题共 4 题，每题 7 分，满分 28 分） 19. 化简： 18 2 1 2 1 4 1 8    20. 关于 x 的一元二次方程 mx m x m2 3 1 2 1 0    ( ) ，其根的判别式的值为 1，求 m 的值及该方程的根。 21. 如图 3 所示，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC， DBC 45°，翻折梯形 ABCD，使 B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E。若 AD=2，BC=8，求： （1）BE 的长； （2） CDE 的正切值。 图 3 22. 某区从参加数学质量检测的 8000 名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本， 为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：随后汇总整个样本 数据，得到部分结果，如表二。 表一 甲组 乙组 人数（人） 100 80 平均分（分） 94 90 表二 分数 段  0 60，  60 72，  72 84，  84 96，  96 108，  108 120， 频数 3 6 36 50 13 频率 20% 40% 等第 C B A 请根据表一、表二所示信息回答下列问题： （1）样本中，学生数学成绩平均分为_____________分（结果精确到 0.1）； （2）样本中，数学成绩在 84 96， 分数段的频数为____________，等第为 A 的人数 占抽样学生总人数的百分比为________________，中位数所在的分数段为___________； （3）估计这 8000 名学生数学成绩的平均分约为____________分（结果精确到 0.1）。 四. （本大题共 4 题，每题 10 分，满分 40 分） 23. 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数 y x k x k    2 5 4( ) ( ) 的图象 交 x 轴于点 A x B x x x( ) ( ) ( )( )1 2 1 20 0 1 1 8， 、 ， ，且     。 （1）求二次函数的解析式； （2）将上述函数图象沿 x 轴向右平移 2 个单位，设平移后的图象与 y 轴的交点为 C， 顶点为 P，求△POC 的面积。 24. 如图 4 所示，在△ABC 中， BAC 90° ，延长 BA 到点 D，使 AD AB 1 2 ，点 E、F 分别为 BC、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE； （2）过点 A 作 AG//BC，交 DF 于点 G，求证：AG=DG。 图 4 25. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为 2240 米的河堤进行加固，由于采 用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了 20 米，因而完成此段加固工程 所需天数将比原计划缩短 2 天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固 224 米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 26. 在△ABC 中，    BAC AB AC90 2 2°， ，圆 A 的半径为 1，如图 5 所示， 若点 O 在 BC 边上运动（与点 B、C 不重合），设 BO=x，△AOC 的面积为 y。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当圆 O 与圆 A 相切时，△AOC 的面积。 图 5 五. （本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）小题满分为 6 分，（2）（3）小题满分均为 3 分） 27. 数学课上，老师出示图 6 和下面框中条件。 如图 6 所示，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，A 点坐标为（1，0），点 B 在 x 轴 上且在点 A 的右侧，AB=OA。过点 A 和 B 作 x 轴的垂线，分别交二次函数 y=x2 的 图象于点 C 和 D。直线 OC 交 BD 于点 M，直线 CD 交 y 轴于点 H。记点 C、D 的横 坐标分别为 xC、xD，点 H 的纵坐标为 yH。 同学发现两个结论： ① S SCMD ABMC ： ：梯形  2 3； ②数值相等关系： x x yC D H   。 （1）请你验证结论①和结论②成立； （2）请你研究：如果将上述框中的条件“A 点坐标（1，0）”改为“A 点坐标为 ( ) ( )t t， ，0 0 ”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由） （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A 点坐标（1，0）”改为“A 点坐标为 ”，又将条件“ y x 2 ”改为“ y ax a 2 0( ) ”，其他条件不变，那么 x xC D、 和 yH 有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由） 图 6 【试题答案】 一. 填空题 1. a b2 24 2. 0，1 3.  x x|  1 4. x  3 5. y y2 6 0   6. 2 7. 三 8. 6 9. 1：9 10. b ctg  或btan 11. 10 12. 2 13. 