- 2021-04-22 发布 |
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文档介绍
连云港市中考数学试卷含答案解析
江苏省连云港市2016年中考数学试卷 一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.) 1.有理数﹣1,﹣2,0,3中,最小的数是( ) A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.3 【分析】先求出|﹣1|=1,|﹣2|=2,根据负数的绝对值越大,这个数就越小得到﹣2<﹣1,而0大于任何负数,小于任何正数,则有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3. 【解答】解:∵|﹣1|=1,|﹣2|=2, ∴﹣2<﹣1, ∴有理数﹣1,﹣2,0,3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3. 故选B. 【点评】本题考查了有理数的大小比较:0大于任何负数,小于任何正数;负数的绝对值越大,这个数就越小. 2.据市统计局调查数据显示,我市目前常住人口约为4470000人,数据“4470000”用科学记数法可表示为( ) A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:数据“4470000”用科学记数法可表示为4.47×106. 故选:A. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3.如图是一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“美”字一面相对面是的字是( ) A.丽 B.连 C.云 D.港 【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是必须相隔一个正方形,据此作答. 【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, “美”与“港”是相对面, “丽”与“连”是相对面, “的”与“云”是相对面. 故选D. 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题. 4.计算:5x﹣3x=( ) A.2x B.2x2 C.﹣2x D.﹣2 【分析】原式合并同类项即可得到结果. 【解答】解:原式=(5﹣3)x=2x, 故选A 【点评】此题考查了合并同类项,熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键. 5.若分式的值为0,则( ) A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可. 【解答】解:∵分式的值为0, ∴,解得x=1. 故选:C. 【点评】本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键. 6.姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y值随x值的增大而减小.根据他们的描述,姜老师给出的这个函数表达式可能是( ) A.y=3x B. C. D.y=x2 【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点,与题目描述相符的即为正确的,不符的就是错误的,本题得以解决. 【解答】解:y=3x的图象经过一三象限过原点的直线,y随x的增大而增大,故选项A错误; 的图象在一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,故选项B正确; 的图象在二、四象限,故选项C错误; y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线,在一、二象限,故选项D错误; 故选B. 【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质,解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质. 7.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=( ) A.86 B.64 C.54 D.48 【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系.同理,得出S4、S5、S6的关系. 【解答】解:如图1,S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2. ∵AB2=AC2+BC2, ∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3, 如图2,S4=S5+S6, ∴S3+S4=16+45+11+14=86. 故选A. 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 8.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( ) A.2<r< B.<r<3 C.<r<5 D.5<r< 【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题. 【解答】解:如图,∵AD=2,AE=AF=,AB=3, ∴AB>AE>AD, ∴<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内, 故选B. 【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识,解题的关键是正确画出图形,理解题意,属于中考常考题型. 二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.) 9.化简:═ 2 . 【分析】直接利用立方根的定义即可求解. 【解答】解:∵23=8 ∴=2. 故填2. 【点评】本题主要考查立方根的概念,如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根. 10.分解因式:x2﹣36= (x+6)(x﹣6) . 【分析】原式利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=(x+6)(x﹣6), 故答案为:(x+6)(x﹣6) 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. 11.在新年晚会的投飞镖游戏环节中,7名同学的投掷成绩(单位:环)分别是:7,9,9,4,9,8,8,则这组数据的众数是 9 . 【分析】直接利用众数的定义得出答案. 【解答】解:∵7,9,9,4,9,8,8,中9出现的次数最多, ∴这组数据的众数是:9. 故答案为:9. 【点评】此题主要考查了众数的定义,正确把握定义是解题关键. 12.如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=54°,则∠2= 72° . 【分析】由AB∥CD,根据平行线的性质找出∠ABC=∠1,由BC平分∠ABD,根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC,再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论. 【解答】解:∵AB∥CD,∠1=54°, ∴∠ABC=∠1=54°, 又∵BC平分∠ABD, ∴∠CBD=∠ABC=54°. ∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°,∠1=∠DCB,∠2=∠BDC, ∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°. 故答案为:72°. 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理,解题的关键是找出各角的关系.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线的性质找出相等(或互补)的角是关键. 13.已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0,则a= . 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,把x=0代入方程,即可得到一个关于a的方程,即可求得a的值. 【解答】解:根据题意得:0+0+2a﹣1=0 解得a=. 故答案为:. 【点评】本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程的解析式. 14.如图,正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10= 75° . 【分析】如图,作辅助线,首先证得=⊙O的周长,进而求得∠A3OA10==150°,运用圆周角定理问题即可解决. 【解答】解:设该正十二边形的圆心为O,如图,连接A10O和A3O, 由题意知, =⊙O的周长, ∴∠A3OA10==150°, ∴∠A3A7A10=75°, 故答案为:75°. 【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理,作出恰当的辅助线,灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键. 15.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N.若AD=2,则MN= . 【分析】设正方形的边长为2a,DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根据相似三角形的判定性质,可得NE的长,根据线段的和差,可得答案. 