高中数学第二章数列2-5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解达标检测含解析新人教A版必修5
等比数列前n项和的求解
A级 基础巩固
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63 B．64 C．127 D．128
解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，
所以q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.
答案：C
2．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列结论正确的是( )
A．S2 019
1，<0不成立；
故01，0S2 019，A项正确．
a2 019a2 021－1＝a－1<0，故B项正确．
T2 019是数列{Tn}中的最大值，C、D项错误．
答案：AB
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
答案：C
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4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－≠0，
所以an≠0，所以＝－，
所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，
所以S10＝＝3(1－3－10)．
答案：C
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.
所以＝＝qm＝8＝，
所以m＝3，所以q3＝8，
所以q＝2.
答案：B
二、填空题
6．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则
a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________．
解析：因为S99＝30，即a1(299－1)＝30，
数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，
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所以a3＋a6＋a9＋…a99＝＝＝×30＝.
答案：
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝－n
＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
8． (2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝
2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
解析：a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1⇒a1＝1，a2＝3，
再由an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)⇒an＋1－an＝2an⇒an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，
所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.
答案：1 121
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an及其前n项和Sn；
(2)设bn＝1＋log3an，求数列的前10项和T10.
解：(1)设{an}的公比为q，依题意得解得
因此，an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)由(1)知bn＝1＋log3an＝1＋(n－1)＝n，
则＝＝－，
所以T10＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
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＝1－＝.
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝3S1，S4＝15，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设数列的前n项和为Tn，若Tn>－3，求正整数n的取值范围．
解：(1)因为S2＝a1＋a2＝3a1，所以a2＝2a1，
所以数列{an}的公比q＝＝2，
因为S4＝＝15a1＝15，所以a1＝1，
所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1.
(2)结合(1)得＝＝2n－，
所以Tn＝－＝2n＋1＋－3，
因为Tn>－3，所以2n＋1＋－3>－3，
所以22n＋1>25，
故正整数n的取值范围为n>2(n∈N*)．
B级 能力提升
1．(多选)将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
a11 a12 a13……a1n
a21 a22 a23……a2n
a31 a32 a33……a3n
……
an1 an2 an3……ann
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )
A．m＝3 B．a67＝17×37
C．aij＝(3i－1)×3j－1 D．S＝n(3n＋1)(3n－1)
解析：由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，
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可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5d＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，
解得m＝3或m＝－(舍去)，所以选项A项是正确的．
又由a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以B项不正确．
又由aij＝ai1mj－1＝[(a11＋(i－1))×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×
3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以C项正确．
又由这n2个数的和为S，
则S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋
an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)，所以D项正确．
答案：ACD
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则该数列的项数n＝________．
解析：＝＝q4＝2.
因为a1＋a2＋a3＋a4＝＝＝－＝1，所以＝－1.
所以Sn＝＝qn－1＝15，
所以qn＝16，即(q4)＝24，所以＝4，所以n＝16.
答案：16
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a＝a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝2，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由4a＝a2a6得4a＝a，所以q2＝4，由条件可知q>0，故q＝2，由a1＋2a2＝5得a1＋2a1q＝5，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由bn＋1＝bn＋an得bn＋1－bn＝2n－1，
故b2－b1＝20，b3－b2＝21，……，bn－bn－1＝2n－2(n≥2)，
以上n－1个等式相加得
bn－b1＝1＋21＋…＋2n－2＝＝2n－1－1，
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由b1＝2，所以bn＝2n－1＋1(n≥2)．
当n＝1时，符合上式，故bn＝2n－1＋1(n∈N*)．
(3)cn＝＝＝－，
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝－＝－.
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