数学高考易错题大盘点供文科生使用

数学高考易错题大盘点供文科生使用

数学高考易错题大盘点（文科）‎ 对于文科考生来说，数学学科临场发挥的好坏，几乎决定高考的成败。综观近年高考阅卷，直面考生解题过程，正如名言“幸福的家庭都是一样的幸福，不幸的家庭各有各的不幸”所述，正确的解法通常表现为思维流畅、方法得当、知识清晰、书写规范，让阅者有“一气呵成”之感，而有问题的解法则往往显示出各种各样的缺漏，使人颇有“冤枉丢分”之憾；实践证实：尽量减少考试失误是高考数学致胜的法宝；本文旨在通过对考生失误情况的分析和诊断，力求把学生引向高考数学的至高点。‎ 症状一：审题性失误 文科考生数学意识一般不太强，加上在考试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现失误：或没有注意题目中关键的叙述，误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误 纠错良方：‎ 仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析 错因1 忽略条件信息 ‎[例1]已知集合A={k|方程表示的曲线是双曲线}，B={x|y= }，则AB=（ ）‎ A.（1,3） B.（3+） ‎ C.（-，-1]（3，+） ‎ D.（-，-1）（1，+）‎ ‎[错解1] 令 k>0 ‎ ‎ k-3>0 ‎ A={k|k>3}‎ 令 ‎ B={x|x或x}‎ ‎[错解2]前面同上，由A={k|k>3}，B={x|x或x} A= ‎[错解3]令k（k-3）>0k>3或k<0，即A=（-，0）（3，+），又 0， B=(0,+)，故A=（3，+）‎ ‎[错因诊断] 忽略题意信息，错误地理解集合元素的意义或双曲线标准方程中的字母意义 ‎[正解] 集合A是不等式k(k-3) >0的解集，即A=（-，0）（3，+），集合B=（-，-1][1，+）， AB=（-，-1]（3，+），故选C ‎[错因反思] 在解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本真 纠错良方：‎ 审题时抓住细节和关键点，重视限制条件，注意反思和检查 错误档案：‎ ‎（1）（2007年安徽高考题）若集合 ‎ A={x}，B={x}，则A（CuB）中元素个数为（ ）‎ A.0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 解题时易忽略“x”这个已知条件，从而无选项。‎ ‎（2）（2007重庆高考题）设{}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程的二根，则a2006+a2007 = ‎ 解题时忽略“q>1”的条件而误填：3或 ‎ ‎ 错因2：遗忘隐含条件 ‎[例2]（2006年陕西高考题）已知不等式（x+y）（+） 9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值？‎ ‎[错解]∵x+y≥ 且+，∴（x+y）（+）4要使（x+y）（+）对任意正实数x、y恒成立，只要4,即a，故正实数a的最小值为 ‎[错因诊断]以上解法因忽视等号成立而导致错误，这种错误比较隐蔽不易察觉，本题中，当a=时，固然有（x+y）(+）对任意x，y恒成立，但当且仅当x=y且 = ，即a=1且x=y时才成立，显然a=1与a= 两者相矛盾，故（x+y）(+），4和a=中的等号都不能成立 ‎[正解]由（x+y）(+）‎ ‎=1+a++1+a+2=，‎ 由a4，当且仅当a=4 且x=y时，（x+y）（+）且9和a4中的等号都成立，故正实数a的最小值为4‎ ‎[纠错反思] 正确运用题设，合理地将已知条件实施等价转换，从而达到化难为易，化繁为简，化未知为已知之目的，要切实注意“等价转换”过程中的隐含条件 纠错良方:‎ 要深入理会，充分挖掘隐含条件，有意识地重点关注：等式成立的条件、变量的取值范围、隐蔽的性质、常识性结论等 错误档案：‎ ‎（1）若直线L：y=k（x-2）+2与圆c:有两个公共点，则实数k之取值范围为 ‎ 解题时由于没有充分挖掘隐含条件“点（2，2）在圆C上”，以致把问题复杂而造成错解，事实上只需考虑直线L与圆C不相切即可 ‎（2）已知函数的定义域为（-），且，求关于x 不等式：‎ 之解集。