【解答】解:设DH=x,CH=2﹣x, 由翻折的性质,DE=1, EH=CH=2﹣x, 在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2, 即12+x2=(2﹣x)2, 解得x=,EH=2﹣x=. ∵∠MEH=∠C=90°, ∴∠AEN+∠DEH=90°, ∵∠ANE+∠AEN=90°, ∴∠ANE=∠DEH, 又∠A=∠D, ∴△ANE∽△DEH, =,即=, 解得EN=, MN=ME﹣BC=2﹣=, 故答案为:. 【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,锐角三角函数,设出DH的长,然后利用勾股定理列出方程是解题的关键,也是本题的难点. 16.如图,⊙P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 9π . 【分析】连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,根据垂径定理可得出AE=BE=AB,利用勾股定理即可求出PE的长度,再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通过勾股定理即可求出线段PD的长度,根据边与边的关系可找出PF的长度,分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环,根据圆环的面积公式即可得出结论. 【解答】解:连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,如图所示. ∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=3. 在Rt△AEP中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°, ∴PE==4. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB∥CD,AB=BC=6, 又∵PE⊥AB, ∴PF⊥CD, ∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10. 在Rt△PFD中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°, ∴PD==. ∵若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环. ∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π. 故答案为:9π. 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式,解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,结合AB边的旋转,找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键. 三、解答题(本大题共11小题,共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算:(﹣1)2016﹣(2﹣)0+. 【分析】原式利用乘方的意义,零指数幂法则,以及算术平方根定义计算即可得到结果. 【解答】解:原式=1﹣1+5 =5. 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.解方程:. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】解:去分母得:2+2x﹣x=0, 解得:x=﹣2, 经检验x=﹣2是分式方程的解. 【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程时注意要检验. 19.解不等式,并将解集在数轴上表示出来. 【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集,再在数轴上表示出其解集即可. 【解答】解:去分母,得:1+x<3x﹣3, 移项,得:x﹣3x<﹣3﹣1, 合并同类项,得:﹣2x<﹣4, 系数化为1,得:x>2, 将解集表示在数轴上如图: 【点评】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集的应用,解此题的关键是能正确求出不等式的解集. 20.某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况,随机抽取部分学生进行问卷,结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型,分别记为A、B、C、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图. (1)本次问卷共随机调查了 50 名学生,扇形统计图中m= 32 . (2)请根据数据信息补全条形统计图. (3)若该校有1000名学生,估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人? 【分析】(1)由A的数据即可得出调查的人数,得出m=×100%=32%; (2)求出C的人数即可; (3)由1000×(16%+40%),计算即可. 【解答】解:(1)8÷16%=50(人),m=×100%=32% 故答案为:50,32; (2)50×40%=20(人), 补全条形统计图如图所示: (3)1000×(16%+40%)=560(人); 答:估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有560人. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想. 21.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教. (1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名,则所选的2名教师性别相同的概率是 . (2)若从报名的4名教师中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率. 【分析】(1)根据甲、乙两校分别有一男一女,列出树状图,得出所有情况,再根据概率公式即可得出答案; (2)根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案. 【解答】解:(1)根据题意画图如下: 共有4种情况,其中所选的2名教师性别相同的有2种, 则所选的2名教师性别相同的概率是=; 故答案为:; (2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男教师,2表示女教师),树状图如图所示: 所以P(两名教师来自同一所学校)==. 【点评】本题考查列表法和树状图法,注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求,使用列举法,注意按一定的顺序列举,做到不重不漏. 22.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F. (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO. 【分析】(1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论; (2)如图,连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,根据平行四边形的性质即可得到结论. 【解答】证明:(1)∵BE=DF, ∴BE﹣EF=DF﹣EF, 即BF=DE, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=∠CFB=90°, 在Rt△ADE与Rt△CBF中,, ∴Rt△ADE≌Rt△CBF; (2)如图,连接AC交BD于O, ∵Rt△ADE≌Rt△CBF, ∴∠ADE=∠CBF, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 23.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房. (1)求该店有客房多少间?房客多少人? (2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算? 【分析】(1)设该店有客房x间,房客y人;根据题意得出方程组,解方程组即可; (2)根据题意计算:若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,求出所需付费;若一次性定客房18间,求出所需付费,进行比较,即可得出结论. 【解答】解:(1)设该店有客房x间,房客y人; 根据题意得:, 解得:. 答:该店有客房8间,房客63人; (2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱; 若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288千<320钱; 答:诗中“众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用;根据题意得出方程组是解决问题的关键. 24.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式; (2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么? 【分析】(1)分情况讨论:①当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;把A(0,0),B(3,4)代入得出方程组,解方程组即可;②当x>3时,设y=,把(3,4)代入求出m的值即可; (2)令y==1,得出x=12<15,即可得出结论. 【解答】解:(1)分情况讨论: ①当0≤x≤3时, 设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b; 把A(0,0),B(3,4)代入得, 解得:, ∴y=﹣2x+10; ②当x>3时,设y=, 把(3,4)代入得:m=3×4=12, ∴y=; 综上所述:当0≤x≤3时,y=﹣2x+10;当x>3时,y=; (2)能;理由如下: 令y==1,则x=12<15, 故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L. 