数学（理）卷·2018届江西省新余四中高三上学期第三次段考（2017

数学（理）卷·2018届江西省新余四中高三上学期第三次段考（2017

新余四中2017—2018届高三上学期第三次段考 理科数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷(选择题：共50分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则集合且为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为虚数单位,为复数的共轭复数,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设正项等比数列的前项和为,且,若,则( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎5.给出下列四个命题：‎ ‎①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；‎ ‎②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是；‎ ‎③若命题,则；‎ ‎④命题“,使得”的否定是：“均有”.‎ 其中不正确的个数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数的一条对称轴为直线，则要得到函数 的图象,只需将函数的图象( )‎ A.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍 B.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍 C.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍 D.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍 ‎7.已知为锐角,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列为等差数列,且满足,若,点为直线 外一点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知中,是的重心,,∠,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值 为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知,若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都 不属于区间,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,若对恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题：共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知,向量在方向上的投影为,则 . ‎ ‎14.已知的展开式的常数项为,则 .‎ ‎15.若函数在区间上有极值点,则实数的取值范围为 .‎ ‎16.已知数列的前项和为,且,,则满足的的最小值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知向量,函数.‎ ‎(1)若,求的最小值；‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知各项均为正数的数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项；‎ ‎(2)若,,求证：＜‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立.‎ ‎(1)求证：存在实数使得数列为等比数列；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 某站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录 了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)：‎ 若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.‎ ‎(1)从这16人中随机选取3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望,并求 出至多有1人是“极幸福”的概率；‎ ‎(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示 抽到“极幸福”的人数,求的数学期望.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,(且为常数)．‎ ‎(1)若曲线在处的切线过点,求实数的值；‎ ‎(2)判断函数在上的零点个数,并说明理由．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数(为常数).‎ ‎(1)讨论函数的单调区间；‎ ‎(2)当时,设的两个极值点,()恰为 的零点,求的最小值.‎ 新余四中2018届高三上学期第三次段考理科数学试卷参考答案 一、选择题（125分=60分）：‎ ‎1-5：DBCAC； 6-10：BADBC； 11-12：AB.‎ 二、填空题（45分=20分）：‎ ‎13.； 14.； 15.； 16..‎ 三、解答题（512分10分=70分）：‎ ‎17.解(1)‎ ‎,………………3分 ‎,,,‎ 即时,.………………6分 ‎(2),即,得.‎ ‎,,.………………9分 ‎.………………12分 ‎18.解(1)令，得，.‎ 又①,.②‎ ‎②-①得:,.‎ ‎,∴,∴.………………5分 ‎(2)当时,,符合题意. ………………6分 当时，因为,………………8分 所以,‎ ‎∴＜.………………12分 ‎19.解(1)当时,,可得.………………2分 由得,‎ 两式相减得,即,………………4分 所以,而,所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,‎ 所以存在实数,使得数列为等比数列.……………………6分 ‎(2)由(1)得,即,‎ 所以,………………8分 令,则,‎ 两式相减得,‎ 所以.……………………12分 ‎20.解(1)的可能取值为,,,,且,,‎ ‎,,………………2分 的分布列为 ‎1‎ 数学期望,………………4分 至多有1人是“极幸福”记为事件,‎ 则.………………6分 ‎(2)解法一：的可能取值为0,1,2,3,随机选取1人是“极幸福”的概率为.‎ ‎∴；；‎ ‎；.‎ ‎∴的分布列为 ‎1‎ 数学期望.………………12分 解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为,‎ 故随机变量满足二项分布,故数学期望.‎ ‎21.解(1)=，………………2分 又曲线在处的切线过点,得,‎ 即,解得.………………4分 ‎(2)由得,‎ 即,令,则.‎ 由,得,故在上递增,在上递减,‎ ‎.………………9分 再令,因为,所以函数在上递增,‎ ‎,故，‎ 所以函数在上没有零点,即零点个数为0.………………12分 ‎22.解(1),, ………………1分 当时,由,解得,即当时,,递增；‎ 由解得,即当时,,递减；………………3分 当时,,即在上递增；………………4分 当时,,故,即在上递增．‎ 综上，当时,的递增区间为,递减区间为；‎ 当时,的单调递增区间为.………………5分 ‎(2)由得,‎ 由题意知有两个互异实根,,且，,‎ 因为,()是的两个零点,‎ 故①,②.‎ 由②①得：,解得,………………7分 因为,得,将代入得 ‎,………………8分 ‎ 所以,设,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,即.………………10分 令,得,‎ 则在上是增函数,所以,‎ 即的最小值为.………………12分