高考数学专题复习练习：高考大题专项练五

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高考大题专项练五 高考中的解析几何 高考大题专项练第 10 页 1.(2016 山西太原一模)已知椭圆 M: 2 2 2 3 =1(a>0)的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (1)求椭圆方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (3)记 △ ABD 与 △ ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1-S2|的最大值. 解(1)因为 F(-1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1. 又 b2=3,所以 a2=4,所以椭圆方程为 2 4 2 3 =1. (2)因为直线的倾斜角为 45°,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到 2 4 2 3 = 1 , = 1 , 消掉 y,得到 7x2+8x-8=0, 所以Δ=288,x1+x2=- 8 7 ,x1x2=- 8 7 , 所以|CD|= 1 2 |x1-x2|= 2 × ( 1 2 ) 2 - 412 = 24 7 . (3)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=-1,此时 D - 1 , 3 2 ,C - 1 ,- 3 2 , △ ABD, △ ABC 面积相 等,|S1-S2|=0. 当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k≠0), 设 C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程联立得到 2 4 2 3 = 1 , = ( 1 ), 消掉 y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 显然Δ>0,方程有根,且 x1+x2=- 82 342 ,x1x2= 42 - 12 342 , 此时|S1-S2|=2||y1|-|y2|| =2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)| =2|k(x2+x1)+2k|= 12 | | 342 = 12 3 | | 4 | | ≤ 12 2 3 | |· 4 | | = 12 2 12 = 3 当且仅当 =± 3 2 时等号成立 , 所以|S1-S2|的最大值为 3 . 〚导学号 74920587〛 2.已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足| |= ·( )+2. (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2n>0),椭圆 C2 的方程为: 2 2 2 2 =λ(λ>0,且λ≠1),则称 椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆.如图,已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆,若椭圆 C 的任 意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M,N,试求弦长|MN|的取值范围. 解(1)设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 =1(a>b>0), ∴直线 AB 的方程为 - =1. ∴F1(-1,0)到直线 AB 的距离 d= | - | 22 = 7 7 b,a2+b2=7(a-1)2. 又 b2=a2-1,解得 a=2,b= 3 , 故椭圆 C 的方程为 2 4 2 3 =1. (2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为 2 12 2 9 =1, ①若切线 l 垂直于 x 轴,则其方程为 x=±2,易求得|MN|=2 6 . ②若切线 l 不垂直于 x 轴,可设其方程为 y=kx+b, 将 y=kx+b 代入椭圆 C 的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0, ∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0, 即 b2=4k2+3, (*) 设 M,N 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 将 y=kx+b 代入椭圆 C2 的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时 x1+x2=- 8 342 ,x1x2= 42 - 36 342 , |x1-x2|= 4 3 ( 1229 - 2 ) 342 , ∴|MN|= 1 2 · 4 3 ( 1229 - 2 ) 342 =4 6 12 342 =2 6 1 1 342 . ∵3+4k2≥3,∴1<1+ 1 342 ≤ 4 3 , 即 2 6 <2 6 1 1 342 ≤4 2 . 综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2 6 ,4 2 ]. 〚导学号 74920590〛 5.已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1(a>b>0)的右焦点 F(1,0),过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆 交于 P,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60°. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 T(t,0),使得 · = · ?若存在,求出实 数 t 的取值范围;若不存在,说明理由. 解(1)由题意知 c=1,又 =tan 60°= 3 , 所以 b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为 2 4 2 3 =1. (2)设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),代入 2 4 2 3 =1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点为 R(x0,y0), 则 x0= 12 2 = 42 342 ,y0=k(x0-1)=- 3 342 , 由 · = · 得 ·( )= ·(2 )=0, 所以直线 TR 为直线 PQ 的垂直平分线, 直线 TR 的方程为 y+ 3 342 =- 1 - 42 342 , 令 y=0 得 T 点的横坐标 t= 2 342 = 1 3 24 . 