【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案

专题八 不等式选讲 ‎【高考考场实情】‎ 不等式选讲为高考选考内容之一。一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。‎ ‎【考查重点难点】‎ 主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。‎ ‎【存在问题分析】‎ ‎（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位 ‎【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎【名师点睛】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.‎ ‎（二）不能对条件进行正确的等价转化 ‎【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主 要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式的解集包含”等价转化为“不等式在上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含”的含义不理解.学 = ‎ ‎【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数.‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅱ）原式等价于存在，使成立，即 ‎ 设 由已知得 ‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上述得，故的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.‎ ‎（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.‎ ‎【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅱ）因为 所以，因此a+b≤2. :学, , ,X,X, ]‎ ‎【名师点睛】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.学 4 ‎ ‎（四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程[ :学 XX ]‎ ‎【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎【解析】法一：因为，所以 法二：因为，又 所以.‎ ‎【名师点睛】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.‎ ‎【解决问题对策】‎ ‎（一）强化绝对值不等式的求解训练 ‎【指点迷津】高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.‎ ‎【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 综上可知，原不等式的解集为 ‎（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.‎ ‎【指点迷津】不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.‎ ‎【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（II）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【变式一】已知函数，．若存在使得不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，即存在使得，等价于时.‎ 所以或或 解得或或 所以满足条件的的取值范围是.‎ ‎【变式二】已知函数，．是否存在实数的值，使得不等式的解集为，若存在，求的取值范围；若不存在说明理由．‎ ‎【解析】由的解集为，即的解集为，得的两根为-1,1，即方程无解，所以不存在实数的值，使得不等式的解集为.‎ ‎（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用 ‎【指点迷津】均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.‎ ‎【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若且 ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在,使得？并说明理由.‎ ‎（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，‎ 所以不存在,使得成立.‎ ‎【例题8】已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于，，有，求证： .‎ ‎【解析】（Ⅰ）等价于，即或 求得，故不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎∴‎ ‎【新题好题训练】‎ ‎1．设不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求集合；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）令，‎ 由得，‎ 解得．‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由不等式，的，[ : xx ]‎ 令，‎ 要使，‎ 则，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围．‎ 点睛：‎ ‎（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．‎ ‎（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎2．已知且．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，当且仅当取最大值，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴．‎ 故由题意得对恒成立，‎ 或对恒成立，‎ ‎∵当时， ， ，‎ ‎∴或 故实数的取值范围．学// .. ‎ ‎3．选修4-5：不等式选讲 已知函数，若， 成立，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且， ， ，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ 试题解析：（1）由的最小值为，根据对恒成立可知，又∵则.‎ ‎（2）由（1）可知，由 ，当且仅当， 且，即， 时有最小值为.‎ ‎4．已知.若函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得 ‎，再根据基本不等式即可求得的最小值.‎ 试题解析：(1) ,‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值为.‎ ‎(2)法一（基本不不等式处理理）： ‎ ‎.‎ 当.等号成立.‎ 法二（柯⻄西不不等式处理理）‎ ‎： .‎ ‎5．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式： ；‎ ‎（2）若函数的最小值为，且，试求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)4‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 可得当时， ，即，所以无解；‎ 当时， ，得，可得；‎ 当时， ，得，可得.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）根据函数,‎ 可知当时，函数取得最小值，可知，‎ ‎，∴.‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时，取得最小值为4.学~ 2 ‎ ‎6．选修4-5：不等式选讲 已知，且都是正数.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）是否存在实数，使得关于的不等式 对所有满足题设条件的正实数恒成立？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）第（1）问，利用基本不等式证明. (2)第（2）问，由题得，再转化成恒成立，求出m的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，且都是正数，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以得证.‎ ‎7．已知不等式.‎ ‎（1）当，解该不等式；‎ ‎（2）取何值时，该不等式成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)当时，原不等式为 ‎.两边平方，通过一元二次不等式求解；‎ ‎(2)令,依题意，得.由绝对值三角不等式可得 ‎.即可得到的范围.‎ 试题解析：(1)当时，原不等式为.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.该不等式的解集为.‎ ‎ (2)令,依题意，得.‎ ‎.‎ 当且仅当时，上述不等式等号同时成立.‎ ‎.‎ 当时，该不等式成立.‎ ‎8．已知.‎ ‎(1)解关于的不等式； ‎ ‎(2)若不等式的解集为，求实数的值．[来 ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，‎ ‎∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，‎ ‎∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，‎ 等价于解得.‎ ‎9．已知函数.‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，且，求证： .‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可． （2）利用基本不等式转化证明即可．‎ ‎10．已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若函数的最小值记为，设,且有 证明：.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）由(1)可知函数的最小值为，即，‎ ‎，展开多项式，利用基本不等式可得结论.‎ 试题解析：(1) 求不等式等价于且；且；且，分别求解不等式组，再求并集即可得到满足不等式的解集为.‎ ‎(2)证明：由(1)可知函数的最小值为，即.所以,‎ 当且仅但时，等号成立，即所以得证.学// . ‎