【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用;根据题意得出函数关系式是解决问题的关键. 25.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=. (1)求BC的长; (2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据: =1.4, =1.7, =2.2) 【分析】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2,由三角函数求出CD=2,在Rt△ABD中,由三角函数求出BD=16,即可得出结果; (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=即可得出结果. 【解答】解:(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示: 在Rt△ADC中,AC=4, ∵∠C=150°, ∴∠ACD=30°, ∴AD=AC=2, CD=ACcos30°=4×=2, 在Rt△ABD中,tanB===, ∴BD=16, ∴BC=BD﹣CD=16﹣2; (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ∵∠ACB=150°, ∴∠AMC=∠MAC=15°, tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3. 【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键. 26.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(﹣1,1),B(2,2).过点B作BC∥x轴,交抛物线于点C,交y轴于点D. (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标; (2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为,求出点M的坐标; (3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标. 【分析】(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=x2﹣x,由于BC∥x轴,设C(x0,2).于是得到方程x02﹣x0=2,即可得到结论; (2)设△BCM边BC上的高为h,根据已知条件得到h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,于是得到M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0,或令y=x2﹣x=4,解方程即可得到结论; (3)解直角三角形得到OB=2,OA=,OC=,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= ①如图1,当△AOC∽△BON时,求得ON=2OC=5,过N作NE⊥x轴于E,根据三角函数的定义得到OE=4,NE=3,于是得到结果;②如图2,根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5,过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4,NF=3于是得到结论. 【解答】解:(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得:,解得, 故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x, ∵BC∥x轴, 设C(x0,2). ∴x02﹣x0=2,解得:x0=﹣或x0=2, ∵x0<0, ∴C(﹣,2); (2)设△BCM边BC上的高为h, ∵BC=, ∴S△BCM=h=, ∴h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点, ∴M的纵坐标为0或4,令y=x2﹣x=0, 解得:x1=0,x2=, ∴M1(0,0),M2(,0),令y=x2﹣x=4, 解得:x3=,x4= ,∴M3(,0),M4(,4), 综上所述:M点的坐标为:(0,0),(,0),(,0),(,4); (3)∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣,2),D(0,2), ∴OB=2,OA=,OC=, ∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=, ①如图1,当△AOC∽△BON时,,∠AOC=∠BON, ∴ON=2OC=5, 过N作NE⊥x轴于E, ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE, 在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD=, ∴OE=4,NE=3, ∴N(4,3)同理可得N(3,4); ②如图2,当△AOC∽△OBN时,,∠AOC=∠OBN, ∴BN=2OC=5, 过B作BG⊥x轴于G,过N作x轴的平行线交BG的延长线于F, ∴NF⊥BF, ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF, ∴tan∠NBF=tan∠COD=, ∴BF=4,NF=3, ∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1), 综上所述:使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1). 【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,难度较大,解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质. 27.我们知道:光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如右图,AO为入射光线,入射点为O,ON为法线(过入射点O且垂直于镜面的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON. 问题思考: (1)如图1,一束光线从点A处入射到平面镜上,反射后恰好过点B,请在图中确定平面镜上的入射点P,保留作图痕迹,并简要说明理由; (2)如图2,两平面镜OM、ON相交于点O,且OM⊥ON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰好经过点B.小昕说,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外,你还有其它做法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作图痕迹,并简要说明理由; 问题拓展: (3)如图3,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=30°,一束光线从点S出发,且平行于平面镜OM,第一次在点A处反射,经过若干次反射后又回到了点S,如果SA和AO的长均为1m,求这束光线经过的路程; (4)如图4,两平面镜OM、ON相交于点O,且∠MON=15°,一束光线从点P出发,经过若干次反射后,最后反射出去时,光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ(0°<θ<180°),请直接写出满足条件的所有θ的度数(注:OM、ON足够长) 【分析】(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求,只要证明∠3=∠4即可. (2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q. (3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S,则光线的行进路线为A→P→Q→B,求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可. (4)θ=30°,60°,90°,120°,150°,分别作出图形即可解决问题. 【解答】解:(1)如图1,作A关于平面镜ML的对称点A′,连接A′B交ML于点P,则点P即为所求. 证明:如图作PN⊥ML, ∵A与A′关于ML对称, ∴∠1=∠2, ∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4, ∴AP是入射光线,PB是反射光线,P即为入射点. (2)如图2,作A关于OM的对称点A′,作B关于ON的对称点B′,连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q. 则光线的行进路线为A→P→Q→B. (3)如图3,光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S. ∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°, ∴OB=BA, ∵BC⊥ON, ∴CA=OA=, ∴AB=,BC=, ∴这束光线经过的路程为:SA+AB+BC+CB+BA+AS=(1++)×2=2+. (4)θ=30°,60°,90°,120°,150°.理由如图所示, 【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识,解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决问题,第四个问题容易漏解,考虑问题要全面,属于中考压轴题. 查看更多