因为 k2∈(0,+∞),所以 3 2 +4∈(4,+∞), 所以 t∈ 0 , 1 4 . 所以线段 OF 上存在点 T(t,0),使得 · = · ,其中 t∈ 0 , 1 4 . 〚导学号 74920591〛 6.已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1(a>b>0)的离心率为 1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与 直线 x-y+ 6 =0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 · 的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点. (1)解由题意知, = 1 2 , 6 2 =b,即 b= 3 . 又 a2=b2+c2,所以 a=2,b= 3 . 故椭圆的方程为 2 4 2 3 =1. (2)解由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4), 由 = ( - 4 ), 2 4 2 3 = 1 , 可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则Δ=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0, 所以 0≤k2< 1 4 . 则 x1+x2= 322 342 ,x1x2= 642 - 12 342 . ① 所以 · =x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4) =(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2 =(1+k2)· 642 - 12 342 -4k2· 322 342 +16k2=25- 87 42 3 . 因为 0≤k2< 1 4 ,所以- 87 3 ≤- 87 42 3 <- 87 4 , 则-4≤25- 87 42 3 13 4 ,即 · ∈ - 4 , 13 4 . (3)证明因为 B,E 关于 x 轴对称, 所以可设 E(x2,-y2), 则直线 AE 的方程为 y-y1= 12 1 - 2 (x-x1). 令 y=0,可得 x=x1- 1 ( 1 - 2 ) 12 . 因为 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4), 所以 x= 212 - 4 ( 12 ) 12 - 8 = 2×642 - 12 342 - 4× 322 342 322 342 - 8 =1, 所以直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0). 〚导学号 74920592〛 7. 如图,已知椭圆 2 4 2 3 =1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点 为 G,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点. (1)若点 G 的横坐标为- 1 4 ,求直线 AB 的斜率; (2)记 △ GFD 的面积为 S1, △ OED(O 为原点)的面积为 S2.试问:是否存在直线 AB,使得 S1=S2?说明理由. 解(1)依题意可知,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+1),将其代入 2 4 2 3 =1, 整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=- 82 42 3 . 故点 G 的横坐标为 12 2 = - 42 42 3 =- 1 4 ,解得 k=± 1 2 . (2)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,显然直线 AB 不能与 x 轴,y 轴垂直. 由(1)可得 G - 42 42 3 , 3 42 3 . 设点 D 坐标为(xD,0). 因为 DG⊥AB,所以 3 423- 42 423 - ·k=-1, 解得 xD=- 2 42 3 ,即 D - 2 42 3 , 0 . 因为 △ GFD∽ △ OED,且 S1=S2,所以|GD|=|OD|. 所以 - 2 423 - - 42 423 2 - 3 423 2 = - 2 42 3 , 整理得 8k2+9=0. 因为此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 S1=S2. 〚导学号 74920593〛 8.(2016 天津,文 19)设椭圆 2 2 2 3 =1(a> 3 )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 1| | 1| | = 3| |, 其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H.若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率. 解(1)设 F(c,0).由 1| | 1| | = 3| |, 即 1 1 = 3 ( - ),可得 a2-c2=3c2, 又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4. 所以,椭圆的方程为 2 4 2 3 =1. (2)设直线 l 的斜率为 k(k≠0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2). 设 B(xB,yB),由方程组 2 4 2 3 = 1 , = ( - 2 ) 消去 y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得 x=2 或 x= 82 - 6 42 3 , 由题意得 xB= 82 - 6 42 3 ,从而 yB= - 12 42 3 . 由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), = 9 - 42 42 3 , 12 42 3 . 由 BF⊥HF,得 · =0, 所以 42 - 9 42 3 12 42 3 =0,解得 yH= 9 - 42 12 . 因此直线 MH 的方程为 y=- 1 x+ 9 - 42 12 . 设 M(xM,yM), 由方程组 = ( - 2 ), = - 1 9 - 42 12 消去 y, 解得 xM= 202 9 12 ( 2 1 ). 在 △ MAO 中,∠MOA=∠MAO ⇔ |MA|=|MO|, 即(xM-2)2+ 2 = 2 2 ,化简得 xM=1, 即 202 9 12 ( 2 1 )=1,解得 k=- 6 4 或 k= 6 4 . 所以,直线 l 的斜率为- 6 4 或 6 4 . 〚导学号 74920594〛