- 2021-04-23 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习(精选精讲)练习8-二项式定理习题精选精讲
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1.“”型的展开式 例1.求的展开式; 解:原式== = = = 小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2. “”型的展开式 例2.求的展开式; 分析:解决此题,只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算; 解:原式= 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知的展开式中的系数为,常数的值为 解: 令,即 依题意,得 ,解得 2.确定二项展开式的常数项 例5.展开式中的常数项是 解: 令,即。 所以常数项是 3.求单一二项式指定幂的系数 例6.(03全国)展开式中的系数是 ; 解:== 令则,从而可以得到的系数为: ,填 三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数 例7.的展开式中,的系数等于 解:的系数是四个二项展开式中4个含的,则有 例8.(02全国)的展开式中,项的系数是 ; 解:在展开式中,的来源有: ① 第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为; ② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为 的系数应为:填。 四、利用二项式定理的性质解题 1. 求中间项 例9.求(的展开式的中间项; 解:展开式的中间项为 即:。 当为奇数时,的展开式的中间项是和; 当为偶数时,的展开式的中间项是。 2. 求有理项 例10.求的展开式中有理项共有 项; 解: 当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 ① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。 3. 求系数最大或最小项 (1) 特殊的系数最大或最小问题 例11.(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是 ; 解: 要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为 (2) 一般的系数最大或最小问题 例12.求展开式中系数最大的项; 解:记第项系数为,设第项系数最大,则有 又,那么有 即 解得, 系数最大的项为第3项和第4项。 (1) 系数绝对值最大的项 例13.在(的展开式中,系数绝对值最大项是 ; 解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理, 故此答案为第4项,和第5项。 五、利用“赋值法”求部分项系数,二项式系数和 例14.若, 则的值为 ; 解: 令,有, 令,有 故原式= = = 在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例15.设, 则 ; 分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解: = =0 六、利用二项式定理求近似值 例16.求的近似值,使误差小于; 分析:因为=,故可以用二项式定理展开计算。 解:== , 且第3项以后的绝对值都小于, 从第3项起,以后的项都可以忽略不计。 == 小结:由,当的绝对值与1相比很小且很大时,等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求,对高中学生的计算能力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。 七、利用二项式定理证明整除问题 例17.求证:能被7整除。 证明: = = =49P+() 又 =(7+1) = =7Q(Q) 能被7整除。 在利用二项式定理处理整除问题时,要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来,变形要有一定的目的性,要凑 出相关的因数。查看更多