高考理科数学模拟试题
2018届高三复习卷一
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合， ，则
A. B. C. D.
2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D. 1
3．在等比数列中， ， ，
则数列的前9项的和（ ）
A. 255 B. 256 C. 511 D. 512
4．如图所示的阴影部分是由轴，直线以及曲线围成，
现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5．在2x2-1x6的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 60 B. 160
C. 180 D. 240
6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的
体积为 ( )
A. B.
C. D.
7．已知函数f(x)=log2(2-ax)在-∞，1 上单调递减，则a的取值范围是( )
A. 1
2
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数的
可能取值的集合是（ ）
B.
D.
9．上的偶函数满足，当时， ，则
的零点个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 5 D. 10
10．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交
抛物线及圆于点四点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数在区间上是增函数，
且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，
.（）
若 ( )
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．已知平面向量，且，则__________.
14．若变量满足，且恒成立，则的最大值为______________.
15．若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于
（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
16．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量.
（1）求的最大值及取最大值时的取值集合；
（2）在△中， 是角的对边,若且，求△的周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ， ，且， ， 是的中点。
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重服从正态分布.
（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于 之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于之间的人数为，利用（ⅰ）的结论，
求的分布列及.
20．已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，
且． （1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，
试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数.
（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；
（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，
试求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求.
23.【不等式选讲】已知， .
（1）解不等式；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】则
2．D【解析】 ，所以的虚部是1，选D.
3．C【解析】由等比数列的通项公式可得,
求解方程组可得： ，则数列的前9项的和.
4．【答案】B
【解析】解答：由题意,阴影部分的面积为dx==e−2，
∵矩形区域OABC的面积为e−1，∴该点落在阴影部分的概率是.
故选B.
5．D【解析】二项式的通项公式为Tk+1=C6k(2x2)6-k(-1x)k=C6k26-k(-1)kx12-52k
，令12-52k=7⇒k=2，所以含x7的项的系数是C6224=240 ，故选D
6．A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为
，故选A.
7．A【解析】令t=2﹣ax，则原函数化为g（t）=log2t，外层函数g（t）=log2t为增函数，
要使复合函数f（x）=log2（2﹣ax）（﹣∞，1]上单调递减，则内层函数t=2﹣ax在（﹣∞，1）上单调递减，且t=2
﹣ax在（﹣∞，1）上大于0恒成立．∴a>12-a>0，解得：1＜a＜2．
8．A【解析】循环依次为 ，所以可能取值的集合是，
9．C【解析】∵，∴，故函数的周期T=2。
∵0≤x≤1时，且是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时， ，
令，画出函数的图象，
如下图所示：由图象得函数和的交点有5个，
10．【答案】C
【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程
为。
由抛物线的定义得，又，所以。同理。
①当直线与x轴垂直时，则有，∴。
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，∴，
∴，当且仅当时等号成立。
综上可得。选C。
11、 是函数含原点的递增区间．
又∵函数在上递增，
∴得不等式组 ，得 又∵ 又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 ，即函数在 处取得最大值，
可得 综上，可得 故选D
12．【答案】A试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，
作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
13．或
【解析】∵，∴， ，又∵，∴，解得或，故答案为或.
14．
【解析】
所以过时， 的最小值为-4，所以的最大值为-4.
15．【解析】由题意， ，又，
则，即，得， ，所以，
所以，即的取值范围是。
16． 【解析】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，
由y=ex,得y′=ex， 曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，
则， 可得2x2=x1+2，∴ ，
记，则 ，
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增。
∴当x=2时, . ∴a的范围是 .
17．（1）,；（2）.试题解析：（1），
，
的最大值为，此时
即
（2） ， ,
由得
又, 故，即周长的范围为.
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
证明：（Ⅰ）以为坐标原点长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为， ， ， ， ， ，则， ，故，所以，由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得,又在平面内,故平面。
（Ⅱ）在上取一点，则存在，使，连接， ， ，所以， ， 。要使，只要，即，解得。可知当时， 点坐标为，能使，此时， ， ，所以。由， ， ，所以，故所求二面角的余弦值为。
19．（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析
（Ⅰ）这400名学生中，体重超过的频率为，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率为.
（Ⅱ）（ⅰ）∵， ，∴，
∴，∴.
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
其中体重介于之间的人数， ， .
所以的分布列为
.
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，，则，
∴，即①，∵，∴，即②，
∴由①②得，又，， ∴椭圆的方程为．
（2）设直线方程为：，
由得，∴，
∵为重心，∴，
∵点在椭圆上，故有，可得，
而，
点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），
∴，
当直线斜率不存在时，，，，∴的面积为定值．
21.【解析】（1）当时，有.
∵，∴，
∴过点的切线方程为：，即.
（2）当时，有，其定义域为：，
从而方程可化为：，
令，则，
由或；.
∴在和上单调递增，在上单调递减，
且，又当时，；当时，.
∵关于的方程有唯一实数解，∴实数的取值范围是：或.
（3）∵的定义域为：.
令. 又∵函数有两个极值点，
∴有两个不等实数根，
∴，且，从而.
由不等式恒成立恒成立，
∵，
令，∴，当时恒成立，
∴函数在上单调递减，∴，
故实数的取值范围是：.
22.（1）曲线的普通方程为，
则的极坐标方程为，
由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为（或）
（2）由得：，故，，
∴.
23(1) 解集为或；(2) .
（1）当时， 解得.
当时， 无解， 当时， 解得.
∴的解集为或.
（2）由已知恒成立. ∴恒成立.
又 . ∴，解得.
∴时，不等式恒成立