‎ 解题时，由于没有注意到为偶函数，以及和均在（-）内，且=-x，从而得到(x)0（0x），于是得到(x)在（0，）上递增，进而得到+>-等性质，导致没能找到解题的切入点。‎ 错因3：曲解题意本质 ‎[例3] 已知电流I与时间t的函数关系为：I=Asin（wt+φ）。‎ ‎ 1、如右图是I=Asin（wt+φ）（|φ|<）的部分图象，请根据图象求其解析式 ‎ 2、如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin（wt+φ）都能取得最大值和最小值，那么W的最小正整数值是多少？‎ 纠错良方：‎ 理解重点字词，抓住主干，去伪存真，真正领会条件的内涵，正确理解问题的本质，切不可粗心大意，误入审题陷阱 错误档案：‎ ‎（1）电路如图所示，从A到B共有 ‎ 条不同的线路可通电（要求从A出发的三条支路有且只有一条通电）‎ 这道题常见错误是：运用加（乘）法原理得：2×2+1+3+8条，其实上面的支路通电有：（ ‎ [错解] ①易求I=300sin（150），②依题意：周期的一半 即：(w>0)，∴w150471，又w是整数，故w的最小正整数为472‎ ‎ [错误诊断] 错将题意中“任意一段”理解为“存在一段”‎ ‎[正解] ②依题意：周期T 即 ‎∴w300942，又∵w是整数，故w的最小正整数为943‎ ‎ [错因反思]见到熟悉题型切不可沾沾自喜，审题时粗枝大叶，没有深刻领会条件中的关键字眼就轻率落笔，容易掉进命题者设计的圈套中 ‎+）·（+）=9条（即二条中至少有一条通电且另二条中至少有一条通电），下面的支路通电有：++=7（条）（即三条中至少有一条通电），故共有9+1+7=17（条）‎ ‎（2）（2007年浙江高考题）直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（ ）‎ A. x+2y-1=0 B. 2x+y-1=0‎ C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0 ‎ 这道题常见错误是：①将直线x-2y+1=0中的x换成-x，故选A；②原来直线与直线x=1时的交点为（1，1），∴所求直线经过点（1，1）且与已知直线垂直，故得直线：2x+y-3=0 选C 症状二：知识性失误 文科考生知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力 纠错良方：‎ 知识是能力的载体，基本知识和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞 错因1 概念理解偏差 ‎[例4] 某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：‎ 种子粒数 ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎130‎ ‎310‎ ‎700‎ ‎1500‎ ‎2000‎ ‎3000‎ 发芽粒数 ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎60‎ ‎116‎ ‎282‎ ‎639‎ ‎1339‎ ‎1806‎ ‎2715‎ 则一粒种子发芽的概率为 ‎ ‎[错解] 种子粒数较大时，误差较小，故该菜籽发芽的概率为：P= ‎[错因诊断] 随机事件在一次试验中发生的频率=，它随着试验次数的改变而改变，在大量重复试验 纠错良方：‎ 掌握概念内涵，弄懂概念外延，准确把握，透彻理解 错误档案：‎ ‎（1）若函数处的导数为A，且： = A，则：之值为（ ）‎ A.A B.2A ‎ C. –A D. -2A 错误原因是对导数概念理解不清，即：(a)= ‎ 中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近一个常数，这个常数就是随机事件发生的概率 ‎[正解] 我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别为：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905，随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动，故此种子发芽的概率为0.9‎ ‎[错因反思] 当试验次数越来越大时，频率趋向于概率，但不是概率，而随机事件的概率应该是接近于频率各个值的一个常数，不能曲解“概率”概念的本质 ‎（2）（2006年全国高考题）若x=，则（3x+2）10的展开式中最大项是（ ）‎ 由n=10，可知系数最大项为第6项，即：T6=5·25=8064，以上解法错误地理解为求“二项式系数最大的项”，而问题是求展开式中数值最大的项，从而导致概念错误 错因二：运用结论致错 ‎[例5] （2007年重庆高考题）定义域为R的函数在（8，+）上为单调递减，且函数y=为偶函数，则（ ）‎ B. C.D. ‎[错解] 根据y=为偶函数，所以=，又令t=8+x， 代入=中得：=，所以函数是偶函数，再去选择答案时，发现不能确定对错 ‎[错因诊断]对偶函数的性质运用产生错误 ‎[正解]y=是偶函数，即y=关于直线x=8对称，又在（8，+）上为减函数，故在（-）上为增函数，检验知：选D ‎[纠错反思]由为偶函数，则有=，而不是=，该题还可把y=‎ 纠错良方：‎ 产生因运用结论（定理、性质、公式、常用性结论）不当而致错的根本原因是：对相关结论成立的背景不熟，结论的变式理解不透，没能准确把握，似是而非，突破方法是：透彻理解，准确掌握，灵活运用，及时反思 错误档案：‎ ‎（1）（2006年重庆高考题）设函数=的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b之值？‎ 错解为：由(x)= ‎ =-11‎ (x)=0‎ 3‎ 7‎ 依题意知：‎ 错误原因是：误把切点当极值点得到(1)=0这个结论，而应该是(1)=-12，联立①可得a=1 b=-3‎ ‎（2）（2007辽宁高考题）设等差数列{an}的前几项和为Sn，若S3=9，S6=36，则：a7+a8+a9=（ ）‎ A.63 B.45 C.36 D.27‎ 错解为：S3，S6，S9成等差数列，又S6-S3=27 ，∴S9=63 错选A或D，事实上：S3，S6‎ 向右平移8个单位得到y=图象，故y=的对称轴为X=8，从而得到的单调性 ‎- S3，S9- S6才是等差数列，∴S9- S6=45 选B 错因3：知识变通性差 ‎[例6]（2007年湖北卷文）已知函数=2sin2（）-cos2x，x[，]，①求的最大值和最小值？②若不等式||<2，在x[，]上恒成立？求实数m之取值范围？‎ ‎ [错解]（1）∵=1+2sin（2x-）且x[，]，∴ 2x- ，∴max=1+，min=2；（2）由 ‎|-m|<2-20）的因素关于原点对称，则y=的解析式为（ ）‎ 纠错良方 转化与化归是处理新问题的基本思路，但不是盲目套用经验，既要看清新题与陈题的相似之处，更要弄准其不同的地方，切不可见到一点类似，就去直接套用老方法解，‎ A.=(x>0)‎ B. =(x<0)‎ C．=-log2 x（x>0） ‎ D.=-log2（ <0）‎ ‎[错解1]：把X换成-X，代入g（x）= log2 x（x>0）得：=(x<0)，所以选 B ‎[错解2]：根据=log2 x（x>0）恒过点（1，0），所以y=f（x）恒过点（-1，0），所以选B ‎[错因诊断]第一种解法没有真正理解对称的含义，不清楚利用图系变换去求函数表达式的方法 第二种解法主观臆断，以为只要恒过点（-1，0）的解析式即为所求 ‎[正解]：设y=f（x）上任一点p（x,y），由于p关于o对称的点p′（-x,-y）在y=g（x）上，∴-y=log2（）即y=-log2（- x）这里-x>0，∴x<0，故=-log2 （）（x<0）为所求故选D ‎[纠错反思]‎ 解题必须有根有据，由似曾相识的结论去武断行事，缺乏推理盲目地套用，往往导致全盘皆输，所以数学解题必须理由充分，不能妄下结论 而应该从不同处去理性地探讨问题，确保有理有据。‎ 错题档案 ‎（2007全国高考题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期六参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期天各有1人参加，则不同的选派方法有（ ）。‎ A.40种 B.60种 C.100种 D.120种 错误解法有：①从5个同学中选4人有种方法，从4个同学中选2人有种方法，共有参赛方案：·=40种，选A。