高考数学专题复习练习：6-5 专项基础训练

高考数学专题复习练习：6-5 专项基础训练

‎ 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．‎ ‎【解析】 (1)证明　由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝.‎ 又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.‎ ‎∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.‎ ‎∴数列{bn}是b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知2an＋1＝an＋1，∴2an＝an－1＋1(n≥2)．‎ ‎∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)，‎ 即2cn＋1＝cn(n≥2)，‎ 又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝.‎ ‎∴c2＝－＝，即c2＝c1.‎ ‎∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴cn＝·＝.‎ ‎2．(2016·青岛模拟)已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1成立．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92，‎ 解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.‎ 因为b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1，‎ 所以b1·b2·b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)，‎ 两式相除得bn＝(n≥2)．‎ 因为当n＝1时，b1＝4适合上式，‎ 所以bn＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝，‎ 则Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ 所以Tn＝2＋－，‎ 从而Tn＝2＋3×－，‎ 即Tn＝7－.‎ ‎3．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.‎ ‎【解析】 (1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an＝a1·2n－1＝2n－1.‎ ‎∴Sn＝2n－1.‎ 设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，‎ ‎∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)证明　∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，‎ ‎∴cn＝＝ ‎＝，‎ ‎∴Tn＝ ‎＝＝.‎ ‎∵n∈N*，∴Tn＝＜，‎ 当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝＞0，‎ ‎∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.‎ 综上所述，≤Tn＜.‎ ‎4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，‎ 所以f(x)＝3x2－2x.‎ 又因为点(n，Sn)，(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，‎ 所以，an＝6n－5(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝，‎ 故Tn＝ ‎＝＝.‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2an＝3(n∈N*)，设数列{bn}满足b1＝a1，bn＝(n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)∵Sn＋2an＝3(n∈N*)，∴当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝3，两式相减得3an＝2an－1，即＝.‎ 又当n＝1时，a1＋2a1＝3，‎ ‎∴a1＝1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，且an＝.‎ ‎∵当n≥2时，bn＝，两边取倒数得＝＋，‎ ‎∴－＝，b1＝a1＝1，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，且＝1＋(n－1)×＝，‎ ‎∴bn＝.‎ ‎(2)由(1)可知cn＝＝n，‎ Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，①‎ Tn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×②‎ ‎①－②得－Tn＝1＋＋＋…＋－n×＝－2＋(2－n)×，‎ ‎∴Tn＝4＋2(n－2).‎ ‎6．数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－n，等差数列{bn}的各项为正实数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若cn＝an·bn，当n≥2时，求数列{cn}的前n项和An.‎ ‎【解析】 (1)当n＝1时，a1＝2－1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n－[2n－1－(n－1)]＝2n－1－1，此式对n＝1不成立，‎ ‎∴an＝ 又由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.‎ 设数列{bn}的公差为d，由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列可得6－d，6，7＋d成等比数列，∴(6－d)(7＋d)＝36⇒d＝2或d＝－3(舍)．‎ 从而可得bn＝b2＋(n－2)d＝5＋(n－2)·2＝2n＋1.‎ ‎(2)cn＝an·bn＝ 当n≥2时，‎ An＝3＋5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1－[5＋7＋…＋(2n＋1)]，‎ 令Pn＝5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1，①‎ 则2Pn＝5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，②‎