高考数学专题复习：课时达标检测（六） 函数的单调性与最值

高考数学专题复习：课时达标检测（六） 函数的单调性与最值

课时达标检测（六） 函数的单调性与最值 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝x D．y＝x＋ 解析：选A　函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．‎ ‎2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则(　　)‎ A．a＝－2 B．a＝2‎ C．a≤－2 D．a≥2‎ 解析：选C　二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.‎ ‎3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)‎ A．(－∞，0) B. C．[0，＋∞) D. 解析：选B　y＝|x|(1－x)＝ ‎＝ 画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在上单调递增，故选B.‎ ‎4．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．‎ 解析：因为f(x)＝在[－6，－2]上是减函数，故当x＝－6时，f(x)取最大值－.当x＝－2时，f(x)取最小值－.‎ 答案：－　－ ‎5．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．‎ 解析：要使函数f(x)的值域为R，需使 ‎∴∴－1≤a<，即a的取值范围是.‎ 答案： ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ 解析：选B　①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<<1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.‎ ‎2．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则(　　)‎ A．f(－1)f(3)‎ C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)‎ 解析：选A　依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)0在x ‎<1时恒成立，‎ 令g(x)＝(‎3a－1)x＋‎4a，则必有 即解得≤a＜.‎ 此时，logax是减函数，符合题意．‎ ‎5．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)‎ A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0‎ C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ 解析：选B　∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.‎ ‎6．(2017·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]‎ C．(0,1) D．(0,1]‎ 解析：选D　∵f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．‎ 答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎8．设函数f(x)＝g(x)＝x‎2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．‎ 解析：由题意知g(x)＝ 函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0,1)．‎ 答案：[0,1)‎ ‎9．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．‎ 解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2‎ －3.‎ 答案：2－3‎ ‎10．(2017·豫南名校联考)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(‎2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：作出函数f(x)的图象的草图如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)>f(‎2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a<‎2a－x，即x<在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1<，即a<－2.‎ 答案：(－∞，－2)‎ 三、解答题 ‎11．已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；‎ ‎(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．‎ 解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．‎ 解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0

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