②从5个同学中选4人有种选法。从4个同学中选2人有种选法，共有·=30种，无答案 显然，第一种解法只考虑学生参与情况，这是不合理的。‎ 第二种解法只选出2个学生周五，而另外2人未安排，故不合题意 正确解法是：··=60（种），答案为B 错因三：思维不严所致 ‎[例9]（2006年上海高考题）在平面直角坐标系xoy中:直线L与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：“如果直线L过点T（3.0），那么·=3”是真命题 ‎[错解]：设直线L的方程为：y=k(x-3)与抛物线y2=2x联立，消去y得：Ky2-2y-6k=0，令A（x1, y1）,B（x2,y2‎ 纠错良方：‎ 数学是一门严密的思维科学，数学试题中常出现一些巧设圈套的题目，部分误入圈套的考生由于思维不严密，考虑问题不全面导致失分,因而考生在关注细节的同时，应反省思考是否缜密，推理是否严密 错误档案 ‎（2007年全国高考题）（1+2x2）（1+）8‎ ‎），则y1y2=-6，而X1=y12，X2=y22，所以·= X1X2+y1y2=(y1y2)2+ y1y2=3，故命题是真命题 ‎[错因诊断]直线的倾斜角永远存在，但斜率却不一定存在，因此涉及到直线问题一般要分斜率K存在与不存在二种情况去分类讨论 ‎[正解]：①当斜率存在时，同上；②当斜率不存在时：直线L的方程为X=3，此时直线L与抛物线y2=2x相交于A（3，）， B（3，）于是：·=3×3+×（-）=3‎ 综合①②可知：此命题为真命题 ‎[纠错反思] 许多考题求解的思路不难，但解题对某些特殊情形的讨论，却容易被忽略。也就是在转化过程中，若不注意转化的等价性，会经常出现错误，所以加强思维的严密性训练非常重要 的展开式中常数项为 （用数学作答）‎ 错解为：∵（1+2x2）（1+）8=（1+）8+2x2（1+）8， 所以常数项只在（1+）8中才有，而（1+）8展开式中常数项为1，所以答案为1‎ 此法错误原因为误认为2x2（1+）8没有常数项，实际上2x2与（1+）8中的项相乘就是常数 症状四：解法性失误 解题策略（方法）是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法选择是否恰当，是客观反映学生数学素养的具体体现；许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误 纠错良方 第一要增强灵活运用数学思想方法解题的应用意识，第二是进一步优化解题基本通法的归纳和总结，第三，要强化价值观念、合理优化解法 错因1：计算推理错误 ‎[例10]（2006年上海春招卷）数列{an}中，a1=2，Sn=4an+1+1，nN*，求数列{an}的前几项和Sn。‎ ‎[错解]∵Sn=4an+1+1，∴Sn-1=4an+1，于是Sn-Sn-1=4an+1-4an，即：an=4an+1-4an，∴an+1= an，故{an}是以a1为首项，公比为的等比数列，于是Sn= =8·-8‎ 纠错良方 运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式的组合变形与分解变形，对几何图形各量的计算求解等，除了计算数据小心仔细外，千万不能忘记运用计算公式的约束条件。‎ 错误档案 ‎（2007全国）设锐角△ABC的内角A、B、C之对边分别a、b、c，且a=2bsinA，①求角B之大小②求cosA+sinC之取值范围 第一问运用正弦定理，易知sinB=，∴ B=；‎ 第二问易出错之处为： ‎ 由cosA+sinC=cosA+sin（-A） ‎ ‎[错因诊断]公式an=sn-sn-1（n）体现了数列的通项an与其前n项和sn间的关系，解题时要特别注意公式成立的条件“n”‎ ‎[正解]令n=1，∴s1=4a2+1，得a2=，即a2=a1，由①知当n 于是sn=a1+（a2+a3+…+an）=2+ =+1‎ ‎[错因反思] 考生在计算推理过程中，粗心大意，以偏概全，盲目推出结论而没有顾及计算推理的特殊条件 ‎ =sin（A+），由△ABC为锐角△，∴00）上一定点M（x0，y0）（y0≠0），作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2），当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则： =（ ）‎ A. ‎4 B. -4 C.2 D. -2‎ ‎[错解]∵KmA=且KmB=，而直线MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，∴KmA+KmB=+ = 0，如何由上式求出=？