5 或 4 14. 3 二. 选择题 15. AD 16. BD 17. ACD 18. AC 三. 解答题 19. 解： 18 2 1 2 1 4 1 8         3 2 3 2 2 2 3 20. 解： mx m x m2 3 1 2 1 0    ( ) 由题意得 m b ac m m m       0 4 3 1 4 2 1 12 2， ( ) ( )                 9 6 1 8 4 1 0 2 0 0 2 2 5 3 0 3 2 1 2 2 2 2 1 2 m m m m m m m m x x x x ， （舍）或 则原方程变为 ， 21. 解：（1）设 BE x EC x  ，则 8  PBE B D45°， 点折后又于 点重合                 BE DE EDB DE BC EC EC x x BE 45 8 2 2 3 8 3 5 5 ° ，则 ，即 （2） CE DE BE  3 5，    tan CDE CE DE 3 5 即 CDE 的正切值为 3 5 22. 92.2，72，35%， 84 96， ，92.2 23. 解：（1）二次函数 y x k x k    2 5 4( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x k k k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 8 1 8 9 5 4 9 5                      即 即二次函数的解析式为 y x 2 9 （2）平移后为 y x  ( )2 92 顶点 P C( ) ( )2 9 0 5， ， ，  SPOC   1 2 5 2 5 24. 证明：（1）过 E 作 EM AF/ / E是中点 ∴M 是 AB 的中点 AD AB BM AB AD BM EMB FAD AF EM          1 2 1 2 90 ， °， 则 Rt ADF Rt BEM BE DF  ，则 （2）画出线段 AG     AFD FCE D FEC FE AB FEC B AG BC B DAG D DAG AG DG                ，又 ，又 ， / / / / 25. 解：设原计划每天加固 xm，则现在计划为 x m 20 由题意可得： 2240 20 2240 2x x   解得： x m 140 那么现计划为140 20 160  m 则 224 160 64  m 答：每天加固的长度还要再增加 64m。 26. 解：（1）在 Rt ABC BC AB AC 中，     2 2 8 8 4 BO x OC x A AF BC F AF FC S OC AF x x y x x AOC                   ，则 ，过 作 于 则 则 4 2 1 2 1 2 4 2 4 4 0 4  ( ) .( ) （2）当点 O 与点 H 重合时，圆 O 与圆 A 相交，不合题意；当点 O 与点 H 不重合时， 在 Rt AOH 中， AO AH OH x x x2 2 2 2 24 2 4 8       | | ∵圆 A 的半径为 1，圆 O 的半径为 x ∴①当圆 A 与圆 O 外切时， ( )x x x   1 4 82 2 解得： x  7 6 此时△AOC 的面积 y   4 7 6 17 6 ②当圆 A 与圆 O 内切时， ( )x x x   1 4 82 2 解得 x  7 2 此时△AOC 的面积 y   4 7 2 1 2 ∴当圆 A 与圆 O 相切时，△AOC 的面积为 17 6 或 1 2 。 27. 解：（1）由已知可得点 B 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（1，1），点 D 的坐标 为（2，4），由点 C 坐标为（1，1）易得直线 OC 的函数解析式为 y x ∴点 M 的坐标为（2，2）      S S S S CMD ABMC CMD ABMC  1 3 2 2 3 ， ： ： 梯形 梯形 即结论①成立； 设直线 CD 的函数解析式为 y kx b  则 k b k b        1 2 4 ，得 k b       3 2 ∴直线 CD 的函数解析式为 y x 3 2 ； 由上述可得，点 H 的坐标为（0，-2）， yH  2 x x x x y C D C D H · ·    2 即结论②成立； （2）结论①仍成立 ∵点 A 的坐标为 ( )( )t t，0 0 ，则点 B 坐标为（ 2 0t， ），从而点 C 坐标为 ( )t t， 2 ， 点 D 坐标为 ( )2 4 2t t， ，设直线 OC 的函数解析式为 y kx ，则 t kt2  ，得 k t ∴直线 OC 的函数解析式为 y tx 设点 M 的坐标为（ 2t y， ） ∵点 M 在直线 OC 上， ∴当 x t 2 时， y t 2 2 ，点 M 的坐标为（ 2 2 2t t， ）    S S t t t t tCMD ABMC ： · ·： ：梯形 1 2 2 2 2 2 32 2 2( ) ∴结论①仍成立； （3） x x a yC D H·   1 由题意，当二次函数的解析式为 y ax a 2 0( ) ，且点 A 坐标为（t，0）（ t  0 ）时， 点 C 坐标为（ t at， 2 ），点 D 坐标为（ 2 4 2t at， ），设直线 CD 的函数解析式为 y kx b  则 kt b at kt b at k at b at              2 2 22 4 3 2 ，得 ∴直线 CD 的函数解析式为 y atx at 3 2 2 则点 H 的坐标为（ 0 2 2，  at ）， y atH  2 2 x x t x x ay C D C D H · ·    2 1 2