状元之路2015高考数学人教A版文一轮开卷速查57解三角形应用举例

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状元之路2015高考数学人教A版文一轮开卷速查57解三角形应用举例

开卷速查 规范特训 课时作业 实效精炼 开卷速查(26) 解三角形应用举例 一、选择题 ‎1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(  )‎ A.a km        B.a km C.a km D.‎2a km 解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-‎2AC·BCcos120°=‎2a2-‎2a2×=‎3a2,∴AB=a.‎ 答案:B ‎2.张晓华同学骑电动自行车以‎24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是(  )‎ A.‎2 km B.‎3 km C.‎3 km D.‎2 km 解析:如图,由条件知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,‎ 所以BS=sin30°=3.‎ 答案:B ‎3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是(  )‎ A.35海里 B.35海里 C.35海里 D.70海里 解析:设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,‎ EF= ‎= ‎=70.‎ 答案:D ‎4.为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距‎20 m 的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是(  )‎ A.‎20 m B.‎20 m C.20(1+) m D.‎‎30 m 解析:如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=‎20 m,所以BM=‎20 m.又在Rt△AMD中,‎ DM=‎20 m,∠ADM=30°,‎ ‎∴AM=DMtan30°=(m).‎ ‎∴AB=AM+MB=+20‎ ‎=20(m).‎ 答案:A ‎5.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=‎200 km,汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始多少h后,两车的距离最小(  )‎ A. B.1‎ C. D.2‎ 解析:如图所示,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.‎ 由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°‎ ‎=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t ‎=12 900t2-42 000t+40 000.‎ 当t=时,DE最小. ‎ 答案:C ‎6.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为‎2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A,B两船间的距离为‎3 km,则B船到灯塔C的距离为(  )‎ A.‎1 km B.‎‎2 km C.‎3 km D.(-1) km 解析:如图,由题意可得,∠ACB=120°,AC=2,AB=3.‎ 设BC=x,则由余弦定理可得 AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,‎ 即32=22+x2-2×2xcos120°,整理得x2+2x=5,‎ 解得x=-1(负值舍掉).‎ 答案:D ‎7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )‎ A.‎50 m B.‎‎100 m C.‎120 m D.‎‎150 m 解析:设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,∠A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是‎50 m.‎ 答案:A ‎8.如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进‎30米至C处,测得其顶端A的仰角为2θ,再继续前进‎10‎米至 D处,测得其顶端A的仰角为4θ,则θ的值为(  )‎ A.15° B.10°‎ C.5° D.20°‎ 解析:因为∠ACE=2θ,所以∠BAC=θ,AC=BC=30,因为∠ADE=4θ,所以∠CAD=2θ,所以AD=CD=10,在△ACD中,2CD·cos2θ=AC,所以cos2θ===,所以2θ=30°,所以θ=15°.‎ 答案:A ‎9.某人向正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走‎3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么x的值为(  )‎ A. B.2 C.或2 D.3‎ 解析:如图所示,设此人从A出发,则AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得()2=x2+32-2x·3·cos30°,整理,得x2-3x+6=0,解得x=或2.‎ 答案:C ‎10.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  )‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析:如图,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,‎ 解得BC=10(海里).‎ 答案:A 二、填空题 ‎11.一船由B处向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后到达A处,看见灯塔C在它的南偏西60°方向,灯塔D在它的南偏西75°方向,则这艘船的速度是__________海里/小时.‎ 解析:如图所示,‎ 依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是这艘船的速度是=10(海里/小时).‎ 答案:10‎ ‎12.某路边一树干被大风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距‎20米,则折断点与树干底部的距离是__________米.‎ 解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,‎ ‎∴∠OAB=60°.‎ 由正弦定理知,=,‎ ‎∴AO=(米).‎ 答案: ‎13.在直径为‎30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照整个广场,则光源的高度为__________m.‎ 解析:轴截面如图,则光源高度h==5(m).‎ 答案:5 ‎14.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时刻物体位于P点,一分钟后,其位置在Q点,且∠POQ=90°,再过一分钟,该物体位于R点,且∠QOR=30°,则tan∠OPQ的值为__________.‎ 解析:由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨设其长度为1.在Rt△POQ中,OQ=sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在△OPR中,由正弦定理得=,在△ORP中,=,两式两边同时相除得=tan∠OPQ=.‎ 答案: 三、解答题 ‎15.某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D.‎ ‎(1)求AB的长度;‎ ‎(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计建造费用最低?请说明理由.‎ 解析:(1)在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-‎2AC·BCcosC=162+102-2×16×10cosC,①‎ 在△ABD中,由余弦定理及∠C=∠D,整理得AB2=AD2+BD2‎ ‎-2AD·BDcosD=142+142-2×142cosC.②‎ 由①②得:142+142-2×142cosC=162+102-2×16×10×cosC,整理得cosC=.‎ ‎∵∠C为三角形的内角,∴C=60°,‎ 又∠C=∠D,AD=BD,‎ ‎∴ABD是等边三角形,‎ 故AB=14,即A、B两点的距离为14.‎ ‎(2)小李的设计使建造费用最低.‎ 理由如下:‎ S△ABD=AD·BDsinD,‎ S△ABC=AC·BCsinC.‎ ‎∵AD·BD>AC·BC,且sinD=sinC,‎ ‎∴S△ABD>S△ABC.‎ 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择小李的设计使建造费用最低.‎ 答案:(1)14;(2)小李的设计建造费用最低,理由略.‎ ‎16.[2013·江苏]如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为‎50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为‎130 m/min,山路AC长为1 ‎260 m,经测量,cosA=,cosC=.‎ ‎(1)求索道AB的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ 解析:(1)在△ABC中,因为cosA=,‎ cosC=,所以sinA=,sinC=.‎ 从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)‎ ‎=sinAcosC+cosAsinC ‎=×+×=.‎ 由正弦定理=,得 AB=×sinC=×=1 040(m).‎ 所以索道AB的长为1 ‎040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),‎ 因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.‎ ‎(3)由正弦定理=,得 BC=×sinA=×=500(m).‎ 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.‎ 答案:(1)1 ‎040 m;(2) (min);(3)应控制在(单位:m/min)范围内.‎ 创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具 ‎1.[2014·台州模拟]某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为‎10‎米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?‎ 解析:在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10,由正弦定理,得BC==20.‎ 在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=20×=30(米),所以升旗速度v===0.6(米/秒).‎ ‎2.如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?‎ 解析:由题意,知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,‎ ‎∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.‎ 在△DAB中,由正弦定理,得 =,‎ 于是DB= ‎= ‎= ‎= ‎=10(海里).‎ 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,‎ BC=20(海里),‎ 在△DBC中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC ‎=300+1 200-2×10×20× ‎=900.‎ 得CD=30(海里),故需要的时间t==1(小时),‎ 即救援船到达D点需要1小时.‎ ‎3.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.‎ 解析:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,‎ 由正弦定理得=,‎ 所以BC== 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=
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