因太繁琐而放弃求解 ‎[错因诊断] 此思路易想但离结果太远，因而这种解法不可取，应另辟途径 ‎[正解] ∵2=2p，∴=，同理：=，x2=，代入+ =+ ‎==0，∴=- ，即=-2，故选D ‎[错因反思]‎ 纠错良方 首先要熟练掌握每一类题型的解题通法，这是高考考查热点，其次平时在解题时要有意识地一题多解，通过比较找准最简单易求的方法，烂熟于心，第三，临场时要认真审题，回顾比较才能精选优法。‎ 错误档案 ‎（2007年合肥联考）已知等差数列5，8，11，……与3，7，11……均有100项，问有多少个数同时在这两个数列中出现？‎ 错误处理方法为：第一个数列｛an｝通项公式为：an=3n+2；第二个数列｛bn｝通项公式为：bn=4n-1。令：an=bn，则3n+2=4n-1，∴n=3，即只有一项 a3=b3=11，同时在两个数列中出现 显然，这个结论是错误的 原因是设an=bn不妥当，因为一个数同时在两个数列中出现时，该数在两个数列中的位置未必相同 正解为：对于an=3n+2（1），bk=4k-1（1），令an=bk， ∴3n+2=4k-1，∴k=，设n+1=4t（tN*） ∴ n=4t-1‎ ‎ k=3t 又由 1n，k∴ 1t25，即有25个数同时在两个数列中出现 在高考中，解题过程的繁琐，不仅会造成错解，更是“潜在失分”，即使没有做错，也由于耽误了时间，影响其它题的得分，因此必须重视解法的选择，合理选取简捷方法 错因3：答题不合规范 ‎[例12]如图三梭锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，°，O为BC中点，①证明：SO平面ABC，②求二面角A-SC-B之余弦值？‎ ‎[错解] ‎ ‎(I)由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰Rt△，所以：OA=OB=OC=SA，且AO△SBC为等腰△，故SOSA，从而OA2+SO2=SA2，所以△AOS为直角三角形，SO，又AOBO=0，所以SO平面ABC ‎(II)取SO中点M，连结AM、OM，由（I）知：SO=OC，SA=AC，得OMSC，AMSC，∴且SO 平面SBC，所以AO△SBC中，OM=BC，在△ABC中，OA=AC，且AC=SC，所以：tanOMA==1°，其余弦值为 ‎[错因诊断]该解法错误之处在于题目中边角关系过多，没有理顺，特别是把△SBC当作等腰直角三角形，致使计算“在△SBC中，OM=SC”出现错误 ‎[正解]（II）所以AOOM，又AM=SA，故sinAMO==，所以二面角A-SC-B之余弦值为 ‎[错因反思]叙述要去粗取精，突出思路，紧扣定理应用，做到详略得当 纠错良方 答题不规范，直接影响得分高低，突破方法是对照高考标准答案，学标答的叙述过程及思路，重点关注如下几点：‎ ‎1、叙述必须从条件出发，然后去展开 ‎2、答题叙述必须能展示完整解题思路 ‎3、每步书写必须给出定理和重要结论的应用过程 ‎4、叙述要详细得当，该推理处重推理，该计算处重计算 平时必须有意识地训练叙述，逐渐规范答题 错误档案 ‎（2007年北京高考题）‎ 如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB，以直线AO为轴旋转得到且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，求证：平面COD ‎∵二面角B-AO-C是直二面角 ‎∴COBO，又∵COAO，∴CO平面AOB，又CO在平面COD内，∴平面COD平面AOB 该证明过程在应用“二面角B-AO-C是直二面角”时，未详细论述二面角的平面角是什么，而直接得到结论“∴COBO”，跨度过大，线面垂直时，要把平面的两条相交直线说清楚，显然条件“∵AOBO=O”未罗列，故易失分 以上列举的四类症状是考生在学习和考试中经常遇到的，也是同学们失分频率较高的地方，因此在平时的复习和解题中要处处留心，针对性地加以训练，尽量避开这些误区，努力考出自己的最优成绩！‎